多扇图的Pebbling数和Graham猜想

图G的pebbling数f(G)是最小的整数n,使得不论n个pebble如何放置在G的顶点上,总可以通过一系列的pebbling移动把1个pebble移到任意一个顶点上,其中一个pebbling移动是从一个顶点处移走两个pebble而把其中的一个移到与其相邻的一个顶点上。Graham猜想对于任意的连通图G和H有f(G×H)f(G)f(H)。多扇图F_n1,n2,…,nm是指阶为n₁+n₂+…+n_m+1的联图P₁∨(P_n1∪P_n2∪…∪P_nm)。本文首先给出了多扇图的pebbling数,然后证明了多扇图F_n1,n2,…,nm具有2-pebbling性质,最后论述了对于一个多扇图和一个具有2-pebbling性质的图的乘积来说,Graham猜想是成立的。作为一个推论,当G和H都是多扇图时,Graham猜想成立。     

最小最大二点集覆盖问题分析及改进算法设计

本文考虑二中心问题的扩展问题-最小最大二点集覆盖问题。给定两个平面点集P₁和P₂,分别包含m和n个点,求两个圆分别覆盖P₁和P₂,并且要求两圆半径与两圆圆心距三者中的最大值最小。本文主要贡献在于分析半径变化过程中两个点集中心包之间最近距离的变化关系,其中中心包是点集所具有的一个特殊几何结构,所得到的结果改进了Huang等人之前给出的结果,并且通过该结果设计相应算法,所得到的算法复杂性是目前最好的。     

3度图的最小顶点覆盖问题的多项式时间算法

最小顶点覆盖问题是图论和组合数学中经典的NP-Hard问题之一,在实际问题中有着广泛的应用.本文首先给出最小顶点覆盖问题的若干性质,然后根据这些性质设计了3度图最小顶点覆盖问题的一个多项式时间算法,并通过2个实例对算法进行了说明.     

“异侧和最小,同侧差最大”在解析几何中的应用

一、问题提出题1（2009年四川高考题理科第9题）已知直线l₁:4x-3y+6=0和直线l₂:x=-1,抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（）（A）2（B）3（C）5/11（D）16/37解析如图1,直线l₂:x=-1为抛物线y²=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l₂的距离PB等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离PF,故本题化为在抛物线y²=4x上找一个点P,使得     

退化图中的子图计数问题研究

令G表示n个顶点的图,如果G的每个子图中都包含一个度至多为k的顶点,则称G为k-退化图.令N(G,F)表示G中F子图的个数.主要研究了k-退化图中完全子图和完全二部子图的计数问题,给出了计数的上界以及相应的极图.首先,证明了Ν(G,K_t)≤(n-k)(k t-1)+(k t).其次,如果s,t≥1,n≥k+1且s+t≤k,我们证明了Ν(G,K_s,t)≤{(k s)(n-s s)-1/2(k s)(k-s s),t=s,(k s)(n-s t)+(k t)(n-t s)-(k t)(k-t s),t≠s.此外,还研究了在最大匹配和最小点覆盖为给定值的情况下,图G中的最大边数.记v(G),K(G)分别为图G的最大匹配数和最小点覆盖.证明了当v(G)≤k,K(G)=k+r且n≥2k+2r²+r+1时,有e(G)≤(k+r+1 2)+(k-r)(n-k-r-1).     

张量积图的Tutte多项式及其应用

图G为具有m条边的连通图,E(G)={e₁,e₂,…,e_m},H={H₁,H₂,…,H_m}为由m个连通图构成的集合.图G[H]为G与H的张量积图,即对每个i(1≤i≤m),e_i被H_i替代而得到的图.张量积这一图运算包含了多个边替代图运算,例如细分、三角化、钻石化等图运算.本文中,我们给出了G[H]的Tutte多项式的显式表达式,进而得到了细分图、三角化图、钻石化图等运算图的Tutte多项式和生成树数目.     

γ-可图序列与γ-完全子图

一个r-图是一个无环的无向图,其中任何两个顶点之间至多被r条边连接.一个m+1个顶点的r-完全图,记为K_(m+1)^((r)),是一个m+1个顶点的r-图,其中任何两个顶点之间恰好被r条边连接.一个非增的非负整数序列π=(d_1,d_2,…,d_n)称为是r-可图的如果它是某个n个顶点的r-图的度序列.一个r-可图序列π称为是蕴含(强迫)K_(m+1)((r)),是一个m+1个顶点的r-图,其中任何两个顶点之间恰好被r条边连接.一个非增的非负整数序列π=(d_1,d_2,…,d_n)称为是r-可图的如果它是某个n个顶点的r-图的度序列.一个r-可图序列π称为是蕴含(强迫)K_(m+1)^((r))可图的如果π有一个实现包含K_(m+1)((r))可图的如果π有一个实现包含K_(m+1)^((r))作为子图(π的每一个实现包含K_(m+1)((r))作为子图(π的每一个实现包含K_(m+1)^((r))作为子图).设σ(K_(m+1)((r))作为子图).设σ(K_(m+1)^((r)),n)(τ(K_(m+1)((r)),n)(τ(K_(m+1)^((r)),n))表示最小的偶整数t,使得每一个r-可图序列π=(d_1,d_2,…,d_n)具有∑_(i=1)((r)),n))表示最小的偶整数t,使得每一个r-可图序列π=(d_1,d_2,…,d_n)具有∑_(i=1)ⁿ d_i≥t是蕴含(强迫)K_(m+1)n d_i≥t是蕴含(强迫)K_(m+1)^((r))-可图的.易见,σ(K_(m+1)((r))-可图的.易见,σ(K_(m+1)^((r)),n)是Erds等人的一个猜想从1-图到r-图的扩充且τ(K_(m+1)((r)),n)是Erds等人的一个猜想从1-图到r-图的扩充且τ(K_(m+1)^((r)),n)是经典Turan定理从1-图到r-图的扩充.本文给出了蕴含K_(m+1)((r)),n)是经典Turan定理从1-图到r-图的扩充.本文给出了蕴含K_(m+1)^((r))的r-可图序列的两个简单充分条件.此两个条件包含了Yin和Li在[Discrete Math.,2005,301:218-227]中的两个主要结果和当n≥max{m((r))的r-可图序列的两个简单充分条件.此两个条件包含了Yin和Li在[Discrete Math.,2005,301:218-227]中的两个主要结果和当n≥max{m²+3m+1-[(m2+3m+1-[(m²+m)/r],2m+1+[m/r]]}时,σ(K_(m+1)2+m)/r],2m+1+[m/r]]}时,σ(K_(m+1)^((r)),n)之值.此外,我们还确定了当n≥m+1时,τ(K_(m+1)((r)),n)之值.此外,我们还确定了当n≥m+1时,τ(K_(m+1)^((r)),n)之值.     

太阳图与路的笛卡儿积图的任意可分性（英文）

一个阶为n的图G称为是任意可分的(简作AP),如果对于任一正整数序列τ=(n₁,n₂,…,n_k)满足n=n₁+n₂+…+n_k,总是存在顶点集V(G)的一个划分(V₁,V₂,…,V_k)满足:对于i∈[1,k],|V_i|=n_i,且子图G|V_i|是图G的V_i导出的一个连通子图.我们用S~*=S(n;m₁,m₂,…,m_n)来表示最大度△(S~*)=3的太阳图.本文讨论了图S~*P_m(m≥3)的任意可分性.     

循环图C(9,2)与路Pn的笛卡儿积的交叉数

C(m,2)表示由圈Cm(v1v2…vmv1)增加边vivi+2(i=1,…,m,i+2 (mod m))所得的循环图.C(m,2)的一点悬挂(两点悬挂)是增加一个顶点x(两个顶点x,y)和边xv(边xv,yv)的图,其中v∈V(C(m,2)).我们证明了9阶循环图C(9,2)与路Rn的笛卡儿积的交叉数是10n;C(2m-1,2)的一点悬挂和两点悬挂的交叉数分别是m,2m.     

完全多部图的树划分数的直观证明

r-边染色图G的树划分数tr(G)定义为最小的正整数k,使得只要用r种颜色对图G进行边染色,则存在至多k个顶点不交的单色树覆盖图G的所有顶点.K aneko等确定了t2(K(n1,n2,…,nk))的精确表达式.本文给出了该表达式的一个直观证明.     

Crown reductions for the Minimum Weighted Vertex Cover problem

The paper studies crown reductions for the Minimum Weighted Vertex Cover problem introduced recently in the unweighted case by Fellows et al. [Blow-Ups, Win/Win's and crown rules: some new directions in FPT, in: Proceedings of the 29th International Workshop on Graph Theoretic Concepts in Computer Science (WG’03), Lecture notes in computer science, vol. 2880, 2003, pp. 1-12, Kernelization algorithms for the vertex cover problem: theory and experiments, in: Proceedings of the Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX), New Orleans, Louisiana, January 2004, pp. 62-69]. We describe in detail a close relation of crown reductions to Nemhauser and Trotter reductions that are based on the linear programming relaxation of the problem. We introduce and study the so-called strong crown reductions, suitable for finding (or counting) all minimum vertex covers, or finding a minimum vertex cover under some additional constraints. It is described how crown decompositions and strong crown decompositions suitable for such problems can be computed in polynomial time. For weighted König-Egerváry graphs (G,w) we observe that the set of vertices belonging to all minimum vertex covers, and the set of vertices belonging to no minimum vertex covers, can be efficiently computed.Further, for some specific classes of graphs, simple algorithms for the MIN-VC problem with a constant approximation factor r<2 are provided. On the other hand, we conclude that for the regular graphs, or for the Hamiltonian connected graphs, the problem is as hard to approximate as for general graphs.It is demonstrated how the results about strong crown reductions can be used to achieve a linear size problem kernel for some related vertex cover problems.     

笛卡尔乘积图里的最小k-路点覆盖

对于子集$S\subseteq V(G)$,如果图$G$里的每一条$k$路都至少包含$S$中的一个点,那么我们称集合$S$是图$G$的一个$k$-路点覆盖.很明显,这个子集并不唯一.我们称最小的$k$-路点覆盖的基数为$k$-路点覆盖数, 记作$\psi_k(G)$.本文给出了一些笛卡尔乘积图上$\psi_k(G)$值的上界或下界.     

Banach空间中弱收敛序列系数的估计

利用.Jordan—von Neumann型常数C_t~′(X),C_(-∞)(X)和弱正交系数μ(X)对Banach空间中的弱收敛序列系数WCS(X)进行了估计,从而得到空间具有正规结构的充分条件,这些结论推广了最近一些文献中的结果.同时,还计算了Bynum空间l_(2.∞)。中上述常数的取值,来说明我们给定的条件是一个严格的推广.     

基于混合l_2/l_1范数极小化方法的块稀疏信号重构条件

研究压缩感知中的块稀疏信号重构问题,主要对混合l_2/l_1极小化方法建立了一类改进的可重构条件.具体地说,本文证明若测量矩阵满足条件δ_k+θ_(k,k)1,则混合l_2/l_1极小化方法可精确重构(无噪声情形)或鲁棒重构(有噪声情形)原始块k-稀疏信号.进而表明本文给出的新条件弱于现有文献所给出的条件.     

小直径图的导出匹配覆盖

设G是一个图,而M1,M2,…,Mk是G的k个导出匹配.称{M1,M2,…,Mk}是图G的一个k-导出匹配覆盖,若V(M1)∪V(M2)∪…∪V(Mk)=V(G).k-导出匹配覆盖问题是指对任一个给定的图G是否存在一个k-导出匹配覆盖.这篇文章证明了:直径为6的图的2-导出匹配覆盖问题和直径为2的图的3-导出匹配覆盖问题是NP-完备的,直径为2的图的2-导出匹配覆盖问题多项式可解.     

A Bishop–Phelps–Bollobás Theorem for Asplund Operators

By characterizing Asplund operators through Fréchet differentiability property of convex functions, we show the following Bishop–Phelps–Bollobás theorem: Suppose that X is a Banach space,T : X → C(K) is an Asplund operator with ║T║= 1, and that x_0 ∈ S_X, 0 ε satisfy ║T(x_0)║ 1-ε~2/2.Then there exist x_ε∈ S_X and an Asplund operator S : X → C(K) of norm one so that ║S(x_ε)║ = 1, x_0-x_ε ε and ║T-S║ ε.Making use of this theorem, we further show a dual version of Bishop–Phelps–Bollobás property for a strong Radon–Nikodym operator T : ?_1 → Y of norm one: Suppose that y_0~*∈ S_(Y~*), ε≥ 0 satisfy T~*(y_0~*) 1-ε~2/2. Then there exist y_ε~*∈ S_(Y~*), x_ε∈(±e_n), y_ε∈ S_Y, and a strong Radon–Nikodym operator S : ?_1 → Y of norm one so that (ⅰ)║S(x_ε)║= 1;(ⅱ) S(x_ε) = y_ε;(ⅲ)║T-S║ ε;(ⅳ)║S~*(y_ε~*)║=y_ε~*, y_ε= 1;(ⅴ)║y_0~*-y_ε~*║ ε and (ⅵ)║T~*-S~*║ ε,where(e_n) denotes the standard unit vector basis of ?_1.     

Further results on the expected hitting time,the cover cost and the related invariants of graphs

A close relation between hitting times of the simple random walk on a graph, the Kirchhoff index, the resistance-centrality, and related invariants of unicyclic graphs is displayed. Combining graph transformations and some other techniques, sharp upper and lower bounds on the cover cost (resp. reverse cover cost) of a vertex in an $n$-vertex unicyclic graph are determined. All the corresponding extremal graphs are identified.     

The James constant for the <Emphasis Type="Italic">l</Emphasis><Subscript>3</Subscript> − <Emphasis Type="Italic">l</Emphasis><Subscript>1</Subscript> space

In this note, the exact value of the James constant for the l₃-l₁ space is obtained, J(l₃-l₁)=1.5573…. This result improves the known inequality, J(l₃-l₁)≤4/³√10, which was given by Dhompongsa, Piraisangjun and Saejung.     

无$K_{1,4}$子图的图的路覆盖

For a graph G, a path cover is a set of vertex disjoint paths covering all the vertices of G, and a path cover number of G, denoted by p(G), is the minimum number of paths in a path cover among all the path covers of G. In this paper, we prove that if G is a K_(1,4)-free graph of order n and σ_(k+1)(G) ≥ n-k, then p(G) ≤ k, where σ_(k+1)(G) = min{∑v∈S d(v) : S is an independent set of G with |S| = k + 1}.