与任意图正交的［0，ki］m1-因子分解

设G是一个图, k1,…, km是正整数.若图G的边能分解成m个边不交的［0,k1］-因子 F1,…,［0,km］-因子Fm,则称＝F1,…,Fm是G的一个［0,ki］m1-因子分解.如果H是G的一个有m条边的子图且对任意的1≤I≤m有｜E(H)∩E(Fi)｜＝1,则称与H正交.证明了若G是一个［0,k1＋…＋km－m＋1］-图,H是G的一个有m条边的子图,则图G有一个［0,ki］m1-因子分解与H正交.     

关于图的(g,f)-因子分解

设G是一个图,g和f是定义在图G的顶点集V(G)上的两个非负整数值函数且g＜f.图G的一个(g,f)-因子是G的一个支撑子图F,使对所有的x∈V(G)有g(x)≤d_F(x)≤f(x).若G本身是一个(g,f)-因子,则称G是一个(g,f)-图.若G的边能分解成一些边不交的(g,f)-因子,则称G是(g,f)-因子可分解的.本文给出图G是(g,f)-因子可分解的一个充分条件.     

与任意图正交的[0,k_j]_1~m-因子分解

设k1,k2 ,… ,km 是正整数 .证明了 :若G是一个 [0 ,k1 k2 … km -m 1] 图 ,H是G中一个给定的有m条边的子图 ,则G有一个 [0 ,kj]m1 因子分解与H正交 .     

与任意图正交的[0,kj]m1-因子分解

设kl,k2,…,km是正整数.证明了若G是一个[0,k1+k2+…+km-m+1]-图,H是G中一个给定的有m条边的子图,则G有一个[0,kj]m1-因子分解与H正交.     

实方阵的另外一种实相似标准型

具有相同初等因子的方阵是相似的,运用这个结果,通过分块初等变换,给出了实方阵在实相似下的一种新标准型,这种标准型类似于复方阵的Jordan标准型,从而更有利于相关计算.这对于同学们对Jordan标准型的拓展理解是十分有益的.     

对含有整数最小素因子的倒数的某些和的估计

设p(n)表示整数n>1的最小素因子.本文得到了(?),v≥0的渐近式,此处f_v(n)是一类数论函数.     

(0, mf-k+1)-图中具有正交(0,f)-因子分解的子图

设G是一个简单图, f是定义在V(G)上的整数值函数,且m是大于等于2的整数. 讨论(0, mf-k+1)-图G的正交因子分解, 并且证明了对任意的1≤k≤m, (0, mf-k+1)-图G中存在着一个子图R, 使得R有一个(0,f)-因子分解正交于图G中的任意一个k-子图H.     

具有正交的(g,f)-因子分解的子图

仅考虑简单图.设G是一个图,g(x)和f(x)是定义在V(G)上的整数值函数,且对任意的x∈V(G),设g(x)≤f(x),H是G的一个子图,F={F₁,F₂,…,F_t}是G的一个因子分解,如果对所有的1≤i≤t, |E(G)∩E(F_i)|=1,则称F与H正交.证明了:设G是一个(mg(x)+k,mf(x)-k)-图,其中对任意的x∈V(G),g(x)≥1或f(x)≥5是定义在V(G)上的整数值函数,1≤k<m,则存在一个子图R满足对G的任意子图H，|E(H)|=k,R有(g,f)-因子分解与H正交.     

关于图中存在不含给定k-因子的[a,b]-因子的度条件

设$1\leq a<b, 0\leq k$是整数. 设$G$是一个含有$k$-因子$Q$且阶为$|G|$的图. 设\delta(G)$表示$G$的最小度, 且$\delta(G)\geq a+k$. 如果$Q$连通, 设$\varepsilon=k$, 否则设$\varepsilon=k+1$.证明:当$b\geq a+\varepsilon-1$时, 如果对$G$的任意两个不相邻的点$x$和$y$都有max$\{d_G(x),d_G(y)\}\geq {\rm max}\{{{a|G|} \over {a+b}},{{(|G|+(a-1)(2a+b+\varepsilon-2))} \over {b+1}}\}+k$, 那么$G$有一个$[a, b]$-因子$F$ 使得 $E(F)\cap E(Q)=\emptyset$. 这个度条件是最佳的, 条件$b\geqa+\varepsilon-1$不能去掉. 进一步,得到图存在含给定$k$-因子的$[a, b]$-因子的度条件.     

与任意图正交的(g,f)-因子分解

设g和f分别是定义在图G的顶点集合V( G)上的整数值函数且对每个x∈V(G)有 0≤g(x)≤f(x).证明了:若G是一个( mg+m-1,mf- m+1)-图,H是G中一个给定的有m条边的子图,则G有一个(g,f)-因子分解与H正交.     

图的分数κ-因子

给定图Ｇ＝（Ｖ,Ｅ）．设ａ和ｂ是两个非负整数．是一个函数．如果对所有的均成立,称 ｆ为 Ｇ的一个分数［ａ,ｂ］－ 因子． ａ＝ ｂ＝ κ时,称ｆ为 Ｇ的一个分数 ｋ＝因子．本文给出了一个图有分数 ｋ－因子的充分必要条件．     

关于分数可消去图的若干结果

令G=(V(G),E(G))是一个图,并令9和f是两个定义在V(G)上的整数值函数且对所有的x∈V(G)有g(x)≤f(z)成立．若对G的每一条边e都存在G的一个分数(g,f)-因子G_h使得h(e)=0,其中h是G_h的示性函数,则称G是一个分数(g,f)-消去图,若在G中删去E′■E(G),|E′|=k后,所得图有分数完美匹配,则称G是分数k-边-可消去的。本文给出了图是1-可消去,2-可消去和k-边-可消去的与韧度和孤立韧度相关的充分条件。证明了这些结果在一定意义上是最好可能的．     

关于分数因子两个开问题的解答

本文指出极小连通二部分数1-因子不一定是极小2-连通图.研究了σ₂（G）与分数k-因子存在性之间的关系,指出存在一个特例在满足阶数n≥4k-5,δ（G）≥k且σ₂（G）≥n条件下,图G不存在分数k-因子.     

在Δ≤3的图中上独立数和上无赘数的关系

G（V，E）是一个图。β，IR分别是图G的独立数，上无赘数。这篇文章证明文章［6］中提出的一个猜想.     

图有分数因子的度条件

本文研究了图有分数因子的度条件,得到了下面的结果：令k(?)1是一个整数,G是一个连通的n阶图,n(?)4k-3且最小度δ(G)(?)k,若对于每一对不相邻的顶点u,v∈V(G)都有max{d_G(u),d_G(v)}(?)n/2,则G有分数k-因子．并指出该结果在一定意义上是最好可能的。     

Petersen图的Hamilton性和边色数

对简单图G(V,E),定义图G的关联图I(G)为V(I(G))={(ve)|v∈V(G)且e∈E(G)和v与e关联},E(I(G))={(ue,vf)Iu=v或e=f或uv=e或uv=f}.本文证明了Petersen图可被分解为边不交的Hamilton-圈和一个1-因子的并.     

分数(g,f)-因子覆盖图

一个图称为分烽（g,f)- 因子覆盖图，如果G中的任何一条边e都包含在一个分数（g,f)- 因子中，并且满足h(e)=1，其中h是分数（g,f)- 因子的导出函数。本文给出了一个图是分数（g,f)- 因子覆盖图的充要条件。     

一个关于图是分数(k,n)-临界的邻域并条件

设G是一个图,以及k是满足1≤k的整数.一个图G在删除任意n个顶点后的子图均含有分数k-因子,则称G是一个分数(k,n)-临界图.给出了图是一个分数(k,n)-临界图的一个邻域并条件,并且该条件是最佳的.     

Discussion on Fractional (a,b, k)-critical Covered Graphs

Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series - A graph G is called a fractional [a, b]-covered graph if for each e ∈ E(G), G contains a fractional [a, b]-factor covering e. A graph G...