数形结合巧解等差数列问题

等差数列的通项a．和前n项和S．都可以看作为n的函数，下面就从函数的图象出发，谈一谈如何利用数形结合的思想来处理等差数列的有关问题．（1）等差数列的通项公式表明点（n，an）（n=1,2，…）共线于y=dx＋a1-d上．例1设2和3是某等差数列中的两项，试证明此数列中的任何一项都不是有理数．此题的常规解法是用反证法证明，但着手较难，其过程也不自然，数形结合方法却一目了然．把xR换成nN，y换成an，则有理数，即这个数列的任何一项都是无理数．例2已知等差数列的第P项为q，第q项为P（P＞q），求它的第户十q项和第户一q项．解设A（p，q…     

一道数学竞赛题的探究

2009年全国高中数学联赛一试第一项填空第7小题：一个由若干数字组成的数表，从第二行起每行中的每个数都等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，     

用奇偶性解决有理数问题

<正>学习有理数的加减法后,老师布置一道课后挑战题,题目1:将和1+2+3+4+5+6+7+8+9中的若干个"+"换成"-",设其非复代数和为x,求x的最小值.拿到这个题目时,我是这样想的,要使x最小,x又不是负数,那么x取0应是最小值.首先把第9个数9的前面"+"换成"-",得到     

图形中的递推关系

一、数阵中的递推关系 例1将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_______. 解析我们来观察点阵中从左向右的第3个数的规律，设第n行中数为an（n≥3），     

三角形的一个性质

性质 已知△ABC及其内部一点P，若λ1 PA^→λ2 PB^→＋λ3 PC^→=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3。     

三角形的一个性质的证明及拓广

文[1]给出了三角形的一个简捷的性质： 已知ΔABC及其内部一点P，若λ1PA＋λ2PB＋λ3 PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3．     

用二进制解2003年(全国卷)理科压轴题

题　设 { an}是集合 { 2 t+2 s|0≤ s相似文献   

一道高考题的拓展探究

其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行,第j列的数． （1）写出a45的值;（2）写出aij的计算公式;（3）（文）写出2008这个数在等差数列中所在的一个位置;（理）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．     

一道联赛题的详解

1996年全国初申数学联赛试题中有这样一道选择困：着一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（）（N内心①）外心（Q重心①）垂心此困在本刊1996年第六期上已有详细解答，答策为（0．从解答那里，我得到启示．此题实际上说的是一个三角形的周长被一条直线所赢得的两部分的比Q：Q一丑：1，面积被分成的两部分的比几：而一1：1，那么这条直线通过四心中如一心？若将1：1去掉，直接换成G。Q＝＆：＆，是否能得到同样的结果呢？绿我认立思考后，发现结论仍然成下面给出其证明过召证明设此直线交AB、AC分别为…     

智慧窗

1恭贺新年将下列算式中的汉字换成“0 ,1,2 ,… ,9”这十个数字 ,使算式成立编 +辑 =部向 -作 =者恭×贺 =新年江西赣县田村中学 ( 34 110 2 )　刘延炳2万事如意下图是含年号 2 0 0 3的结构图 ,请你将图中的汉字分别换成 1到 10这十个数字 ,使图中的每个棱形的四个角上的四个数字之和都等于 18.安徽淮南三中 ( 2 32 0 0 7)　王秉春3刊名趣题请找出使下列等式成立的数字算式 .中学 =3 生数学北大附中河南分校 ( 451171)张丕臣4巧换数字将下列两个算式中的汉字换成小于 5 0的不同的自然数 ,使等式成立 .中2 +学2 +生2 +数2 +学2 +真2 +诚2 =2 …     

杨辉三角对部分分式的应用

这个三角形的两条斜边都由数字1组成,其余的数都等于它肩上两数的和。由二项式定理:展开式的系数就是杨辉三角中第n+1行的数字:组合数可以看成是一个二元函数:     

Moser扭转定理在Lagrange稳定性中的应用

本文利用Moser扭转定理证明了一类Duffing方程x″ 9(x)=e(t)的Lagrange稳定性，其中e(t)以1为周期，9：R→R具有下列性质：当x≥d0时，9(x)是超线性的；当x≤-d0时，9(x)是次线性的，其中d0是一正常数．     

p进制数列的唯一性

数的p进制表示依赖于数列{p^n}，：≥0．该数具有一条重要的性质，即：任一自然数m均可唯一地表示成数列{p^n}n≥0中若干项的和(单独一项也称为和)且{p^n}n≥0的每一项至多用p-1次．现在的问题是，除了数列{p^n}n≥0外，是否还有其它数列满足上述性质．本文要回答的正是这一问题．     

对一道例题的讨论

刊登于陕西师大主办的《中学数学教学参考》1996年第12期第27页的例10提出的问题是：已知数列｛an｝是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn＝an＋1-kan＋2（n=1，2，3，...），数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别是Sn、Tn，如果Tn＞ksn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．我们先来看原文的讲解：当q＞0时，QI＞0，"．Q．＞O，故S。＞0；当一IMqMO时，QIM0，1一qM0，1一q"M0，S＝q！．－J－－－－－uMMO．故当q＞一1，且q＃0时，S。＞0总成立，q-kq'＞k，巨rk（1＋q'）＜q，则kMMMM具一合．～1十q'"Zq…     

杨辉三角中的奇数与偶数

1 问题的提出 把杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到以下的"0-1三角"(表1):     

观察 归纳 提升——有趣的“杨辉三角形”

2006年全国高考数学湖北卷（理15题改编）：如图1,将杨辉三角形中的每一个数Crn都换成分数1/（n＋1）Crn就得到一个如图1所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可以看出1/（n＋1）Crn＋1/（n＋1）Cxn=1/nCrn-1,     

零指数幂与负整数指数幂精析

<正>一、零指数幂和负整数指数幂的意义同底数幂相除,当被除式的指数等于或小于除式的指数时,就会出现零指数和负指数,因此,对零指数幂和负整数指数幂的意义作了如下规定:a⁰=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.a0=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.a^(-p)=1/a(-p)=1/a^p(a≠0,p是正整数),即任何不等于0的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数.理解和运用这两个法则时应注意以下几     

四面体的若干性质

文[1]，[2]介绍了三角形的若干性质： 命题1 已知△ABC及其内部一点P，若λ1^→PA＋λ2^→PB＋λ3^→PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则S△PBC：S△PCA：S△PAB=λ1：λ2：λ3。     

智慧窗

<正>1换数字将下述汉字换成不同的自然数,建立等式.读2+本2+刊2+强2+化2+素2+质2+12+=2014.数2+学2+梦2+就2+能2+实2+现2+12=2014.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2金字塔填数请将1至9填入金字塔上的小圆圈内,使a、b、c、d这4个三角形上的数字之和都等于17.(福建省漳州市角美龙池开发区鸿华五金店(363107)洪振铎)取槡cc槡abc次在移动     

单位常数列与等比数列的巧妙编织

一、从一道高考题谈起2007年上海春招数学21题是:在下表内填写数值:首行填1,首列填1,q,q2,…,qn-1:第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q…第3行q2…………第n行qn-1…然后,按照“任意一格的数是它上面、左边一数之和”的规则,填写其他空格.(1)设第2行的数依次为B1,B2,…,Bn,试用n、q表示B1 B2 … Bn的值.(2)设第3列的数依次为C1,C2,…,Cn.求证:对任意非零实数q,C1 C3>2C2.(3)请在以下两个问题中,选择一个进行研究:①能否找到q值,使(2)中的数C1,C2,…,Cn的前m(m≥3)项成等比数列?若能,m是多少?若不能,说明理由.②能否找到q值,使得…