多邊形面積唯一性的證明

以下約定:凡云多邊形係指簡單多邊形,即多邊形的顶點互不同,邊內沒有顶點,兩邊的交點不在其邊內者;又凡稱面積都是面積的测度,即用數來表示平面一部分的大小,而面積的單位是固定的。我們知道三角形的面積是底乘高之半;一個多邊形總可以分裂成有限個三角形,顯然,分法不止一種,例如李森林同志證明的聯對角線法(本刊第12號),路見可同志證明的打格子法(本刊第1號),通常我們是用所有部分三角形面稹之和作為該多邊形的面積的,於是發生了這樣一個問題:從邏輯上的觀點看,對一個多邊形的不同分法會有不同的面積麼?最初注意到這個類似問題的人是德曹利特,有所謂德氏公理;後來被     

論齊性空間內廣義球函數的正交性及完整性

<正> 1.引言.設為一空間,為給定的一個羣.羣中每一元素σ可以看做是空間裹一個變换:對於中每一點P,對應着一個且唯一的點,記做σP.σ就簡稱做把點P移到點σP的一個變換,它也可表示如下:     

自然數的平方和

自然數列中,前n個數的平方和的公式,是大家都熟悉的,我們還可以這樣地導出此公式。取兩個互相垂直的直線OA和OB,選取任意的線段為單位長,並且在横軸OA上,從點O開始相繼地截出線段1,2,3,4,…,n(圖1)。在縱軸OB上,截出一個等於1的線段,然後再截出n-1個線段,每個線段的長邵等於2/3。通過諾分割點我們引平行於軸的直線,一直到它們的交點為止,於是我們得到邊長為1的正方形和n-1個六角形,這些六角形的面積相繼地表示前面的自然數的平方。 證明:上面的命題很容易證明,命六角形MNTPQR的邊MN等於k,已知RS‖OB,我們得到面積MNTPQR=面積MNTS+面積RSPQ,     

叠次乘積與π_r(S~p∪S~q)

<正> §1.設X為一拓撲空間,其中各點可以用弧聯結.那末π_r(X)的研究,要分兩種步驟,第一步要决定π_r(X)的代數構造,第二步要决定π_r(X)中每一個元素的幾何代表;就是說我們要檢定π_r(X)這個羣的構造,並且對於這個羣的每一個元素α,要造一個連續照像     

常微分方程的區域分析理論(Ⅰ)

<正> 引言 常微分方程理論的一般性研究概括可分為兩個方面;即性質的方面和數量的方面.前一方面由於Poincare H.和的創造發展成為“定性理論”這一分枝.(例如参考[1]).它既研究個別的曲線和運動,也研究整族的曲線和運動;既研究在一特殊點附近的情况,也研究在大範圍內的情况.在數量方面,由於準確公式的難於求得,重點轉向數值積分.即由已給定之初值開始,逐步求出某一特定的解的近     

論變坐標作圖

一、什麼是“變坐標作圖”普通作圖所用的方格紙(意匠紙),是均匀分度的,在這种紙上,任一點离坐標原點(原點的坐標值0)的距離等於該點的坐標值和一個被稱為“分度模數”的常數的乘積,這種分度均匀的坐標,稱為“等距坐標”;通常用以作為量具的直尺上的刻度,那是這一類型。“變坐標”也稱“變距坐標”或“不等距坐標”,它的意義和這相反;在變坐標的圖紙上,分度是不均匀的:如果坐標值為1的點離開尺度的原點為3公厘;那在均匀分度的尺上,坐標价為2的點就該離原點6公厘;而在“變坐標”上,則没有這樣的規律可循,計算尺上的許多尺度,就常是這種類型。“變坐標”常常用來作圖表,在圖解法和圖算法的領域裏,它的應用很廣。一般應用變坐標作圖的場合,大致有三: 1.把常用的公式或經驗數據,作成變坐標     

三角形等心的寶藏

一§1. 誰也知道,三角形有一個內心和三個傍心,這是就它們的位置不同而分別定名的。但是,它們除位置有所不同外,在某種觀點上來看,它們所具的幾何特性,可說是完全一致的,也可說是相匹的;因此,我們實在應以同等的地位來看待它們。現在為統一起見,也為方便起見,我們把它們統稱為等心,這是取它們各至三角形的三邊都有等距離的意思,以後我們凡說等心,概係泛指的,認為它是內心或任何一個傍心都可以;倘若只是單指那一個,我們一定特別聲明它是內心或者那一個傍心。     

關於區域的映照半徑

<正> §1.設α_1,α_2,…,α_n是z平面上n個相異的點,G_1,G_2,…,G_n是z平面上n個不互相重叠的有限區域,α_k屬於G_k,記G_k對於α_k的映照半徑為     

不可拓的共形黎曼面的某些性質

<正> §1.設D是數平面的一個域,f(x)是D內的一意分析函數,以D的每個界點為其零點的聚點。Myberg曾證明一個定理:使y~2=f(x)一意的具體Riemann面有Green函數的充要條件是D有正調和测度。可是他的證明有些令人看不清楚。原因是:例如,取D為么圓內部。將上述的具體Riemann     

对“幾何示教的幾點體會”一文的補充意見

在數學通報1954年10月號內登載了潘關崇同志的“幾何示教的幾點體會”一篇文章。我們讀了以後,覺得潘關崇同志對於對稱法的講法有很多優點,如從實際出發,並與物理相聯系,注意教材的系統性等等。因而給我們的教學很大啟發,但是我們也感覺到有一點似乎有補充的必要,就是能修水塔的問題時,怎麼就會想到要作點M的對稱點?若不事先作好準備工作,恐怕學生便要發生疑問;因此我們認為可以先提一個問題作為準備。即“在AB河的一側有一村M,而在另一側有一村N,今要在河邊上建築一個自來水塔,使與MN二村為自用水管直接相通,問水塔應築在何處,而所用的直通水管最省?”若以純理論題的形式出現,便可寫成“已知二點M,N在一定直線AB的異側;於AB上求一點P,使MP+PN為最小。”我們認為若先解决了這個問題,不但原來的問題不會使學生發生疑問,同時還把有關異側點的問題也教給學生了。     

球舆特殊多面體有同模的同倫羣論

<正> 球上同倫羣的研究,是近代拓撲學中一種最重要的工作,三、四年來,這工作發展得尤其迅速,但是像同緯映像術E:π_q(S~n)→π_(q+1)(S~(n+1))這樣,雖然是很重要的一種工具,而E的像和E的核,除有限種情况外,長久沒有一種表示     

一类三阶拟线性微分方程非振动解的渐近性

主要讨论的是一类三阶拟线性微分方程(p(t)|u″|~(α-1)u″)′+q(t)|u|~(β-1)u=0其中α0,β0,p(t)和q(t)是定义在区间[a,∞)上的连续函数,且满足当t≥a时p(t)0,q(t)0.当t→∞时此方程满足∫_a~∞1/((p(t))~(1/α))dt=∞的特殊非振动解存在的充分必要条件.     

重乘积的计算

<正> §1.对弧连通的拓扑空间 X J.H.C.Whitehead 介绍了一种乘积,它使α∈πm(X),β∈πn(X)对应(?),这种乘积使我们有可能去了解低维同伦群的元素对高维同伦群的影响.     

一类Lorentz曲线的本质属性与拟合研究

给出曲线族L(p)=p~α(1-(1-p)~β)~γ,0β1是Lorentz曲线的充分必要条件为:α≥0,γ≥0且α+γ≥1.结果是已有相关结论的推广.在此基础上,在一类Lorentz曲线族中选择了一条最佳曲线作为衡量国家收入分配的指标.用2013全国研究生数学建模竞赛E题数据,得到了相当精确的结果(均方误差精确到10~(-6).     

渐近非扩张非自映射的收敛定理(英文)

设E是实的一致凸Banach空间,K是E的一个非空闭凸集,P是E到K上的非扩张的保核收缩映射.设T1,T2,T3:K→E分别是具有数列{hn},{ln},{kn}[1,∞)的渐近非扩张非自映射,使得sum (hn-1) from n=1 to ∞<∞,sum ((ln-1)) from n=1 to ∞<∞及sum (n=1(kn-1) from n=1 to ∞<∞,且F=F(T1)∩F(T2)∩F(T3)={x∈K:T1x=T2x=T3x}≠Ф.定义迭代序列{xn}:x1∈K,xn+1=P((1-αn)xn+αnT1(PT1)n-1yn),yn=P((1-βn)xn+βnT2(PT2)n-1zn),zn=P((1-γn)xn+γnT3(PT3)n-1xn),其中{αn},{βn},{γn}[ε,1-ε],ε是大于零的实数.(i)如果T1,T2,T3中有一个是全连续的或者半紧的,则{xn}强收敛于某一点q∈F;(ii)如果E具有Frechet可微范数或者满足Opial’s条件或者E的对偶空间E~*具有Kadec-Klee性质,则{xn}弱收敛于某一点q∈F.     

有时滞的系統的无条件稳定性

<正> §1.問題的提出及解法 錢学森在[1]中提出了有时滞的系統的无条件稳定性的問題,并叙述了Satche的作图法.对于有时滞的系統的稳定性問題,一般化为超越方程的根的实部的符号的判定問題,这方面有及,Hayes及Bellman等人的工     

一类幂平均不等式的完善

设n≥2,n∈N,β>θ>0,a∈R_+~n,r∈R,M_r(a)为a的r次幂平均,将确定参数λ,使(G(a))~(1-λ)(Mβ(a))~λ≤M_θ(a)成立.此结果推广了一些已知结论.     

球面稳定同伦群的回访新元素族

本文构造了在Adams谱序列中由hng0γ3∈E26,t所表示的球面稳定同伦群πt-6S的新元素族,回访了文[1]中构造的bn-1g0γ3-元素族∈πt-7S,其中t=2pn(p-1)+6(p2+P+1)(p-1),P≥7是素数, n≥4.     

交换子在加权Herz型Hardy空间上的有界性

主要讨论由Lipschitz函数b与广义C-Z算子T生成的交换子[b,T]在加权Herz型Hardy空间上的有界性,证明了[6,T]从HKq1^α,p（w1,w2^q1）到HKq2^α,p（w1,w2^q2）的有界性．