L_p空间中积分方程的几个问题

Fredholm及Volterra第二种方程一般在连续类或L_2类中讨论,如文献[4]—[6]。在L_p空间中的推广首先由F.Riesz等作出。不过讨论的是线性Fredholm方程仅设φ(x),f(x)∈L_p,而K_φ=integral from n=a to b K(x,y)φ(y)dy是L_p上的线性算子,但未给出核的具体条件。并用抽象算子方法论证算子方程解的存在唯一性,用全连续算子理论讨论Fredholm的几个定理。     

φ形式Khintchine不等式不成立

本文论证了龙顺潮、王键建立的φ形式的Khintchine 不等式不成立,他们的不等式如下:φ- 1 ∑n1φ(｜aj｜) ≤C 12n ∑ε1…∑εn｜ε1a1+ …+ εnan｜,其中φ(x)为满足φ(a+ b)≥φ(a)+ φ(b) (a,b≥0),其反函数φ- 1(x)单调增加的函数,C为常数,εi= ±1,∑ε1…∑εn对所有(ε1…εn)取值,a1,…,an 为任意复数.     

方程φ_2(φ_3(n))=3~(ω(n))的可解性

φ_e(n)为广义Euler函数,探讨了含有e=2和e=3时的广义复合Euler函数的不定方程φ_2(φ_3(n))=3~(w(n))的可解性问题.基于广义Euler函数φ_e(n)的性质,借助初等方法给出方程φ_2(φ_3(n))=3~(w(n))的全部20组解.     

关于双曲型方程的狄里赫利问题的两点注记

1°在文献[1]中D.Bourgin与R.Duffin研究了絃振动方程在矩形区域上可适定的狄里赫利问题,他们指出对于问题:若设(i)a=T/s为K阶代数无理数,(ii)φ(x),φ_1(x)∈C~(K+4)[0≤x≤s],ψ(t),ψ_1(t)∈C~(K+4)[0≤t≤T],φ(0)=φ(s)=φ_1(0)=φ_1(s)=ψ(T)=ψ_1(0)=ψ_1(T)=0,则定解问题(A)存在唯一解y(x,t)∈C~2[0≤x≤s,0≤t≤T]。他们的结果系利用代数数论中Liouville定理。由于Liouville定理已被Roth在1955年改进成最佳形式,     

争鸣

问题　　问题6 7　　设实数m ,n ,x ,y满足m2+n2 =a ,x2 +y2 =b ,求mx +ny的最大值.观点1　∵mx +ny≤m2 +x22 + n2 +y22=(m2 +n2 ) + (x2 +y2 )2 =a +b2 ,∴(mx +ny) max=a +b2 .观点2　由已知,设m =acosθ,n =asinθ,θ∈[0 ,2π) ,x =bcosφ,y =bsinφ,φ∈[0 ,2π) ,则mx +ny =abcosθcosφ+absinθsinφ=abcos(θ- φ)≤ab ,当且仅当θ=φ时取等号.∴(mx +ny) max=ab .观点3　由观点2 ,得mx +ny≤ab ,又ab≤a +b2 ,∴mx +ny≤a +b2 ,当且仅当θ=φ且a =b时取等号.∴(mx +ny) max=a +b2 .到底谁对谁错,还是题目本身就有错?问题6 8　人教…     

与Euler函数φ(n)有关的非线性方程的正整数解

在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解.     

关于变量个数的几个单调函数

目前 ,人们对比较变量大小之间关系的不等式较为关注 ,但是 ,笔者发现 ,有一些不等式在变量的定义域内 ,经过变量置换 ,可以得到关于变量个数的一些单调函数 .为了讨论方便 ,设实函数 f(x)的定义域为x∈(a ,b) ,实数Pi>0 (1≤i≤n) ,n∈N .记λn=∑ni=1Pi,An=∑ni=1Pixi/λn,Bn=∑ni=1Pif(xi) /λn.定理　若 f(x)在区间 (a ,b)上为凸函数 ,则φ(n) =λn[f(An) -Bn]是n的递增函数 .证　设x′i∈ (a ,b) ,根据凸函数定理有f(A′n)≥B′n (1)A′n=∑ni=1Pix′i/λn,B′n=∑ni=1Pif(x′i) /λn.令x′1=x′2 =… =x′n - 1=An - 1,x′n=xn…     

关于方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))

设n为任意正整数,φ(n)是Euler函数.主要研究了方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))的可解性问题,利用数论中的理论和方法,获得了该方程的所有正整数解.     

拟齐次核的Hilbert型级数不等式的最佳搭配参数条件及应用

选择搭配参数a,b,利用权函数方法可得Hilbert型级数不等式∞Σn=1∞Σm=1 K(m,n)ambn≤ M(a,b)||(a)||p,α(a,b)||(b)||q,β(a,b).该文讨论a,b应如何选取才能使具有拟齐次核的不等式中M(a,b)为最佳常数因子的问题,得到了a,b为最佳搭配参数的充分必要条件及最佳常数...     

Characterizations of Best L_p(1≤p≤+ ∞) Approximation With Restricted Ranges of Derivatives

Let [a,b] be a compact set containing at least n + 1 points. If Φ_n = span(φ_1, φ_2,…, φ_n) is an n-dimensional subspace of L,[a, b] m φ_1~(s), φ_2~(s)…, φ_n~(s)exist (s≥0is an integer) and have a maximal linearly independent subset which is an extendedChebyshev system of order rs on [a,b], then write     

关于M/M/n排队模型的动态解及稳定性

文章讨论动态 M/M/n排队模型 ,运用算子半群理论证明了该模型动态正解的存在唯一性 .并进一步表明零点是系统的一个本征值 ,相应的本征函数为系统的一个定态正解 ,系统的动态正解强稳定到定态解     

非线性Kirchhoff型椭圆方程的最低能量解

该文讨论以下非线性Kirchhoff型椭圆方程非平凡解和非负最低能量解的存在性■其中p∈(3,5), a,b 0, V∈C(R~3,R~+)并且■V(x)=∞.通过变分方法,该文首先证明了对于任何b 0,存在δ(b) 0,使得当μ_1≤μμ1+δ(b)时,方程(0.1)有非平凡解.其次,进一步证明了存在δ_1(b)∈(0,δ(b)),当μ_1μμ_1+δ_1(b)时,方程(0.1)有非负的最低能量解,这里μ_1是Schrodinger算子-△+V的第一特征值.最后利用对称山路引理证明了对任意的μ∈R,方程(0.1)存在无穷多个非平凡解.     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

广义Euler函数φ_2(n)与Euler函数φ(n)混合的一方程

令函数φ(n)为Euler函数,函数φ_e(n)为广义Euler函数,讨论了方程φ_2(φ(n))=φ(φ_2(n)的可解性,利用初等的方法给出了其成立时正整数n的形式或者n需满足的条件.     

不定方程x4-y4=n整数解求法探讨

求方程 x4- y4=n　 ( n∈ N)的整数解 ,至今还没见到一般方法 ,本文将给出这类不定方程一种解法 .文中字母 P表示质数集 ,符号 ( a,b)( a、b∈ Z)表示不定方程　　 x4- y4=n　 ( n∈ N) ( 1 )的整数解 .定理 1　若 n∈ P,则方程 ( 1 )没有整数解 .证明　假定方程 ( 1 )有整数解 ( a,b) ,定有　 a2 b2 =n,　 a2 - b2 =1 ,∵　 a、b∈ Z,| a| >| b| ,只有　　　 (± 1 ) 2 - 0 2 =1 ,∴　 a =± 1 ,　 b =0 ,　 a2 b2 =1 ,与 a2 b2 =n是质数相矛盾 ,故方程 ( 1 )没有整数解 .由费马定理知 ,有定理 2　当 n =m4( n∈ N)时 ,则方程 ( 1…     

关于方程和不等式组的无解问题

同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用     

两个数学问题的统一

《数学通报》2 0 0 3年第 5期、第 9期数学问题栏中第 1 4 35题、1 4 54题分别是 :( 1 ) a、b∈ R ,求证aa 3b bb 3a≥ 1 1( 2 ) a、b >0 ,求证aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 2将 2式的结论变形为a2a2 3b2 b2b2 3a2 ≥ 1 3观察不等式 1、3的结构特征 ,可将这两个不等式作出统一的指数推广 .推广　 n∈ N,a、b∈ R ,则　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 4证明　∵　 ( a3 n4 b3 n4) 2 - ( a3 n4) 2=b3 n2 2 a3 n4b3 n4=b3 n4( b3 n4 a3 n4 a3 n4)≥ b3 n4. 33 a3 n4. a3 n4. b3 n4=3an2 . bn4. b3 n4=3an2 bn.∴　 ( a3 n4 …     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献   

本征值问题的统一推导方法及讨论

针对一般情形的本征方程X″(x)-2bX′(x)+λX(x)=0结合第一、二、三类齐次边界条件的统一形式,给出有关本征值问题的统一结果,从而可直接利用分离变量法求解2U/t2=a22U/x2+a1u/x+a2t/u+a3u型等含有ux项的泛定方程的定解问题.     

Characterization in Approximation with Restricted Ranges

Let [a,b] be a compact set containing at least n+1 points,C the set ofall continuous real valued functions defined on with uniform norm If φ_n=span{φ_1,…,φ_n),φ_i∈C([a,b])and φ_1,…,φ_n is an extended Chebyshev system of or-der,r(1≤r≤n),then we call K={q∈φ_n:l(x)≤q(x)≤u(x),x∈[a,b]} the set ofgeneralized polynomials having restricted ranges,where l and u are extended real