抛物线焦点弦的性质探究

<正>设抛物线的方程为y2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)作倾斜角为α的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容.下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考.     

新题征展(24)

A　题组新编1 .( 1 )若关于 x的两方程 x2 ax 1 =0和 x2 bx 1 =0 ( a≠ b)的四个根可以排成一个以 2为公比的等比数列 ,则 ab=;( 2 )若关于 x的方程 x2 - x a =0和x2 - x b =0的四个根可以排成一个以 14为首项的等差数列 ,则 a b =.(颜为华供题 )2 .( 1 )以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线的位置关系为 ;( 2 )以双曲线的焦点弦为直径的圆与准线的位置关系为 ;( 3)以椭圆的焦点弦为直径的圆与准线的位置关系为 . (党效文供题 )3.点 P在椭圆上 ,F1、F2 是椭圆的两个焦点 ,△ PF1F2 为直角三角形 .若椭圆方程分别为 x245 y22…     

抛物线焦点弦的性质探究

设抛物线的方程为y^2=2px（p〉0）,过焦点F（p/2,0）作倾斜角为a的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容．下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考．     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

以二次曲线的弦为直径的圆方程在解题中的应用

在解析几何中有些问题涉及到以二次曲线的弦为直径的圆方程 ,若用求圆心和半径的方法来解 ,一般较为麻烦 .这里介绍一种较简单的解法 .先来看一个结论 :若直线l与二次曲线C有两个交点A ,B ,则将直线l与二次曲线C的方程联立 ,分别消去y和x ,所得的关于x和y的两个一元二次方程 (让二次项系数相等 )相加即得以AB为直径的圆方程 .应用上述结论的思路解决二次曲线中有关问题是比较方便的 .下面举几个例子介绍有关问题的这种解题模式 .例 1　设过坐标原点的直线l与抛物线C :y2=4(x - 1 )交于A ,B两点 ,且以AB为直径的圆恰好经过抛物线C的焦点…     

导数视角下2019年高中数学联赛A卷一试第10题解法探究

<正>1试题呈现题目(2019年高中数学联赛A卷一试第10题)在平面直角坐标系xOy中,圆Ω与抛物线Γ:y²=4x恰有一个公共点,且圆Ω与x轴相切于Γ的焦点．求圆Ω的半径．本题以抛物线为载体,考查了圆和直线、圆和抛物线的位置关系,解决本题的关键是如何利用两重特殊的未知关系列方程并求出圆的半径．     

抛物线中的几个常用性质

抛物线中的性质较多 ,如能熟练记忆 ,在解题过程中将大大提高解题速度 .本文主要介绍与抛物线焦点弦有关的几个性质 .图 1　证明用图以抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )为例 ,线段ＡＢ为过其焦点Ｆ的弦 ,由Ａ ,Ｂ分别向准线引垂线ＡＡ1,ＢＢ1,垂足分别为Ａ1,Ｂ1(见右图 )性质 1:以焦半径ＢＦ(或ＡＦ)为直径的圆与 ｙ轴相切 ;性质 2 :以焦点弦ＡＢ为直径的圆与其准线ｘ =- ｐ2 相切 ;性质 3:以线段Ａ1Ｂ1为直径的圆与ＡＢ相切 ,切点为Ｆ .证明　设Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .性质 1:即证线段ＢＦ的中点到 ｙ轴的距离等于线段ＢＦ长度的一半 .设…     

一道习题的联想

《高等数学》 (同济大学出版社第三版上册 ) P.345第 1 0题 :求由抛物线 y2 =4ax与过焦点的弦所围成图形面积的最小值 .此题多数参考书上都是用直角坐标下的方程求解的 ,方法较繁 ,且易出错 .若改用极坐标方程 ,可使求解过程简单 ;而把题中的抛物线改为椭圆或双曲线时 ,用极坐标更能显示其优越性 ,下面是此题的极坐标解法 .以抛物线 y2 =4ax的焦点为极点 ,对称轴为极轴 ,建立极坐标系 ,则该抛物线的极坐标方程为ρ= 2 a1 -cosθ.抛物线与过焦点的弦所围成的面积为 :S=12 ∫π θθ(2 a1 -cosθ) 2 dθ=a2∫π θθcsc4 θ2 d(θ2 ) =a2 [tg…     

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 ,现用定理形式叙述如下 :定理 1　抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 .证明　不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=ｐ1 -ｃｏｓθ,则显然有 ρ≥ ｐ2 ,其中等号成立当且仅当θ=2ｋπ+π(ｋ∈Ｚ)即焦半径通过抛物线的顶点时 .定理 2　抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 .证明　设抛物线极坐标方程为 ρ =ｐ1 -ｃｏｓθ,焦点弦为ＡＢ ,且设Ａ(ρ1 ,θ) ,Ｂ(ρ2 ,θ +π) ,则有｜ＡＢ｜=ρ1 +ρ2 =ｐ1 -ｃｏｓθ+ ｐ1 -ｃｏｓ…     

与抛物线焦点有关的四组直线的垂直关系

与抛物线焦点有关的四组直线的垂直关系浙江省黄岩中学王一仁在解（证）题时，凡涉及抛物线的焦半径。焦点弦的有关的问题，用参数方程比较简便．下面先推导抛物线的参数方程．若Ａ为抛物线上任意一点，Ｆ为焦点，设为ＦＸ绕Ｆ逆时针旋转到ＦＡ所成的角，则抛物线的参数方...     

只有一个圆吗?

<正>在解决数学习题时,有同学遇到如下一道题:问题已知抛物线y~2=4ax(a>0),求圆心在抛物线的对称轴上,通过抛物线的焦点且与抛物线相切的圆的方程.对于这个问题,他是这样解答的:因为抛物线的方程为y~2=4ax,所以对称轴为x轴,焦点为F(a,0).     

有内切球的圆台的判别与构作

我们都知道，对于一个给定的球，总有它的外切圆台（不只一个）存在．但反过来，对于一个给定的圆台，却不总有其内切球．为此，本文将介绍抛物线焦点弦的一个应用——有内切球的圆台的判别与构作．定理如果抛物线的焦点弦与其对称轴不垂直，那么这条焦点弦绕其准线旋转一周而生成的圆台（焦点弦生成圆台侧面，其端点到准线的垂线段生成圆台的两底）必有其内切球．如图1，F为抛物线C的焦点，线段AB为C的一焦点弦，直线A；BI为C的准线，且AAI、BBI分别垂直AIBI于AI、BI；D为C的顶点，o为线段A1B；的中点．要证明直角梯形AIABBI…     

椭圆的伴随圆系及其性质

1 椭圆的伴随圆的含义 所谓椭圆的伴随圆是指与椭圆有关的圆,如椭圆的内切圆是常见的一种伴随圆,文[1]中对抛物线的伴随圆系及其性质进行了研究,本文进一步对椭圆的伴随圆系性质进行探究.并且归纳出椭圆离心率的又一几何意义.     

用焦点弦定比解题

例过抛物线的焦点弦的两端点作抛物线的切线,求证:两切线的交点P在其准线上。证明设抛物线方程为y~2=2px,焦点F(p/2,0),焦点弦端点分别为A(x_1·y_1)、B(x_2,     

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法赵怀营（河北省东光县一中０６１６００）求圆锥曲线焦点弦的长度，通常用两点间距离公式，或极坐标系中极径来计算，本文介绍用焦半径求焦点弦长度的方法，望批评指正．一、设抛物线方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），过焦点Ｆ的弦交抛物线...     

已知一条渐近线与一个焦点能唯一确定双曲线吗？

笔者在高考复习中发现江苏省 1 997年普通高等学校单独招生考试数学试题的最后一题 ,即第 2 5题是一道病题 .原题是这样的 :已知圆 C:x2 y2 - 1 0 x =0 ,过原点的直线l被圆 C所截得的弦长为 8,求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐进线的双曲线方程 .根据题意 ,过原点的直线 l被圆 C所截得的弦长为 8,这样的直线 l有两条 y =34x与 y =- 34x,到底以哪一条为渐近线呢 ,还是以这两条为渐近线呢 ?这里原题只说求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐近线的双曲线方程 .依题意 ,渐近线 l的选择可以任取一条 .这里就有这样一个问题 ;以一个点为焦点…     

与拋物线焦点有关的四组直线的垂直关系

抛物线焦点是其对称轴上的特定点,焦半径、焦点弦以及过焦点的其它直线,连同抛物线的准线、轴线及切线、法线等,在位置上存在着一定的制约关系。为叙述方便且不失一般性,将有关点和线的表示符号作如下约定:抛物线方程为y~2=     

几何法在抛物线一类问题中的简解与结论推广

2012年各省市的高考卷中都注重了对抛物线方程与性质的考查,尤其是对过抛物线焦点的弦性质的考查.笔者在研究这类试题中发现除了"方程法"之外,"几何法"也是行之有效的方法.例(2012年安徽卷理科第9题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交该抛物线于A、B两点,     

谈谈圆锥曲线的几个定值

圆锥曲线有许多丰富、有趣的性质 ,是高中各类考试考查的重点内容 ,本文对其中的几个定值问题加以总结 .1　焦点弦性质圆锥曲线过焦点的弦被焦点分成长为ｍ ,ｎ的两部分 ,则 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.证明　由圆锥曲线统一的极坐标方程ρ= ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ.可设ｍ =ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ,ｎ=ｅｐ1 -ｅｃｏｓ(θ+π)所以 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.2　定点弦性质抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的动弦ＡＢ恒过定点Ｍ(2ｐ,0 )的充要条件是ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1 .证明　充分性 .若ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1设弦ＯＡ的方程为ｙ=ｋｘ,①则弦ＯＢ的方程为ｙ=-1ｋｘ ,②由抛物线方程…