借“1”巧证不等式

“1”是最小的自然数 ,也是最简单的一个数 .它在三角函数中非常活跃 ,它在不等式的证明中也功不可没 .在不等式的证明中 ,如果能够充分发挥“1”的桥梁作用 ,有时有出奇制胜之效 .现举例说明如下 .1　借系数中的“1” .例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ 且ｘ3 ｙ3=2 ,求证 :ｘ ｙ≤ 2 .证　∵ｘ ,ｙ∈Ｒ 且ｘ3 ｙ3=2 ,∴ｘ ｙ =ｘ· 1· 1 ｙ· 1· 1≤ ｘ3 13 133 ｙ3 13 133 =ｘ3 ｙ3 43 =2 .当ｘ =ｙ =1时等号成立 .例 2　设ｘ ｙ ｚ =ａ (ａ >0 ) ,求证 :ｘ2 ｙ2 ｚ2 ≥ａ23 .证　由柯西不等式得 (ｘ·1 ｙ·1 ｚ·1) 2 ≤ (ｘ2 ｙ2 ｚ…     

用调整优值法求最优整数解

“线性规划问题”的最优整数解是《简单的线性规划》一节中的一个难点 .现以教科书 (试验本 )第二册 (上 )第 6 5页习题 7.4的第四题为例说明如何用调整优值法来求“线性规划问题”的最优整数解 .(题目略 )本题的线性约束条件为1 8ｘ + 1 5 ｙ≤ 1 80 ,1 0 0 0ｘ + 6 0 0 ｙ≤ 80 0 0 ,ｘ∈Ｎ ,ｙ∈Ｎ , 6ｘ + 5 ｙ≤ 6 0 ,5ｘ + 3ｙ≤ 40 ,ｘ∈Ｎ ,ｙ∈Ｎ .线性目标函数为ｚ =2 0 0ｘ + 1 5 0 ｙ ,其中ｘ、ｙ分别表示大、小房间的间数 .作出可行域如图 1 .图 1为求ｚ的最大值 ,先将目标函数化为ｙ =-43ｘ + ｚ1 5 0 ,易知当该直线ｌ在ｙ轴…     

不定方程x^2＋y^2＋z^2＋w^2正整数解的结构与表示

对于四元不定方程ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,显然 ,若 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =(ｋｘ0 ,ｋｙ0 ,ｋｚ0 ,ｋｗ0 )(ｋ≠ 0 )是它的一个解 ,则 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ ) =(ｘ0 ,ｙ0 ,ｚ0 ,ｗ0 )也必是它的一个解 .故只须考虑 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,即ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ四数互质的情况 .定理 1　 (解的结构 )若正整数ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,且 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,则ｘ ,ｙ ,ｚ三个数中 ,必定是一个奇数、二个偶数 .证　ｘ ,ｙ ,ｚ三个数的奇偶性 ,共有四种情况 :①全为偶数 ;②全为奇数 ;③二奇一偶 ;④一奇二偶 .①若ｘ ,ｙ ,ｚ全是偶数 ,则ｗ也…     

稀世瑰宝——六角幻方

幻方是将从1开始的n~2个自然数按一定布局排列成一个n行n列的正方形方阵,使其各行、各列及两条对角线上的数字之和正好都相等。既然有正四边形的幻方,那么,你有没有想过能否排列出一个正六边形的幻方呢?大约从1910年起,一个叫克利福德·亚当斯的英国青年开始研究这种“六角幻方”。     

2003年第二期初中数学问题解答

一、分解因式 :ｘ3+ｘ2 ｙ -ｘｙ2 -ｘｚ2 +ｙｚ2 -ｙ3.解 :原式 =(ｘ3+ｘ2 ｙ) -(ｘｙ2 +ｙ3) +(ｚ2 ｙ-ｘｚ2 )=(ｘ +ｙ)ｘ2 -ｙ2 (ｘ +ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) (ｘ2 -ｙ2 ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) 2 (ｘ -ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ -ｙ) (ｘ +ｙ +ｚ) (ｘ +ｙ -ｚ) .二、方程 2ｘ -1 +ｘ -2 =ｘ +1的实数解的个数是多少 ?解 :令 2ｘ -1 =0 ,ｘ -2 =0 ,ｘ +1 =0 ,解得ｘ1=12 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=-1 .则上述三点把实数集合分为 4个区间 :( -∞ ,-1 ) ,〔 -1 ,12 ) ,〔12 ,2〕 ,( 2 ,+∞ ) .经考查 ,在〔12 ,2〕上 ,方程恒成立 ,因此原方程的实…     

也谈把"0"作为一个自然数

《数学通报》2 0 0 1年第 1期王尚志老师“为什么要把‘0’作为一个自然数”一文用浅显明白的语言阐述了把“0”作为自然数的“解释” ,但我们感觉 :若不用公理集合论的语言说明 ,似乎意犹未尽 ,下面谈谈我们对此问题的看法 .在公理集合论中 ,我们有如下公理 :Ⅰ外延公理 : ｘ ｙ( ｚ(ｚ∈ｘ ｚ∈ｙ) →ｘ=ｙ)即集合是由它的元素所唯一决定的 .Ⅱ空集存在公理 : ｙ ｘ(┐ (ｘ∈ｙ) )即存在一个集合 ,它没有元素 .据外延公理 ,这个集合是唯一的 ,我们将它记作 .Ⅲ二元集公理 : ｕ ｖ ｚ ｘ(ｘ∈ｚ ((ｘ=ｕ)∨ (ｘ=ｖ) )即对任意两集合ｕ和…     

平面向量在解题中的应用举例

由于向量既具有形象、直观的特点 ,又具有代数计算的严密、简捷的优势 ,因此在数学、物理学中有着广泛的应用 ,本文就其应用的常见几种类型举例如下 .1　讨论平面图形的性质利用向量方法讨论平面几何问题 ,使几何问题代数化 ,从而降低某些问题的求解难度 .图 1　例 1图例 1　证明三角形的三条高交于一点 .证　如图 1,设Ｈ为△ＡＢＣ中由Ａ ,Ｂ两点所作的高线的交点 ,ＨＡ =ｘ ,ＨＢ =ｙ ,ＨＣ =ｚ ,则ＡＢ =ｙ -ｘ ,ＢＣ =ｚ- ｙ ,ＣＡ =ｘ -ｚ ,由ＨＡ⊥ＢＣ ,ＨＢ⊥ＡＣ可得ｘ·(ｚ - ｙ) =0 ,ｙ·(ｘ -ｚ) =0 ,两式相加可得 :ｚ·(ｘ - …     

例谈培养学生思维的深刻性

思维的深刻性在思维品质中的地位尤为重要 ,许多文章已有专门讨论 .这里笔者想从自己的教学实际出发 ,通过几个具体的例子 ,来体现一下学生思维深刻性的培养 .1　从学生的巧解到柯西不等式的均值不等式证明　　在一次测试中 ,我们出了这样一道题 :已知 :ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ+且ｘ +ｙ+ｚ =1求证 :1ｘ +4ｙ +9ｚ ≥ 3 6有个学生给出了如下的证明 :∵ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ+　∴由均值不等式可有 :1ｘ +3 6ｘ≥ 1 2 ;4ｙ+3 6ｙ≥ 2 4;9ｚ+3 6ｚ≥ 3 6.三式相加整理即得　 1ｘ+4ｙ +9ｚ ≥ 3 6此法不同于其它证法 ,相当巧妙 !是否具有一般性 ?讲评时 ,笔者…     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

构造平均值不等式证明不等式

平均值不等式是一组很重要的不等式 ,在证明不等式中有着广泛的应用 ,许多轮换对称不等式都可以通过构造出平均值不等式而获得简捷的证明 ,构造平均值不等式的基本原则是按照“权值平衡法”去录求相匹配的式子 ;此处我们把各个因式取值的比重叫做“权值” ,比如 :ａ ｂ =1,则ａ ,ｂ的权值都是 12 ,而 1ａ 的权值是 2 ,ａ2 1ｂ 的权值就是 14 2 =94 等等 ,要正确使用平均值不等式 ,就必须使每一个因式的权值达到均衡相等 ,这就是构造的出发点和目标 :例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,且ｘ ｙ ｚ =1,求证 :ｘ4ｙ( 1- ｙ2 ) ｙ4ｚ( 1-ｚ2…     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

关于不等式证明的解题体会

不等式的证明之所以较难 ,首先是因为它往往与复数、三角函数等内容联系在一起 ,并且在解题过程中需要有较高的恒等变换技巧 .有时一个较简单的不等式经过这样或那样的变形 ,往往会变成一个不知如何下手的较难的题目 .这时该怎么办呢 ?一句话就是又将其变回去 .那么这就需要有敏锐的眼光 ,洞察出出题者的意图 .例 1　已知 ,ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,ｘ + ｙ +ｚ =1,求证 :ｘｙ + ｙｚ +ｘｚ - 2ｘｙｚ≤ 72 7.证明 1　由于左边式子次数不一致 ,故先变为一致 .即　 (ｘｙ + ｙｚ +ｘｚ) (ｘ + ｙ +ｚ) - 2ｘｙｚ =∑ｘ2 ｙ+ｘｙｚ .又因为　 1=(ｘ +…     

破常规巧解三元一次方程组

解三元一次方程组 ,最基本最常用的方法是 :代入法和加减法 .我在学习这部分内容时 ,发现课本上有两道题 ,可破常规巧解 .解方程组ｘ∶ｙ=3∶2 ,ｙ∶ｚ =5∶4,ｘ +ｙ +ｚ=6 6 .(义教《代数》第一册 (下 )Ｐ3 1Ｂ组 1 ( 1 ) )解析　原方程组中前两个方程只含两个未知数 ,可用“双代入法” ,即把这两方程中的两个未知数都用第三个未知数表示 ,然后代入到第三个方程中去求解 .解　原方程组可化为2ｘ -3 ｙ=04ｙ -5ｚ =0ｘ +ｙ +ｚ=6 6①②③由①得　ｘ =32 ｙ ④由②得　ｚ=45ｙ ⑤把④、⑤分别代入③得32 ｙ +45ｙ +ｙ=6 6 ,解得　ｙ =2 0 .把…     

求一类多元函数最值的公式

１　问题的提出例１　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．例２　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚ＋２ｘｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．文［１］利用带参数的均值不等式较为巧妙的求出了函数的最大值;文［２］利用双判别式法给出了这类问题的一种初等解法,拜读后获益匪浅．这类三元二次分式函数的最值问题在一些竞赛中曾以填空题的形式出现;倘若按部就班的以文［１］、［２］中的方法去求解,就显得“小题大作”．对求这类问题是…     

103 反函数

1　复习旧知 ,为“扩展建构”提供支撑点提问　函数中对应的类型 .试分析下列函数是什么类型的对应 ?① ｙ =2ｘ+1;② ｙ =ｘ2 ;③ ｙ =ｘ2 (ｘ ≥0 ) .板书对应的框图 :对应法则　一对一　　　多对一是否映射　　是　　　　　是　　　　图 1还有一种对应 ,如图 2 ,是一对多 ,就不是映射了 .函数 :Ⅰ是映射 ,ⅡＡ、Ｂ是非空数集 .函数三要素 :定义域、值域、对应法则 .图 22　把对应“逆过来”如何———一种扩展数学研究中 ,经常是 ,研究了原问题后 ,就会开始考虑它的逆问题 (这也是对原问题的深化的理解 ) .问 :把一个对应逆过来 (说明“逆过来”的意思 )后 ,对应的状况是怎样的呢 ?对应的法则又可用什么式子来表达呢 ?板书逆对应的框图 (图 3 ) :引导学生观察板书中的逆对应 ,讨论三个题目 :( 1)逆对应分别是什么类型的对应 ?( 2 )把 ｙ看成自变量 ,分别考察它们还是一个函数吗 ?( 3 )如果是函数 ,它们的定义域是什么 ?学生发现 :“一对一”对应的逆对应 ,仍是“一对一”对应 ;“多对一”对应的逆对应 ,成为“一对多”对应了 .说明 ,只有前者 ,对于ｙ在值域...     

反函数学习问答

反函数是中学数学中的一个重要内容 ,学习反函数时 ,如果对概念与定义内涵、性质的理解不深刻或有偏差 ,就会造成是非不清、知识错位 .下面以问答形式进行剖析 .1　函数ｘ =ｆ- 1( ｙ)和函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)是同一个函数 ,还是两个不同的函数 ?答 :是同一个函数 .因为函数定义域、值域及定义域到值域上的映射是函数三要素 .而对使用什么字母作自变量 ,什么字母表示函数并没有限制 .当没有指明函数的定义域时 ,一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合 .但是 ,如果将ｘ =ｆ- 1( ｙ)和 ｙ =ｆ- 1(ｘ)作为方程看 ,这两者一般就不是同一个方程…     

慎用图象解法

数形结合是重要的数学思想和方法 ,在解题中 ,恰当地利用几何图形来研究问题会显得十分直观 ,有时可避免繁复的数式计算 .但“直观”的主要作用是启迪思维、发现和提出猜想 ,一般来说 ,不能凭借直观得出结论 .不把“数”和“形”结合起来 ,只用“图象解法”常会使我们的解题陷入困境或导致错误 .例 1　若抛物线ｙ=ｘ2 ｍ与椭圆ｘ22 ｙ2 =1有四个不同的交点 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .(Ａ)ｍ >- 2 ;　　　　 (Ｂ)ｍ >- 1 78;(Ｃ) - 2 <ｍ <- 1 ;(Ｄ) - 1 78<ｍ <- 1 .错解　画出椭圆与抛物线的图形图 1 ,动抛物线 :ｙ=ｘ2 ｍ由ｙ=ｘ2 向下…     

2~m 阶幻方的生成

<正> 本文给出用生成矩阵来构造2~m 阶幻方的一般方法.它不仅能用于生成普通幻方,还能用于生成超幻性幻方,幻立方以及更一般的幻 n 方,稍加修改也可用来生成拉丁方和均匀分布伪随机数.§1.2~m 阶正规幻方及其幻性一个 n 阶正规幻方(以下简称幻方),就是在一个 n×n 的方阵中,对于数0到 n~2-1的一种安排,使得每行的和,每列的和以及两条主对角线的和都相等.对于 n=2~m 阶幻方,还可以使包括次对角线在内的所有对角线的和相等,这种性质称其为对角线幻性.既具有一般幻性,又具有对角线幻性的幻方,不妨称其为具有超幻性.图1就是具有超幻性     

依据“主要部分”判定函数的单调性

我们熟知ｙ=ｘ,ｙ=1ｘ,ｙ=ｓｉｎｘ等函数的单调性;不经运算就可判定ｙ=(12)ｘ-ｘ,ｙ=ｘ ｌｎｘ(ｘ>0),ｙ=ｘ ｓｉｎｘ(ｘ∈[0,π2])等函数的单调性,这是因为用加号连结的两个函数在其定义域内具有同样的单调性.但对诸如ｙ=ｘ 1ｘ,ｙ=2ｘ ｓｉｎｘ,ｙ=ｘｅ-ｘ等函数,就需要根据单调性的定义,通过运算来讨论.那么有没有避免讨论、简化运算的办法呢?对于上述例举的这一类函数来说,这种办法是有的.事实上,函数的单调性取决于“变化率”绝对值较大的所谓“主要部分”,而与“变化率”绝对值较小的所谓“其它部分”无关.比如ｙ=2ｘ ｓｉｎｘ的单调…     

幻和为24的三阶幻方到底有几个

<正>以正整数为元素(元素不重复),幻和为24的三阶幻方到底有几个?360网、新浪网、百度等网上都有类似的问题.笔者在文[1]论证得到制作三阶幻方的通法:"三阶幻方九宫数,一行中间最小数,二行中央中位数,三行最右二小数(第二小的数简称二小数),幻和中位三倍数(幻和是中位数的三倍),由此推出空格数."利用这一结论可以快速解决幻和为24的三阶幻方到底有几个的