圆锥曲线的一个几何特征

由圆锥曲线的定义很容易得出圆锥曲线的如下几何特征 ,利用这一性质可将文[1 ][2 ]中的命题进行推广 .定理　经过圆锥曲线准线上一点的直线 ,与该曲线交于两点 ,这点与相应焦点的连线平分焦点张两交点的角或其邻补角 .证明　设圆锥曲线的离心率为 e,一焦点为 F,相应的准线为 l,M为准线上任意一点 ,过 M的直线与圆锥曲线交于 P、Q两点 ,这两点在准线上的射影为 R、S.如图 1中 ,图 (甲 )为 e≤ 1 ,图 (乙 )为 e >1的情况 .图 1由圆锥曲线的定义及平行线的性质得 :| PF|| QF| =e| PR|e| QS| =| PR|| QS| =| PM|| QM| .由三角形的内 (…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

文 [1 ]指出了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质 ,读了有所启发 ,李老师对圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的情况分别给出了证明 ,由于证明较繁 ,笔者经过探索发现点Ａ可以是圆锥曲线上任意点的情况 ,并给出它们的一个统一命题及其简证 .引理　设Ｆ为圆锥曲线焦点 ,其相应准线为Ｌ ,作一直线交圆锥曲线于Ａ ,Ｐ两点 ,交Ｌ于Ｍ点 ,则ＦＭ平分△ＡＦＰ的∠ＡＦＰ外角 .图 1证　如图 1 ,从Ａ ,Ｐ分别向Ｌ引垂线ＡＡ1 ,ＰＰ1 垂足为Ａ1 ,Ｐ1 ,由圆锥曲线定义得 :｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =ｅ ,｜ＰＦ｜｜ＰＰ1 ｜ =ｅ ,所以 ,｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =｜ＰＦ…     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

圆锥曲线切线的几个有趣性质

文[1]探讨了双曲线切线的几个有趣性质,受此启发,本文探讨了椭圆和抛物线等圆锥曲线,得到类似的性质.性质1:设F为圆锥曲线(离心率为e)的一个焦点,其相应的准线为l.一直线交圆锥曲线于点M、N,交l于点P,则FP平分∠MFN的外角.证明:如图1,过M、N作准线l的垂线,垂足分别为K、Q.由圆     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时,发现圆锥曲线的一个性质:图1定理过圆锥曲线焦点弦的一个端点向相应的准线作垂线,垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应准线的垂线段的中点.如图1:AB为经过焦点F的焦点弦,l为相应的准线,过B作l的垂线,垂足为C,连AC,证明:AC经过FK的中点N.这个命题的证明可以用解析几何的方法证明,但为了体现圆锥曲线的统一性,给出如下的证明:证过A作l的垂线交l于D点.设圆锥曲线的离心率为e,则:BF=e·BC,AF=e·AD∵NFBC=AFAB,∴NF=AF·BCAB=e·AD·BCAB=AD·BFAB∵KNAD=CNCA=BFAB,∴KN=AD…     

共轭双曲线"渐准点"的若干性质

文[1]介绍了有关双曲线“渐准点”的若干性质,受此启发,笔者继续研究了共轭双曲线“渐准点”的一些性质.为行文方便,如图,我们记横向双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的左准线x=-a2c与渐近线的交点为P,纵向双曲线y22b-x2a2=1(b>0,a>0)的下准线y=-b2c与渐近线的交点Q,那么渐准点P,Q有下列几个性质:性质1 PF1=baQF1;性质2 tan∠F1PF2·tan∠F1QF2=4;性质3|PQ|=a b;性质4 PF1·PF2 QF1·QF2=-c2;性质5 S梯形PQF1F1′=(a b)22;性质6 SΔPOF2=SΔQOF′2.下面一一证明之.性质1的证明:不难得到P(-a2c,abc),Q(abc,-2bc),F1(-c,0),F2(c,0…     

椭圆切线的几个性质及作法

引理　设F为圆锥曲线焦点 ,其相应准线为L ,作一直线交圆锥曲线于A ,P两点 ,交L于M ,则FM平分△AFP的∠AFP的外角 .(证明见文 [1 ])(图 1 )定理 1　设F为椭圆焦点 ,其相应准线为L ,椭圆上一点A处的切线交L于N ,则∠AFN =90°.(图 2 )证明　如图 1 ,设AF延长线交椭圆于A′ ,当P与A重合时 ,APM成为切线AN(图 2 ) ,∠PFA′成为平角AFA′ ,由引理知FM平分∠PFA′(即∠AFA′) ,所以∠AFN =90° .由证明过程知 ,NA′也是椭圆的切线 ,从而得推论　椭圆焦点弦两端点处的两条切线的交点在椭圆的准线上 .(图 2 )定理 2　设F1 ,F…     

圆锥曲线一个性质的简证

惠润科老师在文[1]中给出圆锥曲线的如下性质:过圆锥曲线焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点,且F分AB所成比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.原证明采用传统解析几何的方法,但证明过程较繁琐.笔者利用圆锥曲线的第二定义,并采用数形结合的方法,给出该性质的一个简证.证明以椭圆为例,如图1,AD,BC为准线的垂线,BE垂直AD,F分AB所成比为λ(λ>0),设BF=x,AF=λx(x>0).由圆锥曲线第二定义:BBFC=e BC=1ex,同理AD=eλx,(1)λ>1时,AD>BC,AE=AD-BC,图1图2由图1得cos2α=sin2∠ABE=AABE2=ADA-BBC2=λ-1ex2(…     

焦点弦长度与斜率的换算关系

定理　设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记作ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠ 90°) ,ｔｇθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ2 ) -ｅ2 ,或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ - 2ｅｐ- 1 .证明　由圆锥曲线统一的极坐标方程 ρ=ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ(坐标建法略 ) ,得｜ＡＦ｜=ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ,｜ＢＦ｜=ｅｐ/[1 -ｅｃｏｓ(π θ) ]=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ,从而ｄ =｜ＡＦ｜ ｜ＢＦ｜=2ｅｐ1 -ｅ2 ｃｏｓ2 θ,再把ｃｏｓ2 θ= 11 ｔｇ2 θ=11 ｋ2 代入整理 ,得ｄ =2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ…     

椭圆定义在解题中的应用

椭圆有两种定义,定义式分别为｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数2a＞｜F1F2｜)和｜PF｜=e(0＜e＜1).椭圆定义中的数量关系十分明显,若能正确应用椭圆定义解题,则可以优化解题方法,培养解题能力,达到事半功倍的效果,现举例说明其应用.     

具有推广与引申价值的一道高考题

2007年全国高考重庆卷第（16）题是：经过双曲线x^2/4-y^2/4=1的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P，Q两点，则｜PF｜｜FQ｜=___     

椭圆双曲线准线的几何作图

在解析几何教材中 ,对于椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,都给出了它们的准线方程ｘ=± ａ2ｃ,而未给出准线的作图方法 .鉴于准线有着重要的几何意义 ,本文将根据椭圆、双曲线的有关性质 ,结合平面几何知识 ,给出准线的几种作图方法 .图 11　利用相似三角形进行作图先说明椭圆、双曲线的一个共同性质 :(图 1和 2 )焦点Ｆ、顶点Ａ和对应的准线交ｘ轴的垂足Ｈ与中心Ｏ构成三条线段 ,它们的长度成等比数列 ,即｜ＯＡ｜∶｜ＯＦ｜=｜ＯＨ｜∶｜ＯＡ｜.图 2证明　因为｜ＯＦ｜=ｃ=ａ· ｃａ =ａｅ,｜ＯＡ｜ =ａ ,｜ＯＨ｜ =ａ2…     

从圆锥曲线的一个命题谈起

在一些平面解析几何的教科书和习题集里,常有关于圆锥曲线的这样一个命题:过圆锥曲线C的焦点F,作该圆锥曲线C的弦PQ,则: 1/FP+1/FQ=2/ep(e是圆锥曲线C的离心率,p为焦参数。) 常看到这样的证法:(简称证法(1)) 以焦点F为极点,极轴垂直于准线,且以准线到焦点的方向为其正向,建立极坐标系,则圆锥曲线方程为: ρ=ep/1-ecosθ如图(1),设P点的坐标为(ρ_1,θ_1),则Q点的坐标为(ρ_2,π+θ_1)于是     

圆锥曲线特征点和线的一组性质

圆锥曲线特征点指的是焦点、顶点以及准线与轴的交点 .特征线指的是过焦点、顶点且与轴垂直的直线和准线 .经研究 ,它们有如下一组新颖有趣的性质 .定理 1　 l是经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b >0 )长轴顶点 A且与长轴垂直的直线 ,E、F是椭圆两个焦点 ,e是离心率 ,点 P∈ l,若∠ EPF =α,则α为锐角且 sinα≤ e或α≤ arc sin e(当且仅当 | PA| =b时取等号 ) .证明　如图 1 ,不妨设 A为右顶点 ( a,0 ) ,则 l的方程为 x =a,且点 P在x轴上方 ,记点 P为 ( a,y) ( y >0 ) .由两线所成的角得 图 1tanα =k PF - k PE1 k PFk PE…     

圆锥曲线一个有趣性质的统一简证与再推广

《数学通报》2012年第2期刊登的《圆锥曲线一个有趣性质的再推广》一文(文[1])给出了圆锥曲线一个统一的美妙性质(本文称之为定理): 定理设圆锥曲线E的一个焦点是F,相应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是E上任意一点,直线CA、CB分别与准线l交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

一个定点问题的研究性学习

文[1]认真研读天津2004年高考理科卷第22题,从中挖掘了圆锥曲线的以下性质:性质1设椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的焦点为F,相应于F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点Aac2,0,过点A的直线交椭圆于点P,Q,过点P且平行于准线l的直线与椭圆交于另一点M,则M,F,Q三点共线.性质2设双曲线ax22-yb     

圆锥曲线“准点”的又一个性质

圆锥曲线准线和对称轴的交点叫做准点.文[2]在文[1]的基础上推出了几个十分新颖的性质,其中定理1是:F是横向型圆锥曲线焦点,E是与焦点F相应的准线和对称轴的交点,经过E且斜率是k的直线交圆锥曲线于A,B两点,e是圆锥曲线的离心率,若     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

双曲线焦点三角形的几个性质

如图 1 ,设Ｆ1,Ｆ2 是双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 )的焦点 ,Ｐ是双曲线上的任意一点 (异于实轴端点 ) ,则称△Ｆ1ＰＦ2 为双曲线的焦点三角形 .图 1设∠Ｆ1ＰＦ2 =θ,∠ＰＦ1Ｆ2 =α,∠ＰＦ2 Ｆ1=β ,双曲线的离心率为ｅ,则△Ｆ1ＰＦ2 具有如下的性质 .定理 1｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜=ｂ2ｓｉｎ2 θ2.证明　在△Ｆ1ＰＦ2 中｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2 ｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜ｃｏｓθ= 4ｃ2 (1 )又因｜ＰＦ1｜-｜ＰＦ2 ｜ =2ａ ,所以 ｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜= 4ａ2 (2 )(1 ) -(2 )得2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 …