对数平均和双参数广义Muirhead平均之间的比较

本文讨论了两个不同正实数x和y的对数平均L(x,y)=(x-y)/(logx-logy)与双参数广义Muirhead平均M(a,b;x,y)=[(x~ay~b+x~by~a)/2]~(1/(a+b))之间的比较,得到了如下三个结论:(11)若(a,b)∈D_1∪E_1∪L_0,则M(a,b;x,y)L(x,y);(2)若(a,b)∈D_2∪E_2,则M(a,b;x,y)L(x,y);(3)若(a,b)∈D_3∪E_3,则存在x_1,y_1,x_2,y_2,使得M(a,b;x_1;y_1)L(x_1,y_1)和M(a,b;x_2,y_2)L(x_2,y_2).其中D_1={(a,b)∈R~2:a+b≠0,ba,ω_1(a,b)≤0,ω_2(a,b)≤0},E_1={(a,b)∈R~2:a+b≠0,ba,ω_1(a,b)≤0,ω_2(a,b)≤0},D_2={(a,b)∈R~2:ab≤0,ba,ω_1(a,b)≥0},E_2={(a,b)∈R~2:ab≤0,ba,ω_1(a,b)≥0},D_3={(a,b)∈R~2:ba0,ω_1(a,b)0)∪{(a,b)∈R~2:ba0,ω_1(a,b)=0,ω_2(a,b)0}∪{(a,b)∈R~2:ba,ab≤0,ω_1(a,b)0,ω_2(a,b)0},E_3={(a,b)∈R~2:ab0,ω_1(a,b)0}∪{(a,b)∈R~2:ab0,ω_1(a,b)=0,ω_2(a,b)0}∪{(a,b)∈R~2:ab,ab≤0,ω_1(a,b)0,ω_2(a,b)0},L_0={(a,b)∈R~2:a=b≠0},ω_1(a,b)=(a+b)[3(a-b)~2-(a+b)],ω_2(a,b)=(a+b)[2(a-b)~2+1]-3(a~2+b~2).     

关于指数、Neuman-Sándor和二次平均的一个精确双向不等式

本文证明了双向不等式αI(a; b)+(1-α )Q(a; b) < M(a; b) < βI(a; b)+(1-β)Q(a; b) 对所有不相等的正实数a和b成立当且仅当α≥1/2 和β≤[e(√2log(1+√2)-1)]/[(√2e-2) log(1+√2)]=0:4121…,其中I(a; b), M(a; b)和Q(a; b)分别表示a和b的指数平均、Neuman-Sándor平均和二次平均.     

一类对称函数的Schur凸性

讨论了一类对称函数的Schur凸性和凹性,解决了关开中在文献Some propertiesof a class of symmetric functions中所提出的公开问题.作为应用,利用控制理论建立了若干不等式.     

SHARP BOUNDS FOR NEUMAN-SANDOR MEAN IN TERMS OF THE CONVEX COMBINATION OF QUADRATIC AND FIRST SEIFFERT MEANS

In this article, we prove that the double inequality
αP（a,b）＋（1-α）Q（a,b）〈M（a,b）〈βP（a,b）＋（1-β）Q（a,b）
holds for any a,b 〉 0 with a ≠ b if and only if α≥1/2 and β≤[π（√2 lov （1＋√2）-1]/[√2π-2） log （1＋√2）]=0.3595…,where M（a, b）, Q（a, b）, and P（a, b） ave the Neuman-Sandor, quadratic, and first Seiffert means of a and b, respectively.