等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

触“类(比)”旁通 从“会”到“透”

(2012上海高考理-14)如图1,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 分析:观察题中的AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,类比椭圆定义,易知BC线段是“椭球”面上与焦点连线所在的轴垂直的动线段,当BC线段位于“椭球”短轴所在的截面圆时,体积最大. 解:由已知,B、C在分别是以A、D为焦点,长轴长为2a的两个椭圆上(如图2),过点B作BM上AD,垂足为M,连接MC,由AD⊥BC,AD⊥MB,知AD上平面BMC,进而AD上MC,设BM=x,由椭圆的对称性知BM=CM=x,此时,四面体ABCD的体积V=1/3S△MBC·AD=1/3×1/2×2×√x2-1×2c=2c√a2-c2-1/3(0＜x≤／a2-c2).     

用分式基本性质解几何题一例

<正>分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式,分式的值不变.常在代数变形中使用,用之解几何题同样可收到意想不到的效果,请看一例:题目(文(1)第586页例2)如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH=3、EF=4,那么线段AD与AB的比等于().常规方法见文(1),纯粹几何计算法.本文解法思路目标求AD AB.由分式的基本性质有AD AB=AD·AD AB·AD=AD2AB·AD,不难发现分母AB·AD表示矩形ABCD     

应重视用坐标法解向量题

在近几年高考题中,向量是必考点,引入坐标后很多向量问题便能迎刃而解.下面以平时考试中的几道向量题目为例谈谈坐标法的应用.图1例1如图1,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB//CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(包含边界),设→AP=α.→AD+β.→AB,则α+β的     

一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

一道立体几何题的向量解法

高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线…     

中考题中的调和点列

1.调和点列的概念和性质。定义1^[1]如图1,对于线段AB的内分点C与外分点D,若AC/CB=AD/DB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.在射影几何中,①式写成AC·AD/BC·BD=-1(AC·AD/BC·BD称为点列A、B、C、D的交比,记为(AB,CD)).     

一道全国初中数学竞赛题的多种证法

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题的第17题是: 　　如图1,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:(1)∠CAD=2∠DBE;(2)AD2-AB2=BD·DC.……     

一道全国初中数学竟赛题的多种证法

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题的第17题是:如图1,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:(1)∠CAD=2∠DBE;(2)AD2-AB2=BD·DC.     

求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

另解一道课外练习题

《中学生数学》2010年9月(下)期课外练习中初三年级的第3题:图1如图1,已知长方形ABCD中,AB=5,AD=8,在AB,AD上各有一动点Q,P且满足PQ=3,求五边形BCDPQ面积的最小值.     

端点相连的三条弦的性质

<正>端点相连的三条弦可分为几种情形,下面介绍它们的性质.情形1[1]如图1,AB、AC、AD是⊙O中依次的三条弦,记∠CAD=α、∠BAC=β,则AC·sin(α+β)=AB·sinα+AD·sinβ.证明连接BD、BC、CD,由托勒密定理得AC·BD=AB·CD+AD·BC 1设⊙O的半径为R,显然有     

一道赛题的多种解法

<正>图1赛题("《数学周报》杯"2013年全国初中数学竞赛试题)如图1,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为.图2解法1如图2,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.又MF∥AD,所以∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN,所以FN=MN=12AB.因此FC=FN+NC=12AB+12AC=9.解法2如图3,过点C作AD的平行线交BA的延长线于E,延长MF交AE于点N.则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ACE,所以AE=AC=11.     

一堂复习课的教学实录与反思

问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C     

有心曲线的一个美妙性质

我们在学习中发现了有心曲线的—个美妙性质： 性质1如图1，设P是椭圆x^2/a^＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上位于x轴上方的任意一点，A，B是椭圆的长轴端点，以AB为一边做矩形ABCD，｜AB｜=2a,｜AD｜=2b,PC交AB于E，PD交AB于F，则｜BE｜，｜EF｜，｜FA｜成等比数列。     

用“控制动点法”求最值

在动态问题中,有一种题型是求多动点最值问题.解决这类问题有效的方法是:让每一个动点分别"表演",把其余动点控制起来,让它处于暂进静止状态,"以静察动"、"寻找战机"、"俟机突围".例1如图1,直角梯形纸片ABCD中,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,动点E、F分别在线段AB、AD上运动,将△AEF沿EF翻折,点A落在直角梯形ABCD内部P点,则PD的最小值为.     

一道高考题的多种解法

题目(2010年全国卷Ⅰ)如图1,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB//DC,AD⊥DC,AB=AD=1.DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.     

模式识别 突破背景

一般的"智慧题"都有一个关键背景点,解题学习实践经历告诉我们只要突破了"背景",问题就易于解决了.下面以一道中考压轴试题为例.一、问题呈现已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.     

问题引领拾级而上——数学全国Ⅰ卷理(文)20题的教学设计

例题(全国Ⅰ卷20题)如图1,四棱锥S-AB-CD中.SD⊥底面ABCD,AB//DC.AD⊥LDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小. 教师:请将条件中的数量、位置关系在图中标出.     

一道中考题的解法探讨及归纳

<正>解法探讨及归纳,是回顾知识和提升思维的一种有效方法.下面以2014年益阳市中考第21题为例,说明如下.试题如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.(1)求AD的长;(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的