一个公式的完善

《数学通报》2 0 0 1年第 2期Ｐ2 5《焦点弦长度与斜率的换算关系》一文给出如下一个定理 :定理　设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾斜角为θ (θ≠ 90°) ,ｔｇθ =ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则ｄ与ｋ的关系式为 :ｄ =2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ2 ) -ｅ2 (或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ - 2ｅｐ- 1) ( )说明 :1)当θ =90°时 ,ｄ =2ｅｐ ;2 )对于椭圆和双曲线 ,ｐ =ｂ2ｃ;3)在移轴变换之下 ,长度与夹角都是不变量 ,当焦点所在对称轴与ｘ轴重合或平行时 ,定理中ｋ或 -ｋ是弦ＡＢ的斜率 ;当焦点所在对…     

一个换算公式的启示

文 [2 ]在文 [1 ]的基础上给出如下一个换算公式 .定理　ＡＢ是过圆锥曲线焦点Ｆ的弦 ,其长度为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )｜ 1 +ｋ2 -ｅ2 ｜ 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ± 2ｅｐ- 1 .在该定理的启示下 ,笔者进一步探究 ,得到一个类似的公式 ,现说明如下 .ＡＢ是经过横向型圆锥曲线顶点 (指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点 )Ａ的弦 ,其长度为ｄ ,斜率为ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ=2ｅｐ 1…     

一个换算关系的完善

本刊文 [1 ]给出了如下一个不完善的“定理” :设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记作ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ =ｋ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )(1 +ｋ2 ) -ｅ2 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ-2ｅｐ-1 .现用此“定理”解下面一例 .求过双曲线ｘ2 -ｙ23 =1的焦点且斜率为 35的直线被此双曲线截得的长度 (文 [1 ]例 3改编 ) .解　因为ａ=1 ,ｂ =3 ,ｃ=2 ,故ｅ =2 ,ｅｐ=ｂ2ａ =3 ,ｋ =35 .由文 [1 ]“定理”得ｄ=2 ·3 (1 +35 )(1 +35 ) -2 2 =-4.线段ＡＢ的长度…     

谈谈圆锥曲线的几个定值

圆锥曲线有许多丰富、有趣的性质 ,是高中各类考试考查的重点内容 ,本文对其中的几个定值问题加以总结 .1　焦点弦性质圆锥曲线过焦点的弦被焦点分成长为ｍ ,ｎ的两部分 ,则 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.证明　由圆锥曲线统一的极坐标方程ρ= ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ.可设ｍ =ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ,ｎ=ｅｐ1 -ｅｃｏｓ(θ+π)所以 1ｍ +1ｎ =2ｅｐ.2　定点弦性质抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的动弦ＡＢ恒过定点Ｍ(2ｐ,0 )的充要条件是ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1 .证明　充分性 .若ＫＯＡ·ＫＯＢ =-1设弦ＯＡ的方程为ｙ=ｋｘ,①则弦ＯＢ的方程为ｙ=-1ｋｘ ,②由抛物线方程…     

高三复习代数训练题(一)

选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ ={ 0 ,1,2 ,3,4 ,5 } ,Ｎ ={ 1,2 ,3} ,满足条件Ｎ Ａ Ｍ的集合Ａ的个数是 (　　 )(Ａ) 64.　 (Ｂ) 63.　 (Ｃ) 8.　 (Ｄ) 7.2　若θ是第二象限的角 ,则必有 (　　 )(Ａ)ｔｇ θ2 >ｃｔｇ θ2 .　　 (Ｂ)ｔｇ θ2 <ｃｔｇ θ2 .(Ｃ)ｓｉｎ θ2 <ｃｏｓ θ2 . (Ｄ)ｓｉｎ θ2 >ｃｏｓ θ2 .3　设 ｆ(2 ｘ) =ｘ2 - 2ｘ - 1,那么 ｆ(0 .5 )等于(　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) - 2 .　 (Ｃ) 1.　 (Ｄ) - 74 .4　设ｃｏｓ3ｘ =- 12…     

双曲线焦点三角形的几个性质

如图 1 ,设Ｆ1,Ｆ2 是双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 )的焦点 ,Ｐ是双曲线上的任意一点 (异于实轴端点 ) ,则称△Ｆ1ＰＦ2 为双曲线的焦点三角形 .图 1设∠Ｆ1ＰＦ2 =θ,∠ＰＦ1Ｆ2 =α,∠ＰＦ2 Ｆ1=β ,双曲线的离心率为ｅ,则△Ｆ1ＰＦ2 具有如下的性质 .定理 1｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜=ｂ2ｓｉｎ2 θ2.证明　在△Ｆ1ＰＦ2 中｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2 ｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜ｃｏｓθ= 4ｃ2 (1 )又因｜ＰＦ1｜-｜ＰＦ2 ｜ =2ａ ,所以 ｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜= 4ａ2 (2 )(1 ) -(2 )得2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 …     

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 ,现用定理形式叙述如下 :定理 1　抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 .证明　不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=ｐ1 -ｃｏｓθ,则显然有 ρ≥ ｐ2 ,其中等号成立当且仅当θ=2ｋπ+π(ｋ∈Ｚ)即焦半径通过抛物线的顶点时 .定理 2　抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 .证明　设抛物线极坐标方程为 ρ =ｐ1 -ｃｏｓθ,焦点弦为ＡＢ ,且设Ａ(ρ1 ,θ) ,Ｂ(ρ2 ,θ +π) ,则有｜ＡＢ｜=ρ1 +ρ2 =ｐ1 -ｃｏｓθ+ ｐ1 -ｃｏｓ…     

新千年一道联赛题的多种解法与推广

20 0 1年全国高中数学联赛第 7题是 :椭圆 ρ=12 -ｃｏｓθ的短轴长等于 .笔者对其作深入的研究 ,得到了四种解法 ,现说明如下 ,供读者参考 .解法 1　将其化成标准式ρ(θ) =ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ.由此知原方程可化为 ρ =121 - 12 ｃｏｓθ.故有ｅｐ =12ｅ=12 ｃａａ2ｃ-ｃ =12ｃａ=12 ａ =23 ,ｃ=13 .从而ｂ2 =13 ,故短轴长 2ｂ =23 3 .图 1　解法 2用图解法 2　因为方程是以椭圆的左焦点Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴推导出来的 ,如图 1 ,设 |Ａ1Ａ2 |为长轴 ,由已知方程和极径的几何意义知 :ａ -ｃ=|Ａ1Ｆ|=ρ(π) =12 -ｃｏｓπ=13 ,ｃ +ａ =|Ａ2 …     

求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

数学问题解答

20 0 1年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 6　已知ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ=22 ,求ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值 .(南昌大学附中　宋庆　 330 0 2 9)解　令ｓｉｎθ -ｃｏｓθ =ｔ,则 ｜ｔ｜≤ 2 ,且ｓｉｎθｃｏｓθ =12 (1 -ｔ2 ) .∴　 22 =ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ= (ｓｉｎθ-ｃｏｓθ) (ｓｉｎ2 ｓｉｎθｃｏｓθ ｃｏｓ2 θ)=ｔ[1 12 (1 -ｔ2 ) ]=- 12 ｔ3 32 ｔ.∴　ｔ3- 3ｔ 2 =0 ,∴　ｔ(ｔ2 - 2 ) - (ｔ- 2 ) =0 ,∴　 (ｔ- 2 ) (ｔ2 2ｔ- 1 ) =0 ,∴　ｔ=2或ｔ=6- 22 ,∴　ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值为 2或 6- 22 .1 31 7　△ＡＢＣ…     

对“关于圆锥曲线的又一组定理”一文中错误的订正

文 [1 ]中给出如下的结论 :引理 1　对于任意的正整数ｑ ,∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) ≡ 0引理 2∑ｎ-1ｋ=0ｃｏｓｒ( +2ｋπｎ ) =0 ,　　　ｒ:奇数ｎ2 ｒＣｒｒ2 ,　　ｒ:偶数定理 4　设圆锥曲线的焦点Ｆ ,若Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 是圆锥曲线上的ｎ个点 ,且∠Ａ1 ＦＡ2 =∠Ａ2 ＦＡ3=… =∠ＡｎＦＡ1 ,则对于 ｍ ∈Ｎ ,1ＦＡ1 ｍ +1ＦＡ2 ｍ +… +1ＦＡｎ ｍ 为定值 .笔者认为 ,上述三个结论都不严密 ,现分析如下 :1　对于引理 1 ,作者显然忽视了ｑ是ｎ的倍数的情形 .因为若ｑ =ｔｎ ,则 ∑ｎ-1ｋ =0ｃｏｓｑ( +2ｋπｎ ) =∑ｎ-1ｋ=…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

数学问题解答

20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6　设ｍ >0 ,ｎ >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα≥ (ｍ23 ｎ23) 32 .(江苏省灌云县中学　朱兆和　 2 2 2 2 0 0 )证明　设点Ｐ的坐标为 (ｍ ,ｎ) ,直线ｌ过点Ｐ ,倾角为π-α ,ｌ与ｘ、ｙ轴的正半轴分别交于点Ａ、Ｂ(如图 ) .则 ｜ＰＡ｜ =ｎｓｉｎα,｜ＰＢ｜ =ｍｃｏｓα则 ｜ＡＢ｜ =｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜=ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα .又设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则直线ｌ的方程为 ｘａ ｙｂ =1 ,ｌ过Ｐ(ｍ ,ｎ) ,所以 ｍａ ｎｂ =1 .｜ＡＢ｜2 =ａ2 ｂ2 =(ａ2 ｂ2…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

高一同步测试题

反三角函数和简单三角方程　　选择题1　ｔｇ(ａｒｃｃｔｇ 3)的值是 (　　 )(Ａ) 3.　　　　　 (Ｂ) 33.(Ｃ) π6 .　　　　　 (Ｄ) π3.2　ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎ3)的值是 (　　 )(Ａ)π - 3. (Ｂ) 3-π .　　 (Ｃ) π2 - 3.　　　 (Ｄ) 3- π2 .3　ｃｏｓｘｃｏｓ2ｘ =-ｓｉｎｘｓｉｎ2ｘ的一个解是 (　　 )(Ａ) 90° .　　　 (Ｂ) 6 0° .(Ｃ) 30° . (Ｄ) 0° .4　ｔｇ[12 ａｒｃｓｉｎ( - 45) ]的值是 (　　 )(Ａ) - 2 . (Ｂ) 2 .(Ｃ) - 1.　　　 (Ｄ) - 12 .5　满足ａｒｃｓｉｎ( 1-ｘ)≤ａｒｃｓｉｎｘ的ｘ的取值范围是(　　 )(Ａ) [-…     

数学问题解答

20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91　在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中　宋庆　 330 30 4 )解　令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ…     

正余弦降次公式的推广及应用

文[1]介绍了关于2ｎ-1ｃｏｓｎθ的降次公式及其证明,作为其推广,本文进而导出了关于2ｎ-1ｎｊ=1ｃｏｓθｊ与2ｎ-1ｎｊ=1ｓｉｎθｊ的如下降次公式(即“ｎ次积化和差公式”):定理　记Ｃ(0)ｎ(θｊ)=ｃｏｓ(θ1 … θｎ),Ｓ(0)ｎ(θｊ)=ｓｉｎ(θ1 … θｎ);Ｃ(ｋ)ｎ(θｊ...     

圆锥曲线中的一个距离问题

设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ ,椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1,Ｍ (ｘ ,ｙ)是曲线上的动点 ,Ａ(ｎ ,0 )是它们过焦点的一条对称轴上的一定点 ,求 |ＭＡ |的最小值是圆锥曲线教学中常遇到的一个问题 ,也是用方程根的判别式难以解决的问题 .本文以它们统一的极坐标方程对其加以研究 .设焦点Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴 .Ｍ(ρ ,θ) (ρ >0 ) ,则极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.为方便运算 ,以Ｆ点为新原点 ,相应的直角坐标系ｘ′Ｆ ｙ′里 ,Ｍ点坐标为Ｍ(ｘ′ ,ｙ′) .图 1　二次曲线如图 1,极坐标系下Ａ点坐标设为Ａ (ｍ ,0 ) ,…     

用“三色眼光”看复数

复数将代数、三角、几何融为一体 ,富有灵气 .它的“数”(代数形式 )、“形”(几何形式 )、“角”(三角形式 ) ,使解题者可以从不同的侧面去研究它 ,找到既相互联系 ,又相互独立的解法 ,使思维呈现出独创美和简洁美 .下面就让我们带着“数”、“形”、“角”这“三色眼光”去看看复数吧 !1　关于辐角例 1　求ｚ =1 -ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ(3π <θ <4π)的辐角主值 .着眼于“数” :设ｚ =ａ +ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,则ａｒｇｚ可由ｔｇθ =ｂａ 及 (ａ ,ｂ)所在象限来确定 .所以ｔｇ(ａｒｇｚ) =- ｓｉｎθ1 -ｃｏｓθ=-ｃｔｇ θ2 =ｔｇ θ2 - …     

高一期末复习自测题

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.角θ满足条件ｓｉｎ2θ <0 ,ｃｏｓθ -ｓｉｎθ <0 ,则θ在 (　　 )(Ａ)第一象限 .　　 (Ｂ)第二象限 .(Ｃ)第三象限 .　　 (Ｄ)第四象限 .2 .已知Ａ(1,- 2 ) ,Ｂ(2 ,1) ,Ｃ(0 ,ｋ)三点共线 ,则ｋ的值为 (　　 )(Ａ) 7.　　　　　　 (Ｂ) - 5 .(Ｃ) 53. (Ｄ) 3.3.已知ｓｉｎθ +ｃｏｓθ =15 ,θ∈ (0 ,π) ,则ｃｏｔθ的值为 (　　 )(Ａ) 34.　　　　　 (Ｂ) - 34.(Ｃ)± 34. (Ｄ) - 43.4 .下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若 | ａ …