两个三角函数最值问题初探

本文着重探讨三角函数y=sinx(1+cosx)与y=sinx(1-sinx)的最值问题。并利用它来求一大批三角函数的最值和证明一大批三角形中的不等式。理定1 设三角函数y=sinx(1+cosx),则对任何x∈R,有     

一个极值问题的的参数求法

求函数 y=sinx(1+cosx)的极值,这是三角函数中一个常见的求极值问题,并不难解决,但对于更一般的函数 y=sinx(a+cosx)当 a≠1时,要求它的极值.恐怕就不太容易了。在这里,我们应用参数法,十分巧妙地解决了这个问题.     

例说三角函数的最值求法

"三角函数的最值"问题是历年来高考和竞赛的热点之一,因此我们必须掌握解决这类问题的基本思想和方法.一、利用三角函数的有界性求最值 利用正弦函数、余弦正数的有界性:|sinx|≤1,|cosx|≤1,可求形如y=Asin(ωx+(?)),y=Acos(ωx+(?))(A≠0,(?)≠0)的函数最值.     

一个三角极值的几何解法和引伸

1990年全国统一高考理工科试卷的第19题是一个三角函数的极值问题: “函数y=sinxcosx sinx cosx的最大值是__”此题绝大多数都是利用三角函数的性质去解的,现介绍一个简便而直观的几何解     

谈谈周期函数

一提到周期函数,我们马上就会想到三角函数或是与三角函数有关的一些函数,例如y=sinx,y=2 cosx,y=tgx ctgx,甚至有的学生认为凡是周期函数必定都与三角函数有关．其实并非这样,我们能够举出许多不含有三角函数的周期函数     

关于有界函数的一个不等式

在三角函数中y=sinx，y=cosx均为有界函数。我们也经常看到有关三角不等式涉及几个三角函数值的积与和的不等式的证明题。为此笔者对有界函数作了研究，发现从有界函数的定义出发，推导出该有界函数的任意几个函数值的和与积之间的一个不等式。     

关于有界函数的一个不等式

在三角函数中y=sinx,y=cosx均为有界函数．我们也经常看到有关三角不等式涉及几个三角函数值的积与和的不等式的证明题．为此笔者对有界函数作了研究,发现从有界函数的定义出发,推导出该有界函数的任意几个函数值的和与积之间的一个不等式．     

“夹逼”思想在三角解题中的应用示例

“夹逼”原理：若a≤b,同时a≥b,那么a=b (a,b∈R)．正、余弦函数的有界性：对于正弦函数y= sinx,余弦函数y=cosx,有|sinx|≤1,|cosx|≤1,(x∈R)．因此称正、余弦函数具有有界性．根据正、余弦函数的有界性,利用“夹逼”思想来处理三角函数中的一些非常规问题,往往能有     

求三角函数在单调区间上的反函数的简便方法

教材中明确规定,三角函数y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx分别在单调区间(主值区间)[-π/2,π/2],[0,π],(-π/2,π/2),(0,π)上的反函数依次用y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx表示。     

反三角函数在题解中的应用

三角函数是周期函数,其反函数具有多值性。根据反函数的定义,三角函数在整个定义域内不存在反函数。事实上,三角函数在定义域(-∞,+∞)内有无穷多个单调区间。这就决定了由它的每个单调区间到其反函数的单值区间的一一对应也有无穷多个。为了研究方便,还考虑到实际应用的需要,我们通常只对其中的一个一一对应关系作深入考察,并借以推知各个单值区间上反三角函数的变化规律。为此,我们引进了反三角函数主值的概念。这个主值是符合下列条件的单值区间上的反三角函数:在整个定义城内反三角函数单调、连续且该单偵区间的绝对值最小(在同等条件下,取正值区间)。在此规定下,反三角函数的主值分别称为反正弦函数(y=arc sinx)、反余弦函数(y=arc cosx)、反正切函数(y=arc tgx)和反余切函数(y=arc ctgx)。它们的意义和主要性质可以表述如下:     

2004年北京春季高考客观题点通及点评

下面对 2 0 0 4年北京春季高考的客观题的速解作一点解及点评 ,希望对考生在复习迎考中有所帮助 .选择题1.在函数 y =sin2x ,y =sinx ,y =cosx ,y =tan x2 中 ,最小正周期为π的函数是 (　　 )(A) y =sin2x .　　　　 (B) y =sinx .(C) y =cosx . (D) y =tan x2 .点通　回归公式 .由弦、切函数的最小正周期公式T =2π|ω|及T =π|ω|,即知仅 y=sin2x的最小正周期是π ,而选 (A) .点评　求三角函数的最小正周期是历年高考的一个热点 ,其解法是 :先化为标准型 y =f(ωx +φ)+k ,再由公式T =2π|ω|或T =π|ω|即得 .2 .当 23相似文献   

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

这种解法对吗?

在一堂“三角函数最值问题”的习题课上 ,下面这道例题的解法引起了学生的争议 .例题　求函数 y=3sinx -1sinx + 2 的值域 .学生S1 :给出如下解法 :由已知式得　sinx=2 y + 13 -y,由 |sinx |≤ 1 2 y + 13 -y ≤ 1 2 y + 13 -y2 ≤ 1 3 y2 + 10 y-8≤ 0 ,解得-4≤y≤23 .这种利用三角函数有界性的解法得到了多数同学的赞同 .但学生S2 却发表了新的见解 ,“老师 ,我有更简便的解法 ,把sinx =1代入已知式得 ymax=23 ,把sinx =-1代入得 ymin=-4 .∴y∈ [-4 ,23 ] .”立即有几位同学对学生S2 的解法表示反对 .学生S3:你怎么知道sinx =1时 ,…     

从局部跃向整体

本文介绍求函数最值的一种策略:从局部跃向整体。它借助于下述结论: 若在定义域中存在实数x,使y_1=f(x)取得最大(小)值为m,y_2=g(x)取得最大(小)值为n,则函数y=f(x) g(x)的最大(小)值为m n。例1 函数y=sinx·cosx sinx cosx 的最大值是___。(90年高考数学文理科试题) 解本题等价于:是否存在实数x(注:由于填充题不需要解题过程,故只需要求出一个特殊的x值即可),使函数y_1= sinx·     

有“型”可循的三角函数最值问题

三角函数的最值问题都具备一定的形式特点,即有一定的"型",而"型"最值问题都有相应的应对策略,因此只要我们识别了相应的"型",然后按照相应的策略,便可轻松求出最值.题型一y=asinx+b(或y=acosx+b)型应对策略:此类题型的特点是只含有sinx(或cosx)的一次式,处理方式是通过引入新元     

三角函数的性质及其应用

这一讲里,我们重点放在进一步熟悉周期函数概念上,并对三角函数基本性质及应用,作更深入的研究。一、周期函数的概念及应用例1.求下列函数的最小正用期。 (1)y=cos(sinx),(2)y=tg~2x ctg~2x。解:(1)由诱导公式可知sin[cos(x 2π)]=     

巧用斜率解三角函数问题

对于形如y=asinx b/acosx c可理解为y 是(cosx,sinx)与(-c/a,-b/a)两点间的斜率(k=y1-y2/x1-x2).例1 求函数y=2sinx-2/2cosx 1的值域.     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

构造方程求解一类三角问题

有些三角问题,根据题设条件,利用三角公式挖掘数量关系,构造代数方程来处理,使问题获解,往往是解决这类问题的一个有效方法.例1求函数y=sinxcosx sinx cosx的最大值.解设sinx cosx=m,则-2≤m≤2.由题设得sinxcosx=y-m,构造以sinx,cosx为根的一元二次方程t2-mt y-m=0.∵Δ=m2-4(     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=