两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

一道高考压轴题的溯源、新证及推广

安徽省2008年高考理科数学压轴题为： 设椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）过点M（√2,1）,且左焦点为F1（-√2,0）．     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式： 设a，b〉0，0〈λ≤2，则 √a/a＋λb＋√b/λa＋b≤2/√1＋λ（1）     

一类不等式的背景探源

文[1]给出了以下不等式的简证与加强,已知a,b〉0, （1）求证：√a/2b＋a＋√b/2a＋b≤2/√3 （2）求证：√a/2a＋b＋√b/2b＋a≤2/√3     

一道圆锥曲线题的推广

题目已知椭圆 C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴Z为半径的圆与直线x-y＋√3=0相切．     

关于k√n的不等式猜想的再研讨

文[1]给出了一个关于k√n的不等式猜想，文[2]指出该猜想的右侧不等式，即对于正整数n，k〉1，不等式k√n〈kn＋（k-1）/k＋1k√n-k（n-1）＋（k-1）/k＋1k√n-1在k=2时不成立，当k〉2时成立．本文研究了该猜想的左侧不等式，对于正整数n，k〉1，不等式     

一道高考题的推广的三角证明与其他

张乃贵老师在本刊文[1]中将2008年高考重庆理科卷第4题推广为： 命题1函数f（x）=λ1√x-a＋λ2 √b-x（λ1〉0,λ2〉0,b〉a）的最大值为[f（x）]max=√（λ1^2＋λ2^2（b-a））最小值为[f（x）]max=min{f（a）,f（b）}．     

一道不等式的证明与推广

题目 已知a〉0，b〉0，c〉0，a＋b＋c=1，证明：√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1≤3√2     

一道高考试题的探究与推广

题目 （2009年北京高考卷19题）已知双曲线C2 x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的离心率为√3,右准线方程为x=√3/3.     

一道高考题的四种解答

题目（2009高考全国卷理Ⅱ第11题）已知双曲线C：x2/a2-y2/b2=1（a〉0,b〉0）的右焦点为F,过F且斜率为√3的直线交C于A、B两点,若→AF=4→FB,则C的离心率为（ ）     

韦达定理的妙用

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛试题： 已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2-1（a〉b〉0）,过左焦点F,并且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,若AF/FB=9＋4√2/7,则椭圆的离心率等于（ ）．     

Precise rates in the law of the iterated logarithm under dependence assumptions

Let {X, X1, X2,...} be a strictly stationaryφ-mixing sequence which satisfies EX = 0,EX^2（log2{X}）^2〈∞and φ（n）=O（1/log n）^Tfor some T〉2.Let Sn=∑k=1^nXk and an=O（√n/（log2n）^γ for some γ〉1/2.We prove that limε→√2√ε^2-2∑n=3^∞1/nP（｜Sn｜≥ε√ESn^2log2n＋an）=√2.The results of Gut and Spataru （2000） are special cases of ours.     

一道不等式问题的探源、证明与推广

《数学教学》2012年第12期的数学问题874为：题目 已知 m,n∈N＋,m,n≥2,xi∈R＋（i=1,2,…,m）,（^m∑i=1）xi=S,n∈N＋,求证：（^m∑i=1）^n√xi/S-xi≥.看完此题,笔者不禁想起了文[1]中的不等式：题源1已知a,b,c为正数,求证：√a/（b＋c）＋√b/（c＋a）＋√c/（a＋b）〉2。     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

一个无理不等式的证明

文[1]给出了猜想：设α，b〉0，n≥2且，n∈N，0〈λ≤n则 n√α/α＋λb＋n√b/λb＋α≤2/√1＋λ本文给予证明。     

一类高考题的简解及探究

例1（2009年山东卷理科第22题）设椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,过M（2,√2）,N（√6,1）两点,0为坐标原点,（1）求椭圆E的方程;（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且蕊上魂？若存在,写出该圆的方程,并求｜AB｜的取值范围,若不存在说明理由．     

函数y=ax＋b/x（a〉0，b〉0）的图像及性质

函数y=ax＋b/x（a〉0,b〉0）的定义域为（-∞,0）U（0,＋∞）,利用基本不等式或导数知识易知函数的值域为（-∞,-2√ab]U     

SHARP BOUNDS FOR NEUMAN-SANDOR MEAN IN TERMS OF THE CONVEX COMBINATION OF QUADRATIC AND FIRST SEIFFERT MEANS

In this article, we prove that the double inequality
αP（a,b）＋（1-α）Q（a,b）〈M（a,b）〈βP（a,b）＋（1-β）Q（a,b）
holds for any a,b 〉 0 with a ≠ b if and only if α≥1/2 and β≤[π（√2 lov （1＋√2）-1]/[√2π-2） log （1＋√2）]=0.3595…,where M（a, b）, Q（a, b）, and P（a, b） ave the Neuman-Sandor, quadratic, and first Seiffert means of a and b, respectively.     

也谈椭圆的内接三角形的一个性质

文[1]证明了椭圆的内接三角形的一个性质：如果椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的内接△ABC的重心与椭圆中心重合,那么△ABC的面积是定价3√3/4ab,但在注中指出逆命题不成立,这是错误的．其实,其逆命题是成立的,因此有下面的命题成立：     

数字8、9、10的“较量”

a＋b≥2√ab（a〉0，b〉0）其中当a—b时，a＋b=2√ab，对于这个公式想必各位同学再熟悉不过了，而今天我们要谈的错解纠正也是关于这个的．