几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

利用一个简单不等式解三角题

利用一个简单不等式解三角题２７６００５山东省临沂地区劳动技校孙振英定理若ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ，则当且仅当ａｄ＝ｂｅ时取等号．故定理得证．不等式（＊）与二维柯西不等式（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）≥（ａｃ＋ｃｄ）２结构类似，便于记忆，使用灵巧，应用广泛．本...     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

不等式（a~2／b）≧2a.b的应用

不等式（ａ~２／ｂ）≧２ａ.ｂ的应用陈晓春（四川三峡学院数学系６３４０００）由基本不等式变形可得不等式其中ａ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ＋，等号当且仪当ａ＝ｂ时成立．不等式（＊）是简单的．但用它来求解某些具有一定难度的题目，却十分简捷、新颖．本文的目的即是通过例题说明...     

一个应用广泛的不等式

一个应用广泛的不等式湖南沅陵六中周永国定理若ａ、ｂ∈Ｒ＋，ｎ∈Ｎ，则当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．证对任意的非负整数ｋ≤ｎ，有（ｋ＝０，１，…，ｎ），上面ｎ＋１式相加，得等号当且仅当ａ＝ｂ时成立．定理有着广泛的应用，下面举例说明．例１设ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢ...     

一道不等式习题的推广

一道不等式习题的推广毛毓球，贾玉友（江苏教育学院２１００１３）（江苏新沂市教师进修学校２２１４００）高中代数第二册上有这样一道习题：求证：证明从略·不等式（Ａ）成立的条件是：ａ，ｂＥＲ，且仅当ａ—ｂ时等号成立．这个不等式不仅结构和谐对称，给人以一种对...     

一组重要不等式的次数特征及应用

高中教材上有这么一组重要的不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ）,ａ＋ｂ２≥ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ＋）,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）,ａ＋ｂ＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）．我们对这组不等式的次数作如下分析：当我们把ａ,ｂ,ｃ都看成变量时,上述不等式左右两边的次数相同;当我们把ａ看成变量,而把ｂ,ｃ看作常数时,则上述不等式左右两边的次数不同．基于这些认识,当我们在证明某些左右次数不同的不等式时,可采用如下对策．１．同次转化：利用已知条件,将待证的不等式转化为左右同次式,再来求证…     

1998年高考文科第25题的一种简捷解法

高中《代数》下册（必修本）第１２页例７：已知ａ，ｂ，ｍ∈Ｒ＋，并且ａ＜ｂ，则ａ＋ｍｂ＋ｍ＞ａｂ．对此不等式，我们将条件ａ＜ｂ换作ａ＞ｂ，则相应地有结论：如果ａ，ｂ，ｍ∈Ｒ＋，且ａ＞ｂ，那么ａｂ＞ａ＋ｍｂ＋ｍ．利用分析法很容易证明，此处略．这两个结论在...     

不等式单元测试题

一、选择题１．已知ａ,ｂ∈Ｒ,则（）．（Ａ）若ａ３＞ｂ３,ａｂ＞０,那么１ａ＜１ｂ（Ｂ）若ａｃ＞ｂｃ,那么ａ＞ｂ（Ｃ）若ａ＞ｂ,那么ａｃ２＞ｂｃ２（Ｄ）若ａ２＞ｂ２,ａｂ＞０,那么１ａ＜１ｂ２．下列各组不等式中同解的一组是（）．（Ａ）ｌｇ（ｘ－ａ）２...     

一个不等式及其应用

一个不等式及其应用马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）定理设ａ，ｂ，ｃ为非负实数，ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）－μａｂｃ．则当时，当时，当μ＞９时，其中，对左边不等式，当μ≤３时，等号成立当且仅当ａ＝ｂ＝０；当μ＞３时，等号...     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

一类分式不等式的证法——柯西均值法

一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）众所周知，柯西不等式（ａ１２＋ａ２２＋…＋ａｎ２）（ｂ１２＋ｂ２２＋…＋ｂｎ２）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２（ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ，ａｉ＝ｋｂｉ时取等号，ｉ＝１，２，３，…...     

不等式a~(p q) b~(p q)≥a~pb~q a~qb~p的应用

不等式ａｐ＋ｑ＋ｂｐ＋ｑ≥ａｐｂｑ＋ａｑｂｐ的应用钟成圣（安徽省合肥市中国科大附中２３００２６）定理若ａ，ｂ，ｐ，ｑ∈Ｒ＋，则ａｐ＋ｑ＋ｂｐ＋ｑ≥ａｐｂｑ＋ａｑｂｐ①当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．证∵ｐ，ｑ∈Ｒ＋，∴幂函数ｙ＝ｘｐ和ｙ＝ｘｑ在（０，＋∞）...     

不等式a~2 b~2>=2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ的一个推广及应用魏家忠杨华（阜阳教育学院２３６０１６）（江苏省东台市城北中学２２４２００）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２２ａｂ（１）当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本里一个最基本的不等式，（１）的特点是左边两项系数之和恰为各...     

两个正数的四类平均数之间关系的几何证明

我们知道,许多重要的不等式都可由导出,从其种意 义上可以说该不等式是代数不等式理论的酵母．文［１］用构造图形的方法证明了：设ａ、ｂ实,我们可以用几何的方法证明下面的均值不等式,这个不等式在中学数学里具有基本的重要性． 定理 设 ａ＞０,ｂ＞０,则 且这些不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号． 上式中 分别 称为正数ａ和ｂ的均方根、算术平均、几何平均、调和平均． 证明 显然当ａ＝ｂ时,定理中不等式均取等号．下面仅就ａ＞ｂ的情形进行证明．如图１设Ｏ是ＡＢ的中点,ＡＤ＝ａ,ＤＢ＝ｂ,以Ｏ为圆心,以为半径画圆,图中…     

一个不等式的推广及应用

若ａ∈Ｒ,则ａ２≥２ａ－１①当且仅当ａ＝１时等号成立．将此不等式推广到一般,有定理若ａ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａ２≥ｎａ－（ｎ－１）②当且仅当ａ＝１时等号成立．证由均值不等式,有ａ２＋（ｎ－１）＝ａｎ＋１＋１＋…＋１ｎ－１个≥ｎａ,∴ａｎ≥ｎａ－（...     

一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

一个高次不等式的推广及应用

一个高次不等式的推广及应用康志山（河北赤城一中０７５５００）许多书刊中都流传着这样一个典型题目：已知：ａ，ｂ∈Ｒ＋，ｍ∈Ｎ．则：ａｍ＋ｂｍ２ａ＋ｂ２ｍ．当ｍ＝１，或当且仅当ａ＝ｂ（ｍ≠１）时取等号．这是一个十分优美的不等式．本文将从变元个数进行推广...     

用比较法证明一类不等式

近年来,中学数学刊物和数学竞赛题中经常出现大量新颖的三元对称分式不等式．其证明方法也较独特巧妙,如利用均值不等式、柯西不等式、排序原理等．它们一般不易被中学生想到或接受．为此,笔者在教学中向学生介绍了证明不等式的原始方法——作差比较法,结合恒等变形,构造完全平方式,学生反应此方法简单易行．下面列举数例,供同行教学时参考．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋．求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．证明　左边－右边＝２ａ－ｂ－ｃ２（ｂ＋ｃ）＋２ｂ－ｃ－ａ２（ｃ＋ａ）＋２ｃ－ａ－ｂ２（ａ＋ｂ）＝ａ－ｂ＋ａ－ｃ…