一个分式不等式的解题功效

本刊刊出了《构造不等式,巧解最值题》[1],该文介绍了分式不等式: 定理设x1,x2∈R,r1,r2,∈R+, 则x12/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/(y1+y2) (当且仅当x1:y1=x2:y2时,等号成立) 本文将进一步介绍定理的解题功效.     

关于一个不等式的初等证明及其推广

文[1]提出了一个对称不等式: 命题1 已知x,y∈R+,且x+y=1,则 2<(1/x-x)(1/y-y)≤9/4. (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: 命题2 已知x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.(2) 文[2]在文末问道:不等式(2)是否存在初等证明?     

一个不等式与一组希望杯最值问题

我们在高考复习中遇到了这样一个不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则有x21/y1 x22/y2≥(x1 x2)2/y1 y2 (*),当且仅当x1/y1=x2/y2时,等号成立．它的证明较为简单: (x21/y1 x22/y2)(y1 y2)=(x1 x2)2     

一个猜想不等式的推广

文[1]给出了如下代数不等式:设x,y,z∈R 且x y z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3(1)并在文末提出了如下猜想不等式:     

读“一个分式不等式的再推广”后的思考

宋庆在文[1]中对文[2,3,4]的一个不等式作再推广如下: 如x,y,z,n∈R ,m≥2,x y z=1,则 xm/y(1-yn), ym/z(1-zn) zm/x(1-xn).≥y(1-yn), y/z(1-zn) zm/x(1-xn).≥3n-m 2/3n-1 (1)     

《一个有趣的不等式链》的猜想之证明

宋庆在文[1]中在对 若x,y∈R ,x y=1,则(x/(x2 y3)) (y/(x3 y2))≤(8/3)进行研究时,给出了不等式链:     

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.     

一类不等式的图象解法

例1,解不等式(x+7)~(1/2)>x+((x+1)~2-4x)~(1/2) 解:原不等式变形为 (x+7)~(1/2)>x+|x-1|在同一坐标系中分别作出函数y=(x+7)~(1/2) 与y=x+|x-1|的图象交于A、B(x_A相似文献   

一个平凡不等式的妙用

这是一个平凡元奇却十分有用的不等式:定理设x1,x∈R,y1,y2∈R+,则当且仅当(x1/y1)=(x2/y2)时,等号成立.证明易得     

用次数分析法求解有关不等式的竞赛题

容易看到 ,绝大多数有关不等式的公式有着一种齐次化的倾向 ,如平均值不等式 ,柯西不等式 ,排序不等式等等 .这就暗示我们 ,对于一些有关不等式的问题 ,可以从式子中字母的次数上寻求解题的突破口 ,尤其是齐次化的解题策略 .下面以几个有关不等式的竞赛题为例 ,加以说明 .例 1　设 x,y,z是正实数 ,且 xyz=1 .证明 :x3( 1 + y) ( 1 + z) + y3( 1 + x) ( 1 + z) +z3( 1 + x) ( 1 + y) ≥ 34 ( 1 )分析　要使不等式 ( 1 )成立 ,只需证　 x4+ x3 + y4+ y3 + z4+ z3　≥ 34( 1 + x) ( 1 + y) ( 1 + z) ,即证 4( x4+ x3 + y4+ y3 + z4+ z3 )　≥ 6…     

一个分式不等式的再推广

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得…     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

巧用向量数量积

<正>熟知,a·b≤|a||b|,当且仅当向量a与b方向相同时等号成立.利用这一性质,可以轻松解决一类变化多样的问题.例1设x、y∈R⁺,且x+y=1,求证:(x+1)+,且x+y=1,求证:(x+1)^(1/2)+(y+2)(1/2)+(y+2)^(1/2)≤2(2)(1/2)≤2(2)^(1/2)解解法一(不等式法):     

对一个代数不等式的另证、加强与推广

问题1:已知x,y,z是正数且x+y+z=1,求证:(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.文[1]利用均值不等式给出问题1一个简单初等证明,为便于学生的理解与掌握,文[2]给出该不等式的一个加强形式:     

直线截距的巧妙应用

直线 l:y =kx b中的 b称为 l在 y轴上的截距 ,它在中学数学中有很多巧妙的应用 ,特介绍如下 .1　用于不等式中1.1　解不等式例 1　解不等式 3 2 x - x2 ≥ a- x.解　令 y1 =3 2 x - x2 ,如图 1,其图象为圆的上半部份 ,即 (x - 1) 2 y2 =4(y≥ 0 ) ;而 y2 =a - x为斜率等于 -     

一个不等式的推广

《数学通报》2 0 0 3年 5月号“数学问题”14 35 [1] 给出一个优美的对称不等式 :若a ,b >0 ,则　　　 aa 3b bb 3a ≥ 1. (1)9月号问题 14 5 4[2 ] 给出了一个与 (1)形式略有不同的等价不等式 .今给出这个不等式的另一等价形式 ,并对不等式进行逐步推广 .1　与不等式 (1)等价的不等式命题 1　若x ,y>0 ,且xy =1,则　　　 11 3x 11 3y ≥ 1. (2 )证　由条件 ,要证不等式 (2 ) ,只要证 11 3x 11 3y2 ≥ 1,只要证 (1 3x) (1 3y) ≥ 4 ,只要证x y≥ 2 .最后一个不等式显然成立 ,故不等式 (2 )成立 ,当且仅当x=y =1时等号成立 .2　对…     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

一道不等式推广题诱导的辐射式范例教学

题目 (人教A版教科书“不等式选讲”P10-9)已知x、y∈R,求证:x2+y2/2≥(x+y/2)2. 学生会用配方法或均值不等式证明此题,教师可因势利导地启发学生把此不等式推广为以下形式,即x12+x22+…+xn2/n≥(x2+x2+…+xn/n)2,记作(※)式,其中取“=”的充要条件是x1=x2=…=xn,这里x1、x2、…、xn∈R,且n-1∈N+. 笔者运用辐射式范例教学法,设计出关于上述平方均值不等式(※)的典型证法和发散应用的教学框架.     

也谈一个三元三次不等式的等价形式及应用

1 等价形式 文[1]指出文[2]、[3]中的不等式: 设x、y、z∈Rt,则 (x 32)/(y z) (y 3x)/(z x) (z 3y)/(x y)≥6(1)     

一个不等式的推广

文[1]证明了这样一个不等式: 若非负数x,y满足x y=1,则√y/1 x √x/1 y≤2/√3,当且仅当 x=y=1/2时等式成立.