奇妙的勾股世界

<正>勾股定理可以称得上是数学中的一颗璀璨的明珠,被称为"几何学的基石",它为我们揭示了直角三角形的三边之间的关系,数千年来,人们一直对勾股定理保持有极高的热情.我们从最简单最熟悉的勾股数入手,可以发现许多结论,探索出许多的规律.我们最熟悉的勾股数有3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等.通过观察这些勾股数组,我发现这些表示弦的数都可以表示成两个     

直觉与错觉

安徽省2004年江南片数学测试中有这样一题:集合A={12,14,16,18,20},集合B={11,13,15,17,19},从集合A中选一个数a,从集合B中选一个数b,则a>b的概率是().(A)34(B)35(C)12(D)15分析从A、B中各选一个数一共有C15C15种可能.要求a>b,则当a取12时,b取11,为一种可能;a取14时,b取11或13,有两种可能,a取16时,b取11、13、15共三种可能,…,共有1+2+3+4+5=15种可能,所以P=1525=35,故选(B).学生大多是按以上的思路做的,我在讲解时他们也都表示了认同.讲完后我又多问了一句:“为什么不是12呢?我认为12也挺有道理的,集合A中的数有5个,集合B中的数也有…     

植"数"问题

你们没有看错,我也没有写错,我不是写"植树问题",我要写的,千真万确是"植'数'问题". 春节已经过去了,我趁着还没开学的空档,把家里的书整理了一下,结果找到了一本《数学竞赛题库》,翻了一下,里面的一组题把我吸引了.     

一道高考选择题的"背后"

2009年高考数学湖北卷文、理第10题如下: 　　古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如: 　　他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.……     

用"更相减损术"求最大公因式

“更相减损术”是我国古代数学中求二整数最大公因数的方法 .古典名著《九章算术》卷一在谈到分数分子分母约去公因数有“置分母子之数 ,以少减多 ,更相减损求其等也 .以等数约之 .”这里的“等数”就是所说分母分子的最大公因数 .所谓“更相减损求其等”就是置两个整数 ,以少减多 ,反复相减 ,直到二数相等就得到它们的最大公因数 .例如 ,求 91 ,49的最大公因数(91 ,49) .我们有(91 ,49) =(91 -49,49) =(4 2 ,49)=(4 2 ,7) =…… =(7,7) =7刘徽说 :“其所以相减者 ,皆等数之重叠 .”数91 ,49都是等数 7的重叠 .对于初学者来说 ,“更相减损求…     

粗心大意制造的"神话"和灾难

牛顿曾经说过:"在数学中,最微小的误差也不能忽略."这里给大家介绍两则真实的故事.从前,医生常推荐儿童和康复中的病人多吃菠菜,根据是菠菜里面含有大量的铁质,有养血、补血之功能.可是,前联邦德国化学家劳尔赫在研究化肥对蔬菜的有害作用时,却无意中发现,菠菜的实际含铁量并不像有     

应用数形结合理解三角形四心的向量形式

数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化.中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合.作为一种数学思想方法,数形结合包括两个方面:第一种情形是"以数解形",而第二种情形是"以形助数".下面以三角形的四心为出发点,结合向量相关知识,应用数形结合的思想,解决三角形四心所具备的一些特定的性质.既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感.     

数学中的“五虎将”

数学中有五个最突出的数 ,即 1,0 ,ｉ,π ,е ,这五个数是最具代表性的 ,是数学中的五虎将 .“1”是一切实数的出发点 ,通过它和自然数对可构造全体实数 ;“0”是正负数的分界点 ,是所有实数中唯一的中性数 ;“ｉ”是虚数的基本单位 ,借助它可以完成从实数到复数的扩充 ;“π”是圆的周长与该圆的直径之比 ,称为圆周率 ,它是一个与圆的大小无关的量 ,它在数学和自然科学中有广泛的应用 ,有人戏称“不可一日无此君” .“е”是近代发现的超越数 (不是任何整系数代数方程的根的数 ) ,成为普遍使用的自然对数的底 .“1” ,“0”代表算数 ,“ｉ…     

对口号相声:说实数

甲:各位朋友大家好!今天由我们两人给大家说段相声.我叫立方根.乙:没错,我是平方根.甲:相声讲究四门功课:数式形理.乙:不是说学逗唱吗?甲:我们今天说的这叫数学相声.乙:还真没听过!这数学相声可也难不住我,我来给你说说这个"数"吧!甲:你还是算了,先听听我这有学问的人吧!这"数"我可熟悉:有小数、纯小数、带小     

不同思维视角,多变破解方法——一道最值题的研究

涉及二次方程背景下的双变元代数式的最值问题,是双变元代数式的最值问题中比较常见的一类题型,也是各类考试中的热点问题.结合一道相应的高三复习模拟题的展示,剖析内涵,分析不同的思维视角与破解方法,总结破解规律与技巧,引导并指导数学教学与解题研究.     

"函数单调性"在不等式竞赛题中的妙用

函数是高中代数中最基本也是最主要的内容,函数的单调性又是其重中之重.利用函数(数列)的单调性求证不等式的核心即求最大(小)值,而求最大(小)值,利用函数的单调性是最常用的一种方法.以下分六个方面举列说明"函数单调性"在求证不等式中的妙用.……     

谈高中开设"模糊数学初步"选修课

1　授之以鱼　还是授之以渔长期以来 ,教育界普遍有这样一种观点 :中学教育应给学生讲成熟的、稳定的东西 .这在应试教育时代 ,无疑是天经地义的 .“这东西已由前人反复论证过了 ,无懈可击 ,我放心地教 ,你放心地学 ,我考你背 .你不必了解它是怎么来的 ,其间经过多少质疑和雕琢 ,重要的是结果 ,这些已够你记的了 .”好比一条鱼 ,去头掐尾烧中段 ,教师的职责仅在于把这最好的一段烹调得有滋有味 ,易于消化 .这种教育观念使学生只会记、模仿 ;不会思索 ,不会质疑 ,书本总是对的 ,数学家总是对的 ,久而久之便熏陶学生墨守陈规 ,磨掉了青少年最…     

一道与计数有关的数列题

<正>计数是数学里最基本的问题也是最迷人的问题之一.毫不夸张地说,数学学科就是从计数开始.相信同学们都会说:我当然知道怎么数数,1,2,3,….但是,数学上许多计数问题并不是简单地列出元素去数就可以,这时我们需要仔细思考应该如何计数.本文以一道数列创新题为例谈谈如何用"数形结合"思想解决问题,阅读时同学们请先尝试独立解答再接着读下文.     

趣说“1”和“0”

“1”和“0”朝夕相处,无论是在数学概念的建立还是在各种数学问题的解答中。他们总是形影不离,有着唱不完的乐曲. “0”说:我生在印度,长在阿拉伯,足迹遍布世界各国.我是正数和负数的分水岭,又是冰和水的分界线,我既贫寒又富有,任何数学     

关于"平面向量"教学的几点构想与尝试

向量不同于数量 ,它既有大小又有方向 ,是一个具有几何与代数双重身份的概念 ,同时也是一个具有一套优良运算通性的数学体系 .从“数、量及运算”发展的角度看 ,向量所关注的不是“数”的简单扩大 ,而是“量及运算”的扩充问题 .从我国中学数学课程改革的角度看 ,向量的引入有助于学生更好地建立代数与几何的联系 ,能让中学生尽早了解向量等现代数学思想和方法 ,从而为初等数学向高等数学过渡奠定了一个直观基础 .由于向量是我国中学数学课程改革中的新增内容 ,所以在教学实践方面必然经历了一个试验———探索———调整的过程 .下面结合教…     

“回文数”的自白

你问我是谁?我就是回文数.你看!22、383、5445、12321,美不美?不论是从左向右顺读,还是从右向左倒读,结果都一样,我还是我,这就是“回文数王国”的特征.许多数学家着迷于我的对称美,对我孜孜以求,提出许多传为佳话的猜想. 你看!就连最不起眼的小数字13,只要加上它的倒写数31,其和等于44,就拿到了“回文数王国”的身份证.     

"空间数"初探

在精彩的小书[1]的P19～20,载有毕达格拉斯的一则故事: 据古希腊作家普鲁塔克记载:埃及人坚持认为奥西里斯(地狱判官--埃及主神之一)死于阴历17这个月亏之日.毕达格拉斯也憎恨17,不仅因为它与奥西里斯之死有关,而且因为它通过一种古怪的分析,证明了17在算术上是有缺陷的:它处于正方形数16与长方形数18之间,因它们作为平面数,是仅有的使矩形面积与周长相等的数.     

均值不等式及其应用

<正>均值不等式是中学数学中的一个常见不等式,有很重要的地位,也经常被叫做均值定理,在不等式证明及求最值方面应用非常广泛.1均值不等式如果a,b都是正数,那么■,当且仅当a=b时,等号成立.对任意两个正实数a,b,数■叫做a,b的算术平均值,数■叫做a,b的几何平均值.因此把这一常见不等式叫均值不等式.     

基于向量最值(或范围)问题的解题教学

<正>平面向量的范围与最值问题是热点问题,也是难点问题.此类问题综合性强,体现了知识的交汇整合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如,向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等;解决思路是建立目标函数的解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼有“数”与“形”双重身份,故平面向量的范围与最值问题的另一种思路是数形结合.     

奇妙的三位数

嘿,朋友们,今天游戏的主角是三位数.大家知道吗?三位数是最坚持自我的数,用三位数自己的话说就是"不管你对我做了什么,我还是原来的我"!世界上还有这么固执的数?我们来看看吧!