复数域上矩陣可用相似变換化为对角形的一个充要条件

在一般綫性代数教程中(例如[1]),关于复数域上矩陣可用相似变換化为对角形的充要条件有下面两个定理: 定理1.矩陣A可用相似变換化为对角形的充要条件是A有n个綫性无关的特征向量([1]第91頁)~1)。定理2.矩陣A可用相似变換化为对角形的充要条件是A(的特征矩陣)的初級因子都是一次的([1]笫121頁)。利用定理1来判別的实际途径,要求首先算出特征多項式|λE-A|的根,而这一般是不容易办到的;利用定理2来判別的途径一般是先用初等变換化特征矩陣λE-A为对角形,然后判別对角綫上諸元素是否皆无重因式。本文的目的是从定理2出发,导出一个比較直接的、更易实际判別的充要条件。     

线性代数簡介(續II)

§6.特征向量及特征根既然n维空間的同一个线性变換在不同的基底下可以有不同的矩陣与它对应,因此在研究线性变換时,我們自然希望适当地选择一組基底,使得所給的綫性变换的矩陣具有尽可能簡单的形式。     

論矩陣的一種變換

<正> 在本文中,數域限定為複數域.我們要來研究如下的變換:(1)(它將方陣A變成方陣B),式中P表示任意正則陣,P表示P的元素的共軛救構成的陣.所有的變换(1)顯然成羣.這種變換現在姑稱之為種變換.如果二方陣A與B可由一個種變換變此成彼,我們就說,A與B是對相似的.     

初等变换的“記录矩陣法”

設A是一个n阶非异方陣,我們可用下法来求A的逆方陣A~(-1),即在A的右方列一个n阶单位方陣E,得到一个n×2n矩陣,对这个矩陣作初等行变換使前n列变为E則后n阶此时即組成A~(-1)。这个方法在許多綫性代数教科书中均可找到。我們不妨称这个方法为“記录矩陣法”。这个方法甚为簡捷。本文中我們来研究这个方法在向量問題及綫性方程組中的一些应用。可以看出,在这些問題之应用中本法仍不失为一个簡捷的計算法。     

关于线性羣自同构的一个証明

<正> 設K是体,n是>1的整数.以GL_n(K)表K上n阶一般綫性羣,即K上所有n×n可逆矩陣所組成的羣.以SL_n(K)表K上n阶特殊綫性羣,即由GL_n(K)中一切形为T_(ij)(λ)=I+λE_(ij)(其中λ∈K,λ≠0,E_(ij)为(i,j)位置是1而其余位置都是0的n×n矩陣,i≠j,1≤i,j≤n)的矩陣所生成之羣.除开n=2而K的特征数=0这一情形之外,决定SL_n(K)的自同构的問題已全部解决,其中n=4而K的特征数=2这一情形是由华罗庚教授和作者在[3]中§§4—5所研究的.但在[3]的討論中有两个錯誤,其一是关于乘积的阶为3的一对1-对合的标准形的定理3的証明是錯誤的,其二是在     

多個複變數函數論Ⅲ 對稱方陣及斜對稱方陣雙曲空間的完整正交系

<正> §1.引言 1935年E.Cartan曾經算出可遞的不可分解的囿對稱域共有六種.如果用作者所常用的矩陣幾何的語言,可以說明之如下: Ⅰ.矩陣的雙曲空間.它是一個mn維的空間.見[2]. Ⅱ.對稱方陣的雙曲空間.它是一個1/2n(n+1)維的空間.     

关于求逆矩陣方法的一个注記

在[1]中給出一求逆矩陣的計算方案,在[2]中依此方案編了标准程序,的确这个方案对計算和編程序都很省很方便。本文的目的在于把它改进一下,給出一种更为方便些的計算方案,并从另外的角度出发,即用消去法的思想給予較簡单和直观的証明,且証明本身还說明了法求逆矩陣与用消去法求逆矩陣之間的关系。計算逆矩陣方案的出发点是这样的,假定A=(a_(ij))是非蛻化n阶方陣,按下面递推公式建立一系列方陣:     

解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件

前言本文的目的,在簡要介紹解綫代数方程組的迭代法之后,主要是对于这种迭代过程的收斂条件問題,从級数收斂方面作了一些考虑,避开了通常方法所涉及到的有关矩陣的特征值和特征向量、向量和矩陣的范数以及矩陣的相似变換等一系列的綫代数理論,而仅仅用到較少的数学分析知識,同样給出了通常的两个收斂性定理及收斂速度估計式。它在教学上提供了一个可以采用的处理教材的方法,也为具有初等分析知識的数学工作者全面掌握这一方法探索到了一个簡便途径。§1.解綫代数方程組的迭代法 設給定n阶綫代数方程組为     

关於可递域的一个注記

<正> 設是n(n≥4)个复变数z_1,z_2,…,z_n空間中一域,定义为适合条件的点集,其中左边是一个Hermite方陣,而Herimite方陣H>0是指H是定正的. 本文的目的就是要証明在n≥6时域真的Riemann曲率不全取負值.由此立知,在n≥6时域是非对称域.此外还要証明域是不可約的,可递的,而且它解析等价     

整系数射影么模羣的自同构

<正> §1.序言 以表行列式之值为±1的n×n整系数矩陣所組成的乘法羣,而以表中行列式之值为+1的矩陣所組成的子羣.的中核由{I,-I}所組成(I是单位矩阵).以表对其中核的商羣,称之为的射影羣.当n是偶数吋,的中核也是由{I,-I}所組成,以表对其中核之商羣,称之为整系数射影模羣. 华罗庚教授和I.Reiner在[1]中决定了,及(m≥1)的自同构.当n是奇     

一类二重随机矩阵的幂极限

<正> 其中,-l/3≤ε≤1.当ε=1时,A、B均为单位矩阵.显然矩阵A、B均为二重随机矩阵.在马尔科夫链的研究中,可以看到此类矩阵的应用. 本文给出ε≠1时这类二重随机矩阵的幂极限. 引理1.A=(a_(ij))_(2k×2k),若k为奇数,则A有k重特征根ε,其余的k个特征根均为单实根,均属于(ε.1],1为最大特征根;若k为偶数,则A有(k+1)重特征根ε,其余的(K—1)个特征根均为单实根,均属于(ε,1],1为最大特征根.B=(b_(ij))_((2k+1)×(2k+1)),     

阵的模数最大的特征根的幅角

<正> 设有元素为实数或复数的方阵(?)多项式(?)做 A 的特征多项式,这里 E 为么阵,λ为未知量,这个多项式的根叫做 A 的特征根.现在采用下面的一些记号.我们用 A~(?)表 A 的共轭转置阵;对于任意正整数 K,令(?)(?)Farnell 和 Gautscui 曾证明:若ω为阵 A 的具有最大模数的特征根,则ω的模数为数列(?)的极限,即     

酉羣对于它的换位子羣的商羣的构造

<正> 設K为体,而a→a是K的一个对合,即是从K到K之上的一个一一映射且滿足以下条件設H是K上的一个n×n可逆H-矩陣,其标元ρ=±1,即H是适合条件     

线性微分方程系特征根理论

本文将常系数线性微分方程的特征根理论推广到变系数线性微分方程上去,从而建立了线性微分方程系统一的特征根理论。 常系数线性微分方程的特征根理论实质是矩阵的特征根理论,因此,我们建立的理论也可以看成将矩阵的特征根理论平移到线性微分方程系上去。 矩阵的特征根分简单特征根(初等因子次数为1)与复杂特征根(初等因子次数大于1)两类。本文先推广前者并称之为“方程的特征根”;然后推广后者,并称之为“方程的特征阵”。     

线性微分方程系特征根理论

本文将常系数线性微分方程的特征根理论推广到变系数线性微分方程上去,从而建立了线性微分方程系统一的特征根理论。常系数线性微分方程的特征根理论实质是矩阵的特征根理论,因此,我们建立的理论也可以看成将矩阵的特征根理论平移到线性微分方程系上去。矩阵的特征根分简单特征根(初等因子次数为1)与复杂特征根(初等因子次数大于1)两类。本文先推广前者并称之为“方程的特征根”;然后推广后者,并称之为“方程的特征阵”。     

多個複變數函數論Ⅱ 超球雙曲空間中的一完整正交函數系

<正> §1.引言 在上一篇文章裹,我曾經具體地算出矩陣的雙曲空間中的完整正交函数系,在該文中引用了方陣羣的表示法的理論.在這一篇文章裹,我們將定出超球雙曲空間中的完整正交系.所用的方法和上篇稍有不同,我們除掉用一些正交羣的表示羣以外,還用了不變量論中的結果及若干與球調和(spherical harmonic)     

重特征根的特征向量的正文化

<正> 在线性代数中,对于任～n 阶实对标矩阵A,必存在一正交矩阵P,使为对角矩阵,这里λ_1,λ_2,…是A 的特征根(可以包含重根)。不妨设其中互不相同的特征根为λ(_r_1),…λ(_r_(?)),λ(_r_i)的重数为s_i,则sum from i=1 to t s_i=n.如对应于每一个特征根λ(_r_i)(i=1,2,…t),的s_i 的特征向量为(?)α(_i_1),…(?)α_i:,采用施密     

Oja神经网络模型的有限逸时性

O ja连续型全反馈神经网络模型可以有效计算实对称矩阵的主特征向量,该网络的动态行为由描述其模型的微分方程所决定,详细研究了O ja动力系统的稳定性问题.对于非正定实对称矩阵最大特征根为零,且至少有一特征根为负的情形,证明了从单位球外出发的解并不一定必然导致有限逸时,完善了O ja模型计算实对称矩阵主特征向量的收敛性结果,数值实验结果进一步验证了理论分析的正确性.     

尤拉方陣——“尤拉猜想”被否定地解决

1782年以来一直是一个謎的“尤拉猜想”,即尤拉关于不存在(4m 2)阶尤拉方陣的猜想,終于在1959年春天被否定地解决了。第一个提出反例的是印度数學家玻色和史里克汉德。他們首先举出22阶尤拉方阵,从而推翻了尤拉猜想。接着美国数学家派克又举出10阶尤拉方陣,随后在很短的日子里,除了2阶和6阶以外,所有的情形都为他們所解决。在此之前,美国人曾經利用由于对Mersenne数的素数检定而聞名的电子計算机SWAG,对10阶尤拉方陣进行了探索,但是得不到任何訊息。正在这个时候,玻色等人得到了惊人的結果。許多国家的报刊和通俗科学杂志都报道了这个消息。下面只就尤拉方陣的来由和經过,作一些很簡短的介紹。     

魔方阵的特征根

魔方阵的魔方值为其特征根之一,其剩余特征根之和为0.4×4阶魔方阵按1-4或者1-2-3-4变换后仍是魔方阵,且特征根不变.