数学问题解答

2015年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)2221有一表面积为定值S的长方体,其所有顶点在半径为定值R的球面上移动。记球面上的两个定点分别为M和M′,当长方体的某一顶点由M移动到M′时,长方体的棱长随之变化,其中最长棱的长度由a变化到a′并且仍为最长棱,最短棱的长度由c变化到c′并且仍为最短棱.求     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1等腰四面体的外接球三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=24a2 b2 c2.特别地,当a=b=c时,棱长为a的正四面体的外接球半径为R=46a.例1(2003年…     

也谈特殊四面体的性质

本刊文 [1 ]介绍了三条棱两两互相垂直的四面体的三个特殊性质 ,读后颇受启发 .此类四面体又称直角四面体或毕达哥拉斯四面体 ,在立体几何的位置类似直角三角形在平面几何的位置 .本文再介绍一些性质 ,以飨读者 .性质 1　若四面体中两两互相垂直的三条棱长分别为a ,b ,c,则直角四面体外接球半径R =a2 +b2 +c22 .证　以两两互相垂直的三条棱为依托 ,将直角四面体补成长方体 ,显然长方体对角线即外接球的直径 ,故半径R =a2 +b2 +c22 .性质 2　若两两互相垂直的三条棱长分别为a ,b ,c,则直角四面体内切球半径r = abcab +bc+ca +a2 b2 +b2 c2 +…     

基本图形长方体的联想

一、由直二面角联想到长方体例1 线段AB长为2,端点A、B分别在一个直二面角的两个面上,AB和两个面所成的角分别是45°和30°,那么点A、B在这个二面角的棱上的射影A1、B1间的距离是____.……     

对棱相等三棱锥例说

在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1　如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解　如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵　 A′ B′∥ CD,∴　 AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1　　　　　　图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA…     

留心处处皆学问——由一道征解题引发的思考

《数学通讯》学生刊2011年第4期的问题征解中的第54题是由蒋明斌老师提供的,原题为：已知长方体的棱长均为整数,且它的体积与表面积在数值上相等,求符合要求的长方体的个数．     

内化数学表象进行有效教学——“长方体再认识”教学案例

数学表象，指人脑在一定条件刺激的影响下，对没有直接呈现的数学信息，在记忆中进行加工、提取和重组，最终产生数学的形象．在实际生活中，都接触过长方体，木箱、房子、方砖等等都给了我们长方体的形象．当“长方体”一词被提及，即使实物并没有出现时，长方体的形象也会在头脑中出现．而且，出现的方式并不是木箱也不会是方砖，是被典型化抽象化了的长方体形象，它具有六个面、八个顶点、十二条棱，     

《黑龙江省珠心算数学鉴定标准》一级试卷(试行)

一、有关表面积、体积计算10题(每题6分,计60分) (一)一个正方体,棱长是8厘米,求它的表面积。 (二)做一个长方体的玻璃鱼缸,长5分米,宽3分米,高2分米,至少需要多少平方分米的玻璃?     

构造长方体解题

长方体是同学们比较熟悉的几何体,根据长方体的棱、对角线、面之间的特殊位置关系,把符合长方体特征的命题通过构造长方体来解决,能起到事半功倍的效果．下面以2008年高考题说明构造长方体解题的妙用,以供参考．     

空间数共17个

文[1]给出了"空间数"的定义,即体积、表面积和总棱长三者全相等或有两者相等的那个数,设长方体高为x,宽为y,长为z,且x≤y≤z,x,y,z∈N*,则     

选择题三道

本专栏提供三个“四里挑一”的选择题,都要求回答,故称一望而解。 1 图右所示是个从前、上、右方向看去的正方体,只须变更其中 (A)四对, (B)三对, (C)两对, (D)一对。棱的虚实,则变成一个从前、下、左方向看去的正方体。 2 所有对角线相等的棱柱一定不是 (A)正六棱肚, (B)正五棱柱。 (C)正四棱柱, (D)长方体。     

勾股数问题的推广——空间勾股数

我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四     

浅谈解立体几何题的整体处理途径

所谓整体处理的思维意识，是指从整体去考虑问题，解题时将一些不同的元素（或条件），或解题过程，或与命题有关的概念及知识点当作一个整体来考虑的思维意识．正是由于缺少整体思维意识，许多学生在解立体几何题时不能高瞻远瞩，去考虑题没条件与待求、待证事项的内在联系，解题时或一叶障目，或沉闷繁冗，或残缺不全，甚至迷失解题的方向．解立体几何题时整体处理问题的途径很多，现择其一、二加以浅述．1构造方程（组），设而不来例1已知长方体的全面积为11，其12条棱长之和为24，求长方体的对角线之长．解设长方体的一个顶点上的三条棱…     

通用教材《立体几何》(甲种本)中的几个问题

一、关于《教材》的部分语言作为教材的语言,我认为必须做到、明确、通俗、简炼、规范这八个字。这八个字的意义是明白的。数学教材也必须体现数学科学的和谐和美感,保持数学科学文著的严谨清俊的风格。《教材》第56页,关于长方体对角线性质是这样叙述的:“长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。”这里的问题是,可以说直线经过点,或点在直线上,不能说     

一个命题及应用

命题 由球面上一点引出三条两两垂直 的弦,则三弦长的平方和为球直径的平方．(即 可以以三弦为长、宽、高构成球的内接长方体, 长方体对角线长为球的直径)     

四面体的求积公式

任何一个平面多边形总可以分割成若干个三角形,因此,由三边求积公式有可能计算任何平面多边形的面积。同样,任何一个多面体总可以分割成若干个四面体,而四面体的形状和大小由共六条棱的长度和连接顺序所确定,如果能根据四面体的六条棱长计算四面体的体积,也就可能解决了任意多面体的求积问题。本文将证明一个较易记忆的已知四面体的六棱求其体积的公式。     

几何体与球的接切问题

<正>一、几何体的外接球问题1.与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心(体对角线的中点)与外接球心重合,求出体对角线长,进一步求出外接球半径.在长方体ABCDA1B1C1D1中,棱AB,AD,AA1的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为().因D_1B=(a²+b2+b²+c2+c²)2)¹/2,故外接球半径R=((a1/2,故外接球半径R=((a²+b2+b²+c2+c²)2)¹/2)/2.     

数学竞赛之窗

有关本栏的稿件,请直接寄给熊斌(200062,华东师范大学),或冯志刚(200231,上海市上海中学).提供试题及解答请尽量注明出处.本期给出由上海的至刚先生提供的1999年保加利亚数学奥林匹克(第四轮)试题及解答.收稿日期:2000-04-061999年保加利亚数学奥林匹克第四轮1　将一个长方体(边长为整数,且被分为若干个单位正方体)的表面染成绿色,已知没有染上绿色的单位正方体的个数为长方体中单位正方体个数的13,求这个长方体的三条棱长.2　设数列{ａｎ}为一个整数数列,满足:对任意自然数ｎ,均有(ｎ-1)ａｎ 1=(ｎ 1)ａｎ-2(ｎ-1).　若2000|ａ1999,求最小…     

三面角的二面角和棱面角的计算及应用

立体几何中的角有平面角、二面角、三面角等 .在空间中 ,由自一点引出不在同一平面内的三条射线 ,以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形叫做三面角 .其中组成三面角的射线叫做三面角的棱 ;这些射线的公共端点叫做三面角的顶点 ;相邻两棱间的平面部分叫做三面角的面 ;每个面内由两条棱组成的角叫做三面角的面角 ;相邻两个面间的二面角叫做三面角的二面角 ;每条棱和相对的面所在平面所成的角叫做三面角的棱面角 .一个三面角有一个顶点、三条棱、三个面、三个面角、三个二面角和三个棱面角 .在三面角中 ,已知三个面角的大小 ,那么三个二面…     

巧妙构造立几模型解题

<正>正方体,长方体,正四面体都是很典型的多面体,也可以看作典型的立体几何模型.在一定几何环境中,通过巧妙构造以上模型,会使解题思路顺畅自然,避繁就简,下面通过例题予以说明.一、构造正方体模型【例1】球与正四面体的六条棱都相切,