利用点与曲线的位置关系解题

利用点与曲线的位置关系解题８３１５００新疆阜康市一中张志略对于点和曲线的位置关系，我们有命题１设直线１的方程ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ｂ＞０），若点Ｍ（ｘ１，ｙ１）在直线ｌ的上（下）方，则有ｆ（ｘ１，ｙ１）＞（＜）０；若两点Ｍ（ｘ１，ｙ１），...     

课题2 点到直线的距离公式

课题２点到直线的距离公式２１４２２１江苏宜兴市丁蜀中学陈萍师：在初中，学矿点到直线距离”这一概急，大家记得吗？…瞑，记得，妇，那么（指国１）来一下南Ａ到亘线ｌ的压禹：Ａ：作ＡＢ上ｌ于Ｂ，司是没法具，Ｐ如玉量．姐画一个ＲｔＡＡＢＣ……．师：嗯！构造Ｒｔ...     

1998年高考数学理科21题评析

题如图，直线ｌ１和ｌ２相交于Ｍ，ｌ１⊥ｌ２，点Ｎ∈ｌ１，以Ａ，Ｂ为端点的曲线段Ｃ上的任一点到ｌ２的距离与到点Ｎ的距离相等，若△ＡＭＮ为锐角三角形，｜ＡＭ｜＝１７，｜ＡＮ｜＝３，且｜ＢＮ｜＝６，建立适当的坐标系，求曲线段Ｃ的方程．这是一道上佳的中档题，...     

第35届IMO第2题的又一证法

第３５届ＩＭＯ第２题的又一证法李纯红（四川师范学院数学系６３７００２）第３５届ＩＭＯ第２题如下所述：题Ｎ为∠ＢＡＣ的角平分线上一点，点Ｐ及点Ｏ分别在直线ＡＢ和ＡＮ上，其中∠ＡＮＰ＝９０°＝∠ＡＰＯ．在ＮＰ中任取一点Ｑ，过点Ｑ任作直线交ＡＢ和ＡＣ分别于...     

点到直线距离公式的一个简捷求法

点到直线距离公式的一个简捷求法陈国正（湖南津市一中４１５４００）求点Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离．一个自然的解题思路是：作ＰＱ⊥ｌ于Ｑ；列出垂线ＰＱ的方程；解方程组求垂足Ｑ的坐标；计算｜ＰＱ｜得所求．课本［１］指出：“这个方法虽...     

三角问题的非三角解法两例

三角问题的非三角解法两例６１２５９６四川仁寿县教研室余立峰例１已知ａｂｃ４０，ａ、ｐ、ｙ互不相等，在直线ａｘ＋ｂｙ＋ｃ—０（１）上．又由两点式可得经过Ａ、Ｂ两点的直线是单位圆在Ａ点的切线方程为单位圆上的点Ｂ（ｃｏｓｑ，ｓｉｎｑ）在这条切线上．而过圆上...     

求轴对称点坐标的一种方法

求轴对称点坐标的一种方法李继武（湖北襄阳县一中４４１０００）设直线，点Ａ（ｍ，ｎ）不在直线ｌ上，在求点Ａ关于直线ｌ的对称点时，常用的方法是由解得。我们知道，如果已知Ｂ点到原点的距离，且ＯＢ是角的终边（始边为Ｏｘ），则Ｂ点的坐标为，本文用任意角三角函数...     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题直线和平面（高一）张军徐和郁（浙江普陀中学３１６１００）第一套平面的性质１．如果点Ｐ在直线ｌ上，而直线ｌ又在平面α内，则可记作（）（Ａ）Ｐｌα．（Ｂ）Ｐ∈ｌ∈α．（Ｃ）Ｐ∈ｌα．（Ｄ）Ｐｌ∈α．２．已知相交直线ＡＢ，ＡＣ确...     

美国芝加哥大学中学数学设计（UCSMP）矩阵（续）

美国芝加哥大学中学数学设计（ＵＣＳＭＰ）矩阵（续）（接上期）４—５反射（对称）回忆几何中一点Ａ对一条直线ｍ的反射像是１．仍是点Ａ．如果Ａ在ｍ上；２．点Ａ’使ｍ是互了的垂直平分线，如果Ａ不在。上．直线。叫做反射线或（对称轴）．假设反射线是。轴，如下图，...     

运用直线重合的条件解题

运用直线重合的条件解题２２４３００江苏射阳中学钱军先，邓超众所周知，直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０与直线ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０（其中Ａ１、Ｂ１、Ｃ１、Ａ２、Ｂ２、Ｃ２均不为零）重合的充要条件是．运用这一条件求解某些数学问题，可以收到出奇制...     

活用λ的几何意义

定理　如果Ａ、Ｂ两点的坐标是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,点Ｐ在直线ＡＢ上 ,ＡＰＰＢ =λ(λ≠ -1) ,那么ｘＰ=ｘ1+λｘ21+λ ,ｙＰ=ｙ1+λｙ21+λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时注意“数形结合” ,明确Ｐ在直线ＡＢ上的位置与数λ的相互对应关系 ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .Ｐ在直线ＡＢ上的位置λ的变化情况Ｐ在有向线段ＡＢ内Ｐ为线段ＡＢ中点0 <λ<+∞λ =1Ｐ在有向线段ＡＢ的延长线上 -∞ <λ<- 1Ｐ在有向线段ＢＡ的延长线上 - 1<λ <0　　例 1　解不等式 0 <ｘ2 -5ｘ + 6ｘ2 + 5ｘ …     

用变换方法解决立体几何问题

变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1　变换位置1.1　变换点的位置命题 1　 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1　例 1图例 1　如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解　连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ…     

莫斯科大学一九九二年入学考试部分数学试题简介

莫斯科大学一九九二年入学考试部分数学试题简介千溪１力学—数学系１．１解方程６ｓｉｎ１、２设四边形ＡＢＣＤ有外接圆，且其对角线相交于点Ｅ．在直线ＡＣ上取一点Ｍ，且有ＤＭＥ＝８０°，已知ＡＢＤ＝６０°，ＬＣＢＤ＝７０°．问点Ｍ位于对角线ＡＣ上还是位于ＡＣ...     

坐标方法的应用

坐标方法的应用晨旭４．求曲线方程问题例７自点Ａ（－３，３）发出的光线ｌ射到ｘ轴上，被ｘ轴反射，其反射光线所在直线与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ＋７＝０相切，求光线ｌ所在直线方程．分析：本题目标明确，ｌ所在直线上一个定点Ａ是已知的，所以只要求出此直线的斜率...     

关于直线的对称问题

在涉及点或曲线关于直线对称的问题 ,一般运用中垂线的性质列出方程联立求解 .不过 ,此法一般运算量大 ,出错率高 .如果利用下述对称点坐标公式 ,则可简化求解过程 ,迅速得出结论 .设曲线ｃ:Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (ＡＢ≠ 0 )的对称曲线为ｃ′ ,点Ａ(ｘ ,ｙ)∈ｃ关于ｌ的对称点为Ａ′(ｘ′,ｙ′)∈ｃ′,则ｙ - ｙ′ｘ -ｘ′·(- ＡＢ) =- 1 ,又　 Ａ(ｘ ｘ′)2 Ｂ(ｙ ｙ′)2 Ｃ =0 ,解得 ｘ′ =ｘ Ａｔｙ′=ｙ Ｂｔ (其中ｔ =- 2 (Ａｘ Ｂｙ Ｃ)Ａ2 Ｂ2 ) (1 )于是 ,曲线ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂ…     

由一道例题展开的联想

由一道例题展开的联想４３００１６武汉市二中高二（４）班李昌智指导老师张家龙人教社版高中数学实验课本Ⅳ（上册）Ｐ８９有这样一道例题：例点Ｐ为ΔＡＢＣ中平行于边ＢＣ的中位线ＤＥ上任意一点，直线ＣＰ交ＡＢ于Ｍ，直线ＢＰ交ＡＣ于Ｎ．求证：原证明如下：取坐标系...     

数学问题解答

数学问题解答１９９３年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）８６６试证过椭圆上一定点Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｙ≠０），任作两条倾角互补的直线与椭圆交于Ａ，Ｂ两点，则直线ＡＢ的斜率为定值．解设Ｂ…ｃｏｓｏ，ｂｓｉｎ用．则有：同理——ｕ。ｌ。ｖ——ｎｕｌｌ。...     

明修栈道暗渡陈仓

教师们在用《几何画板》制作课件时 ,是否感到 :由于《几何画板》不能作曲线 (圆除外 )与其它曲线的交点 ,因此很难实现长度为定值的线段的两端点在曲线上的运动 .这里介绍一种方法 ,使《几何画板》能演示这一运动 .下面以长度为ｌ的线段ＡＢ的两端点在抛物线 ｙ =ｘ2 上的移动为例 ,说明制作过程 ,供参考 .根据Ａ、Ｂ的移动求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹 ,这是一个常见的数学问题 (1 987年高考题中有求ＡＢ的中点Ｍ到ｘ轴距离的最小值 ) ,我们可以先求出点Ｍ的轨迹方程 .解法如下 :设点Ｍ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ＡＢ的倾斜角为θ,由于｜Ａ…     

启迪·探究·发现·概括—— 一道课本习题的引伸

题目经过抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点Ｆ，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ叫做抛物线的通径．求通径ＡＢ的长．这是高中《平面解析几何》（必修）习题八第５题．人民教育出版社的教学参考书提供的解法为：将Ａ，Ｂ两点的横坐标ｘＡ＝ｘＢ＝...     

几何问题的动态演变

1999年高考压轴题:给出定点Ａ(ａ,0)(ａ>0)和直线ｌ:ｘ=-1,Ｂ是直线ｌ上的动点,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于点Ｃ.求点Ｃ的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系(以下简称考题).我们利用《几何画板》软件,按题意作出轨迹,再拖动其中的有关定点、定直线,得到了很有意思的结果(受篇幅的限制,本文所有结论省去了推导和证明).1　扩大参数ａ的范围参数ａ(ａ∈Ｒ)的范围扩大后,Ｃ点的轨迹方程仍为:(1-ａ)ｘ2-2ａｘ (1 ａ)ｙ2=0(1)图1　曲线变化图　　拖动点Ａ在ｘ轴上移动,曲线随Ａ点的不断移动而变化,如图1,除考题中三种曲线(如图中的Ｃ…