一道2007年高考题的推广及应用

问题1(2007年高考湖南卷,理20)已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.1)若动点M满足F1M=F1A F1B F1O(其中O为坐标原点),求M的轨迹方程;2)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.问题1的2)正确结论为“在x轴上存在定点C(1,0),使CA·CB为常数”.对此,本文作如下推广.定理1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c>0,c2=a2 b2),过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与双曲线相交于A,B两点,则在x轴上存在唯一定点C((a2-b2)t2 a2c22a2t,0),使CA·CB为常…     

利用相似三角形证勾股定理

已知Rt△ABC各边长为a、b、c,求证:a~2 b~2=C~2。证明如图,延长CB至Q、CA至p,使BQ=CB=a,AP=CA=b。连结PQ,并作AT上PQ于点T,BR上PQ于点R。令QR=X,PT=y。则ABRT为矩形;△QCP∽△BCA,相似比为2,∠Q=∠CBA。从而,由△ABC∽△BQR,得a/c=x/a即a~2=cx。同理,b2=Cy于是a~2 b~2=C(x y)     

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

利用复数解轨迹问题

在解析几何求轨迹的问题中,有些题目适合利用复数来求解,从而避免了繁冗的过程,使之简化. 我就遇到过以下两道题,可借助复数来解. 例1 在平面直角坐标系中,有折线y=|x|,三角形ABC中,∠ACB=90°.CA=CB=2~(1/2),顶点A、B分别在射线y=-x(x<0)与y=x(x>0)上运动,点C位于y>|x|的区域中,求三角形ABC重心G的轨迹方程. 解设C(xc,yc),A(xa,-xA),B(xB,xB)、如图     

均值不等式的图解

高中数学第二册 (上 )在习题中指出 :已知a、b都是正数 ,求证 :21 /a 1 /b≤ab≤ a b2 ≤ a2 b22 ,记为H≤G≤A≤Q .即调和平均 (H)≤几何平均(G)≤算术平均 (A) ≤均方根 (Q) .这组公式称为两个正数的均值不等式 ,它们有鲜明的几可背景 .现给出两种图解 .图 1图解Ⅰ　如图 1 ,以a b长的线段为直径作半圆 ,在直径AB上取点C ,作AC=a ,CB =b .过C作垂直于AB的线段交半圆周于D ,连AD ,DB .连OD ,过C作CE⊥OD于E .过O作AB的垂线段交半圆周于F ,连CF .在Rt△ADB中 ,由CD2 =AC·CB ,有CD=ab ;在Rt△COD中 ,由CD2 =DE·O…     

三角形内心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,阅读之后受到启发,笔者发现三角形内心也有类似的性质,现行之成文与读者共同探讨.性质1如图1,设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边长分别为a,b,c.已知点I是△ABC的内心,过I作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=m AB,AN=n AC,则bm cn=a b图1 c.证因为点I是△ABC的内心,∴a IA b IB c IC=0[3],∴-a AI b(AB-AI) c(AC-AI)=0,∴(a b c)AI=b AB c AC,即AI=ba b c·AB ca b c·AC.又因为M,I,N三点共线(A不在直线MN上),∴AI=λAM μAN(且λ μ=1),∴AI=λm AB μn AC=ba b c·…     

对一道解析几何模考题的深度探究

近日,笔者在研究2016年天一大联考阶段性测试(三)的一道试题时,有了意外的收获. 一、试题呈现,思路简析 已知O为坐标原点,A,B为双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)上的两点,且(OA)+(OB)=(0).若双曲线C上与A,B两点横坐标不相同的任意一点P,满足kPA·kPB =2(k表示直线的斜率),则双曲线C的离心率为()     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

考点15 向量的概念及运算

1.(北京卷,3)若a=1,b=2,c=a+b,且c⊥a则向量a与b的夹角为().(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°2.(山东卷,7)已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是().(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D3.(全国卷,8)已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=λCE,其中λ等于().(A)2(B)21(C)-3(D)-314.(辽宁卷,9)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为().(A)8或-2(B)6或-4(C)4或-6(D)2或-85.(全国卷,10)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即…     

2006年高考数学湖北卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知向量a=3,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=A.23,12B.21,23C.41,343D.(1,0)2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=A.4B.2C.-2D.-43.若△ABC的内角A满足sin2A=23,则sinA+cosA=A.315B.-315C.35D.-354.设f(x)=lg22-+xx,则f(2x)+f(2x)的定义域为A.(-4,0)∪(0,4)B.(-4,-1)∪(1,4)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-4,-2)∪(2,4)5.在x-13x24的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项6.关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:①若m∥α,n∥β且…     

2005年全国各地高考与模拟数学试题评析——平面向量与复数

1考点与命题1.1客观题考点分析1.1.1平面向量在几何方面的考查,一般是根据几何元素所具有的特性或向量满足某些条件来判定其他几何元素或向量所具有的属性.例1[全国卷Ⅰ(11)]点O是三角形ABC所在平面内一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()(A)三个内角平分线的交点.(B)三条边的垂直平分线的交点.(C)三条中线的交点.(D)三条高线的交点.简解由OA·OB=OA·OC OA·(OB-OC)=OA·CB=0,即得选(D).例2[江西卷(6)]已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为()(A)30°.(B)60°.(C)120°.(D)150°.简…     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

五立体几何

1.如果平面外的一条直线与这个平面的一条垂线垂直,那么这直线与这个平面平行。 2.已知a、b为两异面直线,由直线a上两点A、B分别引直线b的垂线,垂足为A_1、B_1,已知AB=2,A_1B_1=1;求异面直线a、b所成的角。 3.已知三条射线SA、SB、SC所成的∠ASC=∠BSC=30°,∠ASB=45°;求平面ASC与平面BSC所成的二面角的大小。 4.巳知A、B、 C、D四个点在平面a和平面β之外,A、B、C、D在平面a上的射影是A~1、B~1、c~1、D~1,且这四点在一直线上 A、B、C、D在平     

对八六年一道高考试题的解法探讨

在这篇短文里,我们对一九八六年高考第五题的解法进行一些探讨,并寻找讨论该题的更一般情形。题;如图,在直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值。解法1 设点A(0,a)、B(0,b)(a>b>O) C(x,0)(x>O) ∠ACB∈(0,π/2) ∵ k_(CB)=-b/x,k_(CA)=-a/x。     

解法相似的两个最小值问题

<正>同学们在高中数学学习中,大多会遇到下面的两个有一定难度的问题.问题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c/b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求y=c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但在遇到问题2时,却难以独立解决.从表面上看,问题1与问题2确实有很大的差异,但从     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得:     

2006年高考数学湖南卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.函数log2x-2的定义域是A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)2.若数列{an}满足:a1=31,且对任意正整数m,n都有am+n=an·an,则li m→∞(a1+a2+…+an)A.21B.23C.23D.23.过平行六面体ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有A.4条B.6条C.8条D.12条4.“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分有不必要条件5.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是A.0…     

两个三角形垂心相同的充要条件

在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC…