无理函数y=（a1x+b1）～（1/2）+（a2x+b2）～（1/2）的最值求法

无理函数y=（a₁x+b₁）^1/2+（a₂x+b₂）^1/2（a1,a2,b1,b2均不为0）（1）的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数（1）为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数（1）最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数（1）可改写成如下形式:y=a（x-b）^1/2+c（d-x）^1/2（a,c>0,b,d≠0）（2）当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献   

一题·一类·一法——一堂自主招生辅导课引起的思考

数列的通项与求和是自主招生考试命题"感兴趣"的内容.数列在自主招生中出现的知识背景、表现形式（如有理数形式、无理数形式、阶乘形式等等）很丰富,它还常常和不等式的背景融合在一起.因此,探究这一类题目的命题的思路,即将数列的求和与不等式证明的技巧渗透在一起,这时,解决此类题目的思路和方法也就"水到渠成"了.一、一题题1求证:1+1/（2³）^1/2+1/（3³）^1/2+…+1/（n³）^1/2<3.     

一个无理不等式的简证及推广

<正>题目已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求证:（a²+1）^1/2+（b²+1）^1/2≥5^1/2.《中学数学》《中学数学教学参考》等数学杂志曾用放缩法、几何法、向量法、不等式法等十多种方法对此题作了精彩证明,读后令人折     

另解两道课外练习题

<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=1²,a_2=10=12,a_2=10=1²+32+3²,a_3=35=12,a_3=35=1²+32+3²+52+5²,a_4=84=12,a_4=84=1²+32+3²+52+5²+72+7²,……则a_n=12,……则a_n=1²+32+3²+52+5²…+(2_n-12…+(2_n-1⁾2.由S=1)2.由S=1²+22+2²+32+3²+…+(2_n)2+…+(2_n)²     

卢卡斯数列的一个奇妙性质

<正>文[1]介绍了卢卡斯数列.若令(1+(5^1/2))/2=α,(1-(5^1/2))/2=β,L_n=αⁿ+βⁿ,则称数列{L_n}为卢卡斯数列.卢卡斯有两个基本性质:1.各项均为整数;2.当n≥3时,L_n=L_n-1+L_n-2{L_n)的各项写出来是:1,3,4,7,11,18,….本文证明卢卡斯数列的一个奇妙性质.     

另解课外练习题两则

<正>题一(《中学生数学》2017年7月下课外练习题初一年级2(2)).证明2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²是一个完全平方数.解由于20162是一个完全平方数.解由于2016²+20172+2017²=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则20162=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²=(2016     

西部数学奥赛一题的三角证法

<正>题目求证:对任意正实数a、b、c都有1≤(a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2)≤(3 2^1/2/2).《中学生数学》2007年1月（上）P₃₆刊出了杨安琪同学对此题的"新解".可惜原文的最后两步有误.因由cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（cos²α·cos²β·cos²γ）^1/3,cos²αcos²βcos²γ≤（1/8）,不能推出cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（1/8）^1/3.尽管原文出现小小的失误,但原文的思想方法很好.     

相似椭圆系的一组性质

在几何图形中,相似图形是几何中较为神奇的一族,给人以视觉上的美感.众所周知,椭圆的形状是由该椭圆的离心率决定的.笔者给出相似椭圆系的定义并研究它的一组性质.定义:对于中心相同,离心率也相同的"个椭圆,其方程分别为:C₁:x²/a²+y²/λ²a²=1（0〈λ〈1,a〉0）,C₂:x²/λ²a²     

关于Pell方程组x2-(m2-1)y2=z2-(n2-1)y2=1

设m,n,L为正整数,本文证明了:如果mε,ε∈(0,1),且m>(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε)),或j>10.25×10¹²log⁴(2(L+1)(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε))),Pell方程组x²-(m2-1)y²=z²-(n²-1)y²=1的正整数解满足1≤k≤δL²,这里δ∈[1/2(123787LL(1/2))⁽1/(ε-1)),1],以及■且j=k=1或k+2≤j<1/3(5-2ε)k,2|(j+k),k>3/(1-ε),并改进了文[Proc.Amer.Math.Soc.,2015,143(11):4685-4693]的结果.     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.     

二维Hardy空间维林肯型系统的极大算子（英文）

本文研究二维Hardy空间维林肯型系统的极大算子的有界性.利用原子分解方法,我们证明二维极大算子T_αf:=sup₍2^-α≤n/m≤2^α)|f*P_n,m|是从鞅Hardy空间H^p到L^p有界的,其中0 *f=₍2^-α≤n/m≤2^α)|σ_n,mf|/([(n+1)(m+1)])^1/p-2的有界性证明.通过构造反例,我们证明二维极大算子■不是从鞅Hardr空间H^p到L^p有界的,其中0

相似文献   

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

一道陈题的再探究

<正>下面是一道排列组合的常规题.题目6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:分给甲、乙、丙三人,每人至少1本.分析可以分为三类情况:1"2、2、2型"的分配情况,有C_6²C_42C_4²C_22C_2²=90种方法;2"1、2、3型"的分配情况,有C_62=90种方法;2"1、2、3型"的分配情况,有C_6¹C_51C_5²C_32C_3³A_33A_3³=360种方法;3"1、1、4型"的分配情况,有C_63=360种方法;3"1、1、4型"的分配情况,有C_6⁴A_34A_3³=90种方法,所以,一共有90+360+90=540种方法.完成此题后,我们会自然地思考一般情形的解决方法.于是提出以下问题:     

对福建省一道高考试题的一般性探究

试题（2012福建高考文科21题）:如图1,等边三角形OAB的边长为8(3^1/2),且其三个顶点均在抛物线E:x²=2py（p>0）上.（1）求抛物线E的方程;（2）设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

<正>椭圆（x²/c²）+（y²/b²）=1(a>c>6>0,c=（a²-b²）^1/2内含于椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）,双曲线（x²/c²） -（y²/b²）=1(a>0,b>0,c=（a⁺b²）^1/2内含于双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（n>0,b>0）.所以,我们不妨把     

一道根式题的解后三思

<正>一、一道根式题的解后三思本刊2017年5月下第32页例题2是一道根式证明题,朱月祥老师用换元法给出巧解,现抄录于下:已知n是非零整数,求证:3(2-5^(1/2))(1/2))^(1/2)+3(2+5(1/2)+3(2+5^(1/2))(1/2))^(1/2)/n是有理数.     

一道代数式求值问题的新解与一般化

<正>题目已知ax²+bx+c=0(a≠0)有实数根x_1与x_2,设p=x_12+bx+c=0(a≠0)有实数根x_1与x_2,设p=x_1⁽¹⁹⁹⁷⁾+x_2(1997)+x_2⁽¹⁹⁹⁷⁾,q=x_1(1997),q=x_1⁽¹⁹⁹⁶⁾+x_2(1996)+x_2⁽¹⁹⁹⁶⁾,r=x_1(1996),r=x_1⁽¹⁹⁹⁵⁾+x_2(1995)+x_2⁽¹⁹⁹⁵⁾.求ap+bq+cr之值.原解答(见参考文献[1]第183页例5)"由因导果",摘抄如下:由x_1,x_2是方程ax(1995).求ap+bq+cr之值.原解答(见参考文献[1]第183页例5)"由因导果",摘抄如下:由x_1,x_2是方程ax²+bx+c=0之二实根,所以ax_12+bx+c=0之二实根,所以ax_1²+bx_1+c=0①ax_22+bx_1+c=0①ax_2²+bx_2+c=0②     

对一道竞赛题的别解与拓展

题目（2014年全国初中数学联赛试题）如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则AE=（）.（A）6^1/2/2（B）2^1/2（C）3^1/2（D）6^1/2对于这道题,组委会给出的解法是,四点共圆再结合相似从而完成求解.本文从不同的角度给出以下四种解法.     

例谈形如(a/b)~(1/2)的二次根式的化简

<正>二次根式的化简是初中数学中的重要内容,也是学好实数运算的基础.初中数学中有两类二次根式需要化简,一类是被开放数含有能开得尽方的因数,如8^(1/2),(27)(1/2),(27)^(1/2),(48)(1/2),(48)^(1/2)等;一类是被开方数是分数