对数列{（1+（1/n））n+a}的单调完备性定理的修正

文[1]给出数列{(1+(1/n))n}与{(1+1/n)n+1}的单调性的新证,并结合2008年湖南理科压轴题作如下探究:研究数列{(1+1/n)n+a}(其中a为实数)的单调性,得出如下单调完备性定理:     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.     

考试中的另类求和问题

<正>在最近几年的高考和各类模拟试卷中,出现了一些新的数列求和问题,这些数列求和与传统的等差数列、等比数列的求和不同,他们含有一些独特的特征,如(-1)ⁿ、nn、n²、sin(n/2)π等等而这些特征恰恰就是求和的关键.一、含有因式"(-1)2、sin(n/2)π等等而这些特征恰恰就是求和的关键.一、含有因式"(-1)ⁿ"的求和问题例1(2012年新课标卷)数列{an}满足a_(n+1)+(-1)n"的求和问题例1(2012年新课标卷)数列{an}满足a_(n+1)+(-1)ⁿa_n=2n-1,则{a_n}的前60项的     

整数环上一类矩阵方程Xn+Yn=λnI(n∈N,λ∈Z,λ≠0)的解

设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,M_m(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n≥3,二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M₂(Z),且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=(±1)ⁿI(n∈N,n≥3,X,Y∈M₂(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd(n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:■n∈N,Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M_n(Z));X³+Y³=λ³I(λ∈Z,λ≠0,m∈N,m≥2,X,Y∈M_m(Z)).     

卢卡斯数列的一个奇妙性质

<正>文[1]介绍了卢卡斯数列.若令(1+(5^1/2))/2=α,(1-(5^1/2))/2=β,L_n=αⁿ+βⁿ,则称数列{L_n}为卢卡斯数列.卢卡斯有两个基本性质:1.各项均为整数;2.当n≥3时,L_n=L_n-1+L_n-2{L_n)的各项写出来是:1,3,4,7,11,18,….本文证明卢卡斯数列的一个奇妙性质.     

关于数列{[Γ（n＋1）/2]/√nΓ（n/2）}n=1^＋∞

用单调有界定理证明了数列{[Γ（n＋1）/2]/√nΓ（n/2）}n=1^＋∞的奇子列和偶子列极限的存在性，并给出了该数列的极限为1/√2本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用．     

对数列{(1+1/n)~n}的单调性的再思考

1数列{(1+1/n)n}的单调性新证众所周知,在高等数学《数学分析》的极限论里有以下重要数列:命题1{(1+1/n)n}是N*上的严格递增数列.本文首先给出它的新颖证法:证明利用著名的贝努利(Bernulli)不等式(1     

浅谈“两式相减”的策略

<正>两式相减是数学中一种重要的转化方法,很多数学问题,可借助于"两式相减"获得解决,应用十分广泛.那么怎样用"两式相减"呢?一、错项相减例1记数列{(2n+3)(1/2)ⁿ}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)n}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)ⁿ,∴有S_n=1/2·5+(1/2)n,∴有S_n=1/2·5+(1/2)²·7+(1/2)2·7+(1/2)³·9+…+(1/2)3·9+…+(1/2)ⁿ(2n+3)1将1式两边乘以公比1/2,得     

关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限

用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.     

无理函数y=（a1x+b1）～（1/2）+（a2x+b2）～（1/2）的最值求法

无理函数y=（a₁x+b₁）^1/2+（a₂x+b₂）^1/2（a1,a2,b1,b2均不为0）（1）的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数（1）为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数（1）最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数（1）可改写成如下形式:y=a（x-b）^1/2+c（d-x）^1/2（a,c>0,b,d≠0）（2）当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献   

数列{(1+1/n)~n}单调性的证明

本文打算给出数列{(1+1/n)~n}单调性的两个证明,这两种证法都可为中学生掌握。证一:(利用算术——几何平均不等式) 对于(n+1)个正数1,1+1/n,……,1+1/n,易知不全相等,由重要的不等式(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2……a_n)~(1/n)(当且仅且a_1=a_2=……=a_n时取等号)可得=n+2/n+1=1+1/n+1 两边(n+1)次方,得     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的另一种证法

证明数列{(1+1/n)~n}的极限存在,只要证明数列{(1+1/n)~n}单调且有界.为此在一般的微积分教材中,是采用按牛顿二项公式将(1+1/n)~n展开的方法,这种方法思路自然且直观易懂,为拓宽思路下面给出另一种证法.     

常见累进数列n{(n+1)…(n+m))的求和方法

大家知道1·2+2·3+3·4+…n(n+1)的求和可利用通项公式来求,即: 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=(1~2+2~2+3~2+…+n~2)+(1+2+3+… +n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(1+n)-(1/3)n(n+1)(n+2) 但是用这种方法求和涉及到数列1~2,2~2,3~2…n~2的求和,如果给出累进数列的每项乘积因子则又涉及数列{n~3},{n~4},…的求和,所以利用通项求常见累进数列     

an+1=p(n)a2/n+f(n)an+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖,能力要求高,内在联系密切,思维方法灵活,因此倍受命题者的青睐.解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识,灵活运用基本数学思想方法,善于转化.an+1=p(n)@a2n+f(n)@an+r(p(n)≠0)型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范,难度较大.求解此类问题的思维模式是:观察-归纳-猜想-证明.求解的主要方法是:分析法,比较法,消去法,综合法,放缩法,数学归纳法.     

a_(n+1)=p(n)a_n~2+f(n)a_n+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .an+1 =p( n) .a2n+ f ( n) .an+ r ( p( n)≠0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法 ,比较法 ,消去法 ,综合法 ,放缩法 ,数学归纳法 .例 1　数列 x1 ,x2 ,… ,由 x1 =12 ,xn+1 =x2n + xn( n =1,2 ,… )给出 ,Sn与 Pn 分别是数列 y1 ,y2 ,y3 ,… ,前 n项的和与积 ,这里 y…     

重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法

利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1 1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1 1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.     

求解自然数列方幂和的两种方法

<正>高中教材中对于数列和公式1²+22+2²+…+n2+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6及12=(n(n+1)(2n+1))/6及1³+23+2³+…+n3+…+n³=[(n(n+1))/2]2的推导过程只字未提,只是要求学生能用数学归纳法证明上述公式成立,大部分学生会问及此公式的推导方法.下面总结两种学生能接受的求较低次数自然数列方幂和的方法.1.裂项法求自然数列方幂和裂项法是中学数列求和中的一类重要方     

数列a_n=n(n+1)前n项和公式的三种推导方法

<正>在《数列》教学过程中,很多学生对数列a_n=n(n+1)前n项和公式S_n=n(n+1)(n+2)/3比较陌生,为了让学生在了解课本知识的基础上有所拓展,本文特总结了3种证明方法,以期为学生解决疑惑,起到举一反三的效果.证法1∵a_n=n(n+1)=n~2+n,     

二阶椭圆问题两种新的矩形混合元格式

1引言考虑Poisson方程的第一齐边值问题:（?）其中Ω∈Rⁿ（n=2,3）是有界凸多角形区域.f∈L²（Ω）是已知函数.令（?）=▽u.传统方法是定义:H_l={（?）∈L²（Ω）ⁿ;div（?）∈L²（Ω）},M₁=L²（Ω）,（?）H₁=(（?）+     

解析形如a1/2（a>0）的无理数的取值范围

性质若01/m<2^1/n.应用二次根式的这条性质,就能用有理数去估计形如2^1/a（a>0）的无理数的取值范围.这类题在中考中常以客观题的形式出现,现举例解析: