一道全国初中数学联赛题的另解

<正>先了解一个公式,平分圆周角的弦长公式:如图1,点A、B、C在⊙O上,弦AD平分∠BAC,若∠BAC=2α,AB=a,AC=b,AD=c,则c=(a+b)/2cosα.证明如图2,连接CD、BD、BC,BC交AD于点E.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.于是CD=BD.因为∠CBD=∠BAD,     

一道几何试题的多解与变式

<正>1试题呈现题目如图1,已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,F是AE上一点,满足FC⊥CD且FC=CD,连接BF并延长,交AD于点G.求证:DG=(?)BF.2试题解答(1)以BF为直角边构造等腰直角三角形解法1如图2,过点F作FH⊥BF交BC于点H.由平行四边形ABCD易得∠BAD=∠BCD,而∠DAE=∠AEC=∠FCD=90°,从而∠1=∠2,     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

数学问题解答

20 0 5年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )15 5 6　ABCD内接于圆 ,AC、BD相交于E ,F是AB的中点 ,G是CD的中点 ,FN⊥BD于N ,GK⊥AC于K ,FN ,GK的延长线交于H ,HE的延长线交AD于M .求证 :HM ⊥AD .(河南方城县博望二中　向中军　 4 732 5 4)证明　如图 ,连结NK .FN ⊥BD ,GK ⊥AC ,故∠FNB =∠GKC=90° ,故E ,N ,H ,K四点共圆 .又ABCD内接于圆 ,故∠FBN =∠GCK ,△FBN ∽△GCK ,从而 BNCK =BFCG,F是AB的中点 ,G是CD的中点 ,故 BFCG =BACD.易知△BAE ∽△CDE ,故 BACD =BECE.从而 BNCK =…     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

一道数学竞赛题的多角度思考

《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛试题第8题是:如图1,在△ABC中,AB =7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF//AD,则FC的长为     

数学问题解答

2005年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)1536　如图,C为半圆弧的中点,点 P为直径BA延长线上一点,过 P 作半圆的切线PD,D 为切点,∠BPD的平分线分别交AC,BC 于点E,F. 求证∠EDF =90°.(江西省宜丰县二中　龚浩生　简爱平　336300)证明　记半圆的圆心为 O,连结 OC,OD,AD,BD.因为 C是半圆弧的中点,PD是切线.所以 OC⊥AB,PD⊥ OD.所以∠DPB =∠COD.因为 PF平分∠DPB,所以∠DPF =12∠DPB =12∠COD　　　　　=∠CAD =∠CBD所以A,P,D,E四点共圆B,P,D,F四点共圆所以∠CED =∠DPA =∠CFD所以 C,D,E,F四点共圆…     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

一个数学问题的简证

<正>问题^([1])如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对边AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,M为PQ的中点,MC与⊙O交于另一点G.求证:A、G、P、Q四点共圆.证明如图1所示,连AG,延长CM至点N,使CM=MN.则四边形PNQC为平行四边形.于是∠PAQ+∠PNQ=∠PAQ+∠PCQ=∠BAD+∠BCD=180°,     

一道平几例题的演变及其应用

现行初中几何第二册第85页上有这样一道例题: 如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,求证AB·AC=AD·AE 本题的证明是极为简单的,只须连结BE,由△ABE∽△ADc即得结论。不难看出,若点D在线段BC上,点E在BC(∠A所对的弧)上运动但仍保持∠BAE=∠DAC时,则在运动过程中,△ADC与△ABE的相似关系依然成立,于是仍有AD·AE=AB·AC。特别,当AD成为△ABC∠的∠A平分线时,点E必成为AD的延长线与外接圆的交点,这     

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

数学问题解答

20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1　设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中　田　晶　 1 1 63 0 9)证明 　如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD .　　所以 AI′I′M =…     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

一道几何题的引申

命题　PQ是以AB为直径的⊙O中的一条非直径弦 ,连接PA ,BQ的直线相交于点M ,连结BP ,AQ相交于点N .则MN ⊥AB .(图 1 )图 1证明　设直线MN交AB于点K .由AB是⊙O的直径 ,由P ,Q在⊙O上知∠MPN=∠MQN =90° .所以P ,M ,Q ,N是四点共圆 .从而∠QMN =∠QPN ,即∠BMK =∠QPB .又因为∠QPB =∠QAB ,所以∠BMK =∠QAB .由∠AQB =90°知∠QAB +∠QBK =90°.所以∠BMK+∠QBK =90°,即∠BMK +∠MBK =90°.　　所以∠MKB =90°,故MN ⊥AB .经笔者探讨 ,发现圆的这一性质 ,在圆锥曲线中仍然成立 .如果将椭圆的长轴…     

一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

一道竞赛题的多种解法

<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)^(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)^(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)²-(AB)2-(AB)²)2)^(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长.