直线系和曲线系

1　直线系若直线ｌ1:Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1=0与直线ｌ2 :Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 =0相交于Ｐ ,则ｌ1与ｌ2 的线性组合 (λ ,μ∈Ｒ ,且不全为零 )ｌ3 :λ(Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1) μ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0表示过Ｐ点的所有直线 ,称为过Ｐ点的直线系方程 .特别地 ,当λ =0时 ,ｌ3 成为ｌ2 ;当 μ =0时 ,ｌ3成为ｌ1.对于ｌ1,ｌ2 以外的直线 ,我们往往只在ｌ3 中保留一个参数 ,而使另一个为 1,即为ｌ4 :Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1 λ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0 .如果ｌ1与ｌ2 平行 ,这时ｌ3 表示与ｌ1平行的直线系方程 .例 1　求过直线ｌ1:2ｘ ｙ - 5 =0和…     

关于直线的对称问题

在涉及点或曲线关于直线对称的问题 ,一般运用中垂线的性质列出方程联立求解 .不过 ,此法一般运算量大 ,出错率高 .如果利用下述对称点坐标公式 ,则可简化求解过程 ,迅速得出结论 .设曲线ｃ:Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (ＡＢ≠ 0 )的对称曲线为ｃ′ ,点Ａ(ｘ ,ｙ)∈ｃ关于ｌ的对称点为Ａ′(ｘ′,ｙ′)∈ｃ′,则ｙ - ｙ′ｘ -ｘ′·(- ＡＢ) =- 1 ,又　 Ａ(ｘ ｘ′)2 Ｂ(ｙ ｙ′)2 Ｃ =0 ,解得 ｘ′ =ｘ Ａｔｙ′=ｙ Ｂｔ (其中ｔ =- 2 (Ａｘ Ｂｙ Ｃ)Ａ2 Ｂ2 ) (1 )于是 ,曲线ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂ…     

证明(两)曲线对称的一种方法

要证明曲线ｃ：ｆ（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ′就是ｃ;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ′的方程就是ｃ的方程,即只需证明ｃ′的方程就是ｆ（ｘ,ｙ）＝０．要证明两曲线ｃ１：ｆ１（ｘ,ｙ）＝０与ｃ２：ｆ２（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ１关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ１′就是ｃ２;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ１′的方程就是ｃ２的方程,即只需证明ｃ１′的方程就是ｆ２（ｘ,ｙ）＝０．我们把上面证明（两）曲线对称的方法叫同一法…     

点圆及点圆系的性质与应用

点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆Ｐ(ｘ0,ｙ0)的方程可记为(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2=0.由点圆Ｐ,直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=1,圆Ｍ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2=ｒ2(ｒ>0),可构成下列圆系:点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在圆Ｍ上,λ为非零实数,有圆系Ｄλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ[(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2]=0(1)点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在直线ｌ上,λ为非零实数,构造圆系Ｅλ:(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(2)直线ｌ与圆Ｍ相切于点Ｐ,λ为非零实数,构成圆系Ｆλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(3)下面给出Ｄλ,Ｅλ,Ｆλ的性…     

圆锥曲线关于某点对称的曲线方程的应用

马志良(1947—),男,浙江普陀人,浙江普陀高级教师圆锥曲线ｃ:ｆ(ｘ,ｙ)=0(1)关于点Ｐ(ｘ0,ｙ0)对称的曲线ｃ′的方程为:ｆ(2ｘ0-ｘ,2ｙ0-ｙ)=0(2)利用方程(2)可求曲线ｃ在点Ｐ(ｘ0,ｙ0)处的切线方程和圆锥曲线ｃ以Ｐ(ｘ0,ｙ0)为中点的弦所在的直线方程.(1)-(2),得ｆ(ｘ,ｙ...     

平面区域问题

在坐标平面上 ,一个二元方程Ｆ(ｘ ,ｙ) =0所表示的曲线Ｃ把平面上所有的点组成的集合Ｉ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ}分成三个子集 :1)Ｃ ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) =0 } ;2 )Ｃ1={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 } ;3)Ｃ2 ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 } .我们可以利用特殊点试验法来确定二元 (一次或二次 )不等式Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 (或Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 )所表示的平面区域 .1　直线划分的平面区域点Ｐ(ｘ ,ｙ)位于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0同侧时 ,α =Ａｘ Ｂｙ Ｃ的值的符号不变 ;位于异侧时 ,α的符号相反 .2　二次曲线划分的平面区域1)点Ｐ(ｘ ,…     

从点到直线的距离公式的推导谈起

在全日制普通高级中学教科书 (试验本 )《数学》第二册 (上 ) (1 997年 1 2月第 1版 )中 ,用向量方法推导了点到直线的距离公式 .本文用向量方法给出两种新的推导方法 ,并由此引发了对教材编写的一点建议 ,供讨论 .1　公式的推导已知 :Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ=0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ解法 1　设点Ｐ在ｌ上的射影为Ｑ(ｘ1,ｙ1) ,则ＰＱ⊥ｌ,因为直线ＰＱ的方向向量为ｖ→ =(Ａ ,Ｂ) ,所以ＰＱ→ =ｔｖ→ 　 (ｔ∈Ｒ)因此 (ｘ1-ｘ0 ,ｙ1-ｙ0 ) =ｔ(Ａ ,Ｂ) ,即 ｘ1=ｘ0 +Ａｔｙ1=ｙ0 +Ｂｔ又点Ｑ在ｌ上 ,所以Ａ(ｘ0 +Ａｔ) +…     

二次曲线一类定向问题的统一结论

《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]介绍一类定向问题 ,很有启发 ,但只限于某些标准方程 .笔者通过曲线系的研究可对这类问题给出更为一般的结论和证明 ,方法简捷明快 ,特介绍如下 .命题 1　常态二次曲线　Φ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ =0 ( )过原点作斜率互为相反数的两条直线ｌ1、ｌ2 ,交二次曲线Φ于Ｐ、Ｑ两点 ,则直线ＰＱ有定向 ,且ＫＰＱ=Ｄ/Ｅ(Ｅ≠ 0 ) ,若Ｅ=0时 ,则直线ＰＱ斜率不存在 ,此时ＰＱ的倾斜角为 90°.证　设ｌ1、ｌ2 和ＰＱ的方程分别为 :ｙ=ｋｘ,ｙ =-ｋｘ,ｙ=ｔｘ +ｍ(ｔ∈Ｒ ,ｍ≠ 0 )(若曲线Φ关于ｘ轴对称 ,Ｅ …     

点到直线距离的一种新求法

已知点Ｐ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ的值。全日制高中教材《平面解析几何》及成人中专教材《数学》都是通过“讨论”、“过Ｐ点作 ｙ轴的平行线”、“运用三角知识”导出ｄ的 ,笔者认为两教材的求法思路自然、灵活 ,也易为学生理解 ,但也有不足之处 ,如过多地依赖图形 ,出现了多次讨论等 ,本文将独辟蹊径 ,通过求函数最小值来导出ｄ的值 .众所周知 ,点Ｐ到直线ｌ的距离就是点Ｐ到直线ｌ上任一点Ｍ的距离的最小值ｄ .设Ｍ (ｕ ,ｖ)是直线ｌ上任意一点 ,则　 |ＰＭ|=(ｕ -ｘ0 ) 2 (ｖ -…     

直线分线段所成比的应用

在中学数学教学过程中,经常见到如下的练习题：设过两点Ｐ１（ｘ１,ｙ１）,Ｐ２（ｘ２,ｙ２）的直线与直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０相交于点Ｐ（不同于点Ｐ２）,则点Ｐ分Ｐ１Ｐ２所成的比λ为λ＝－Ａｘ１＋Ｂｙ１＋ＣＡｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃ①（λ可称为直线ｌ分Ｐ１Ｐ２...     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

关于抛物线的一个命题的再推广

文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1　常态二次曲线Φ :Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0上有一定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和异于点Ｐ的两动点Ｑ ,Ｒ ,则ｋＰＱ·ｋＰＲ=λ(≠ ＡＣ)为定值的充要条件是动直线ＱＲ恒过定点Ｍ (ｘ0 Φ1λＣ -Ａ,ｙ0- Φ2λＣ -Ａ) ;ｋＰＱ·ｋＰＲ =λ =ＡＣ 的充要条件是ｋＱＲ =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｄ ,Φ2 =Ｂｘ0 2Ｃｙ0 Ｅ) .证　作平移 :ｘ′ =ｘ -ｘ0 ,ｙ′ =ｙ - ｙ0 ,代入Φ(ｘ ,ｙ) =0得Ａｘ′2 Ｂｘ′ｙ′ Ｃｙ′2 Φ1ｘ′ Φ2 ｙ′ =0 (1)设Ｑ…     

函数的对称性与周期性的关系及应用

对称性和周期性是函数的两个重要性质 ,它们之间存在什么内在的联系呢 ?这是本文要探讨的问题 .定理　函数 ｙ =ｆ(ｘ)满足 ｆ(Ｔ ｘ) =ｆ(Ｔ -ｘ) (Ｔ为常数 )的充要条件是 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象关于直线ｘ =Ｔ对称 .证　设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｘ =Ｔ的对称点为Ｐ′ (ｘ1,ｙ1) ,则 ｙ1=ｙ0 ,Ｔ =ｘ0 ｘ12 ,即ｘ0 =2Ｔ -ｘ1.1 )充分性 :若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为 ｙ =ｆ(ｘ)的图象上任一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ｘ0 ) ,又因为 ｙ0=ｙ1,所以有 :ｙ1=ｆ(ｘ0 ) =ｆ(2Ｔ -ｘ1) =ｆ[Ｔ (Ｔ-ｘ1) ]=ｆ[Ｔ - (Ｔ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) .∴Ｐ′(ｘ1,ｙ1)也在函数 …     

思路要自然,过程要简捷——我谈点线距离公式的推导

求点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ =0的距离 ,一个很自然的思路是 :由点Ｐ向直线ｌ引垂线 ,求出垂足Ｑ的坐标 ,再用两点间的距离公式求出|ＰＱ| .这个方法 ,正如课本所说 ,运算很繁 .仔细分析上述方法 ,繁就繁在求垂足Ｑ的坐标 .我们能否批判性地沿用以上思路 ,回避求垂足Ｑ的坐标 ,让问题得以更方便地解决 ?我经过一番探究 ,得到了肯定的回答 .设垂足Ｑ的坐标为 (ｘ′ ,ｙ′) ,∵ＰＱ⊥ｌ,∴ｙ0 - ｙ′ｘ0 -ｘ′=ＢＡ(当Ａ≠ 0时 ) ,可设ｘ0 -ｘ′ =Ａｔ,ｙ0 -ｙ′ =Ｂｔ.∵Ａｘ′+Ｂｙ′ +Ｃ =0 ,　∴Ａ(ｘ0 -Ａｔ) +Ｂ(ｙ0-Ｂｔ…     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…     

巧求点分有向线段所成的比

例　过两点Ａ( - 3 ,2 )和Ｂ( 6,1)的直线与直线ｘ 3ｙ - 6=0交于点Ｐ ,求Ｐ分ＡＢ所成的比 .解法 1　 (定义法 )直线ＡＢ的方程为ｙ - 2 =1- 26 3(ｘ 3) ,即ｘ 9ｙ - 15=0 .将其与直线ｘ 3ｙ - 6=0联立可解得　ｘ =32 ,ｙ =32 ,即Ｐ的坐标为 ( 32 ,32 ) .从而λ =ＡＰＰＢ =ｘ 36-ｘ=1.解法 2　 (待定系数法 )设λ =ＡＰＰＢ,点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,则有　　　　ｘ =- 3 6λ1 λ ,ｙ =2 λ1 λ.　　∵Ｐ在直线ｘ 3ｙ - 6=0上 ,∴ - 3 6λ1 λ 3·2 λ1 λ- 6=0 ,解得λ =1.图 1　解法 3图解法 3　 (数形结合法 )如右图 ,显然Ｐ为内分点 …     

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

例谈复数在解析几何中的应用

1　圆锥曲线的旋转例 1　将椭圆 ｘ22 5 + ｙ29=1绕其左焦点按逆时针方向旋转 90°后得曲线Ｃ ,求曲线Ｃ的方程 .解　设Ｐ(ｘ1,ｙ1)为椭圆 ｘ22 5 + ｙ29=1上任意一点 ,旋转后所对应的点为Ｑ(ｘ ,ｙ) ,因椭圆左焦点为(- 4,0 ) ,则 (ｘ + ｙｉ) + 4=[(ｘ1+ ｙ1ｉ) + 4]ｉ,∴ ｘ1=ｙ - 4,ｙ1=ｘ + 4.∴ (ｙ - 4) 22 5 + (ｘ + 4) 29=1即为曲线Ｃ的方程 .图 1　例 2图例 2　正方形ＡＢＣＤ的一条边ＡＢ在直线 ｙ =ｘ+ 4上 ,Ｃ ,Ｄ在抛物线ｙ2 =ｘ上 ,求正方形的边长 .解　将抛物线及直线绕原点逆时针旋转 4 5° ,得抛物线方程 (ｙ -ｘ) 2 =2 (…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

圆锥曲线的三种伴随曲线

本文探讨了圆锥曲线的三种伴随曲线 ,从而揭示了圆锥曲线的几个有趣的性质 .引理 1 [1 ] 　关于ｘ、ｙ的二元一次方程(1 -ｅ2 )ｘ2 ｙ2 - 2ｐｘ ｐ2 =0(ｐ>0 ,ｅ >0 ) ①当ｅ=1时表示抛物线 ,当 0 <ｅ<1时和ｅ >1时分别表示以 ｐ1 -ｅ2 ,0为中心的椭圆和双曲线 .引理 2　过圆锥曲线①外一定点Ｑ(ｘ0 ,ｙ0 )引曲线①的两切线ＱＭ和ＱＮ ,则两切点Ｍ、Ｎ所在的直线方程为1 -ｅ2 ｘ0 -ｐ ｘ ｙ0 ｙ ｐ2 -ｐｘ0 =0 ②证明　设Ｍ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则得两切线方程 :ＱＭ :(1 -ｅ2 )ｘ1 ｘ ｙ1 ｙ -ｐ(ｘ1 ｘ) ｐ2 =0 ,ＱＮ :(1 -…