一个不等式的加强及应用

题目袋中放有大小相同的m个黑球和n个白球.现逐个从袋中取球,若每次取出球后再放回,显然每次取得黑球的概率均为mm＋n;若每次取出的球不再放回,则第k次取得黑球的概率是多少（1≤k≤m＋n）？思路1这是一个典型的古典概型问题：前k次逐个取球,相当于从m＋n个球中任取k个球作一排列,样本空间中的基本事件共有Akm＋n个,而事件“第k次取得黑球”表明第k个球为黑球,共包含C1mAk-1m＋n-1个基本事件,     

离散型随机变量的三种分布

<正>一、一个简单问题袋中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中白球3个,红球2个.(1)一次取出2个小球,含红球的个数记为X,求X的分布列;(2)一次取1个,无放回地取两次,含红球的个数记为X,求X的分布列;(3)一次取1个,有放回地取两次,含红球的个数记为X,求X的分布列.     

一道取球试题的拓展

2005年山东高考理科第19题是:袋中有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取、乙后取,然后甲再取…取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每一个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数.(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布.(Ⅲ)求甲取到白球的概率.而2005年浙江高考理科第18题是(部分抄录):袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是13,从B中摸出一个红球的概率是p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个…     

一个高考概率题的推广

问题(2007年江西高考题)将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()(A)91.(B)112.(C)115.(D)118.解因为骰子6个面的点数构成集合S={1,2,…,6},故掷骰子问题等价于从集合S中有放回地取数问题.从S中有放回地一次取一个数,连取三次,共有63种结果.设A为“     

应用多项式求解古典概率

<正>计算古典概率的问题,经常涉及列举法和排列组合的知识,但是对某些问题,也可以考虑其他方法,请看下面的例子.例从0,1,2,3,4,5,6,7共八个数字中,每次任意取出一个,有放回地抽取三次,试求事件"所取出的数字总和为7"(事件A)的概率.分析从八个数字中抽取一个数字,有放回地抽取三次,显然,所有可能取法有8~3种.设第i次抽取的数字为x_i(i=1,2,3),我们按照分类讨论的方法,确定事件A所包含的     

巧用“表格”解n个元素中取两个元素的问题

<正>学完人教版(A)必修3数学第三章概率,同学们反应古典概率的问题不好考虑,不是遗漏基本事件,就是增加基本事件,通过我对不同题型的认真分析与对比,我发现巧用"表格"可以轻松解决古典概型——n个元素中取2个元素的问题.一、n个元素中取2个元素问题(不放回抽样)1.(课本129页例5)某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听检测出不合格产品的概率有多大?     

新题征展(99)

A 题组新编 　　1.(王荣峰)口袋中装有大小相同编号为1至9的9个小球 　　(1)有放回地从中任取3个球,最大编号为8的概率为_____; 　　 (2)有放回地从中任取3个球,最大编号是最小编号3倍的概率为____; 　　(3)无放回地从中任取3个球,编号互不相邻的概率为______.……     

争鸣

问题问题130下列说法是否有误,若有,请指出错误所在.1从整数集中任取一个数,取出的数是1的概率是多少?分析记A=“取出的数是1”,则基本事件“从整数集中任取一个数”,总数有无数个,事件A发生的总数m=1,事件A发生的概率为0.事件A可能发生,也可能不发生,所以事件A是一个随机事件.     

一组球入盒问题

在很多资料书上,我们常见到如下一组概率问题,举例如下. 题目把n个小球以同样的概率分配到N(n≤N)个盒子中的每一个中去,试求下列各事件的概率:     

全国工科概率统计学术交流会

<正> 本文讨论下列问题:(一)从概率空间出发引进条件概率的必要性与能性,阐明了P(A|B)与P(A)之间的区别及联系;(二)人们对“分组问题”的模糊认识,对分组问题给出一个确切的定义以及分组组数的计算公式;(三)“古典概型”的分类问题,将古典概型问题归结为“不放回的抽样试验”和“有放回的抽样试验”两种模式,对样本点的规定方法做出了统一的处理。     

再论Fibonacci数列的概率性质

本文得到了从Fibonacci数列｛F_n｝~∞_n=1中(有放回)随机取m(≥2)项其最大公因子为F_(no≥3)的概率;讨论了Mersenne数列｛2~n-1｝~∞_n=1的概率性质,并发现它与Fibonacci数列的概率性质相似．     

谈不放回抽样与放回抽样的区别

高中数学新教材中增加了概率论的内容 ,在有关的课外资料中经常出现 (或隐含 )“不放回”与“放回”这类问题 ,本文就此谈一下它们的区别 .不放回抽样与放回抽样的区别主要体现在以下四个方面 :(1)不放回抽样是指每次抽出样品不放回 ,下次再抽样时 ,样品结构发生变化 ,总数比前次少一 ;而放回抽样是指每次抽出的样品放回 ,下次再抽样时 ,样品结构和总数保持不变 .(2 )不放回抽样各次抽取不是相互独立的 ;而放回抽样各次抽取是相互独立的 .(3)对不放回抽样来说 :事件A =“不放回地逐个取k个样品”与事件B =“一次任取k个样品“的概率相等 ,…     

广义斐波那契序列的概率性质

<正> 在[1]中给出了这样两个结果:1°从自然数序列中(有放回)随机取两项,则它们互素的概率是6/π~2;2°从斐波那契序列中(有放向)随机取两项,则它们互素的概率 P 满足:7/π~21)项,问它们最大公因子是1的概率为何?     

中考概率问题考点盘点

近年来,在各地的中考试卷中概率问题不断出现.现从2010年中考试题为例,说明概率的常见考点.例1(重庆市)在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-2,-1,0,1,2的小球,它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球,将该小球上的数字作为点P的横坐标,将该数的平方作为点P的纵坐标,则点P落在抛物线     

如何解决复杂概率问题

概率作为高考的必考问题,每年必有一道 大题在高考试卷中出现．分析近几年概率考 题,基本上都不止考查某一种概率事件,而是 一道题目中既考察独立事件,独立重复试验, 又考到独立事件,对立事件概率的求法．解决 这类较为复杂的概率问题,应注意以下三个方 面的问题．     

坚持就是胜利的概率解释

对坚持就是胜利这句话我们已耳熟能详,但主要是就精神的层面说的,本文意在用数学的观点说明它的正确性.一次做好某件事不容易,我们就说做好这件事的概率很小,但不管多小,它始终是一个正常数,记这个数是x,则它的对立事件(即一次不能做好这件事)的概率为1-x;若我们把这件事做n次,则每次都不能做好这件事的概率为(1-x)n,那么它的对立事件(即至少有一次做好这件事)的概率为1-(1-x)n,因为x是一个接近于0的正数,显然有0<1-x<1,故当n较大时,1-(1-x)n就趋近于1,记作li mn→∞[1-(1-x)n]=1.某事件发生的概率为1,也就说这个事件几乎必然发生.看来只要…     

介绍一个可以利用概率方法求和的无穷数列

求和的问题,不论是用初等方法还是用分析的是相当困难的。但是利用概率计算的基本方法却可以比较容易地达到求和的目的。下面介绍这个方法。 现在提出如下的一个问题。 计算在下述条件下得到奖励的机会:从一个装有一个优质零件和一个次等零件的容器里,凭借对零件优劣特点的了解,两次取出零件(每次取出之后再放回,且零件型号相同),如果两次取出的是优质零件,     

例谈分球入箱问题的解法

将n个球放入k个箱子中,有多少种不同的放法?此类问题我们称之为分球入箱问题。它含有多种情形：n个球是否相同?k个箱子有无差异?箱子允许空否?解决此类问题的关键是分辨在什么情况下与顺序有关,在什么情况下与顺序无关。现举例说明如下。例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(箱子不空)有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空又有多少种不同的放法? 分析箱子相同时不需考虑箱子的顺序,球相同也无需考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的多少。可用穷举法求解。解 (1)箱子不空有3种放法：     

概率六辨

高中概率部分每一种事件的概率的求法是明确的,但学生在实际操作中会出现这样一些情况,明明知道是什么事件,却不知道用什么具体方法去解决,或者有些问题看上去似是而非,辨不清真伪,从而不知从何去分析,如何进一步地用一些明确的方法去解决问题,如何从不同角度去思考从而解决问题,从而找到同一问题中的不同解决方法及不同问题中的同一本质.一、辨清基本事件等可能事件的概率的概念是十分感性的,同时等可能事件的概率的操作方法又是比较模糊的,有些实际问题的基本事件又象是不可确定,这时候学生很难有一种规范的操作方式,因此把等可能事件的基…     

组合

组合研究的是无次序的选取问题,所谓一个组合也就是从n个不同元素中不计顺序地选取m个构成原来集合的一个子集。例1 有5双共10只尺码不同的手套(左、右手有区别),从这10只手套中取出4只。 (1) 恰有2双的取法有多少种? (2) 恰有2只成一双的取法有多少种? 分析 (1)从5双手套中取2双,这2双手套间彼此不计较顺序,故有C_5~2=10种不同取法。 (2)先从5双手套中取一双有C_5~1种取法,再从剩下的4双即8只手套中取2只,要求不属同一双,可分两步:先从8只中取1只,除去与它同一双的另一只,再从其它6只中取一只,有C_6~1·C_6~1种取法,不过这里面有重复。为说明问题,不妨设有两双手套:A_1、B_1与A_2,B_2,其中先取出A_1再取出A_2与先取出A_2再取出A_1