一道竞赛题的巧妙解法

第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题的第６题是：图１　　　　　　　　　图２如图１，有一条河，有两个工厂Ｐ和Ｑ位于河岸ｌ（直线）的同一侧，工厂Ｐ和Ｑ距离河岸ｌ分别为１０千米和８千米．两个工厂的距离为１４千米．现在要在河岸工厂一侧选一点Ｒ，在Ｒ处修建一个水泵站，从Ｒ修直线输水管分别到两个工厂和河岸，使直线输水管的总长最小，请确定出Ｒ的位置，并分别求出水泵站Ｒ到两个工厂和河岸的三个距离．运用费马点，笔者得到该命题的巧解．解　要使输水管总长（设为Ｓ）最小，则Ｒ到河岸ｌ的输水管必垂直ｌ于Ｄ，且Ｒ是△Ｐ…     

从点到直线的距离公式的推导谈起

在全日制普通高级中学教科书 (试验本 )《数学》第二册 (上 ) (1 997年 1 2月第 1版 )中 ,用向量方法推导了点到直线的距离公式 .本文用向量方法给出两种新的推导方法 ,并由此引发了对教材编写的一点建议 ,供讨论 .1　公式的推导已知 :Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ=0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ解法 1　设点Ｐ在ｌ上的射影为Ｑ(ｘ1,ｙ1) ,则ＰＱ⊥ｌ,因为直线ＰＱ的方向向量为ｖ→ =(Ａ ,Ｂ) ,所以ＰＱ→ =ｔｖ→ 　 (ｔ∈Ｒ)因此 (ｘ1-ｘ0 ,ｙ1-ｙ0 ) =ｔ(Ａ ,Ｂ) ,即 ｘ1=ｘ0 +Ａｔｙ1=ｙ0 +Ｂｔ又点Ｑ在ｌ上 ,所以Ａ(ｘ0 +Ａｔ) +…     

数学问题解答

20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6　设ｍ >0 ,ｎ >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα≥ (ｍ23 ｎ23) 32 .(江苏省灌云县中学　朱兆和　 2 2 2 2 0 0 )证明　设点Ｐ的坐标为 (ｍ ,ｎ) ,直线ｌ过点Ｐ ,倾角为π-α ,ｌ与ｘ、ｙ轴的正半轴分别交于点Ａ、Ｂ(如图 ) .则 ｜ＰＡ｜ =ｎｓｉｎα,｜ＰＢ｜ =ｍｃｏｓα则 ｜ＡＢ｜ =｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜=ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα .又设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则直线ｌ的方程为 ｘａ ｙｂ =1 ,ｌ过Ｐ(ｍ ,ｎ) ,所以 ｍａ ｎｂ =1 .｜ＡＢ｜2 =ａ2 ｂ2 =(ａ2 ｂ2…     

一道流行应用题的创新解法

下面是一道流行应用题： 如图1，一条河宽1千米，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4千米，今需铺设一条电缆连结AB，已知地下电缆的修建费是2万元／千米，水下电缆的修建费是4万元／千米，假设河两岸是平行的直线，同应如何铺设电缆可使施工费用最省？     

关于圆的一类重要性质

圆是平面几何及平面解析几何研究的最基本、最重要的曲线 ,它具有许多优美、和谐的性质 ,本文借助直线的参数方程这个工具 ,探讨一类具有广泛性的圆的定值问题 ,其结论是如下的几个定理 .定理 1　设Ｐ是半径为Ｒ的圆Ｏ内任意一点 ,过点Ｐ任意引ｎ(ｎ≥ 2 )条直线ｌ1,ｌ2 ,… ,ｌｎ,如果这ｎ条直线相邻两条所成的角都为 πｎ ,且第ｉ条直线ｌｉ交圆于Ｍｉ,Ｍ′ｉ 两点 (ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,那么∑ｎｉ =1(｜ＰＭｉ｜2 +｜ＰＭ′ｉ｜2 )是与Ｐ点无关的定值 2ｎＲ2 .定理 2　设Ｐ是半径为Ｒ的圆Ｏ内任意一点 ,且｜ＯＰ｜=ｒ(ｒ <Ｒ) ,过点Ｐ任…     

点到直线距离的一种新求法

已知点Ｐ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ的值。全日制高中教材《平面解析几何》及成人中专教材《数学》都是通过“讨论”、“过Ｐ点作 ｙ轴的平行线”、“运用三角知识”导出ｄ的 ,笔者认为两教材的求法思路自然、灵活 ,也易为学生理解 ,但也有不足之处 ,如过多地依赖图形 ,出现了多次讨论等 ,本文将独辟蹊径 ,通过求函数最小值来导出ｄ的值 .众所周知 ,点Ｐ到直线ｌ的距离就是点Ｐ到直线ｌ上任一点Ｍ的距离的最小值ｄ .设Ｍ (ｕ ,ｖ)是直线ｌ上任意一点 ,则　 |ＰＭ|=(ｕ -ｘ0 ) 2 (ｖ -…     

新题征展(18)

Ａ　题组新编 １．已知ｆ（ｘ）＝　满足ｆ（０）＋ｆ（４）＝Ｆ（ａ＋３）,（１）求ａ的值;（２）当ｆ～（－１）（２Ｘ）＋１＞ｋｆ～（－１）（ｘ）恒成立时,求ｋ的取值范国;（３）若三个互不相等的正数ｍ、ｎ、ｔ成等比数列,问ｆ（ｍ）、ｆ（ｎ）、ｆ（ｔ）能否成等差数列？ ２．设双曲线　　＝１（ａ＞０,ｂ＞０）的 右顶点为Ａ,Ｐ是双曲线上的一个动点（异于顶点）,从Ａ引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 ＯＰ分别交于Ｑ和Ｒ两点,则 （１）｜ＯＱ｜、｜ＯＰ｜、｜ＯＲ｜成＿数列; （２）｜ＯＱ｜＋ ｜ＯＲ｜—２｜ＯＰ｜…     

点到直线距离公式的推广及应用

若点Ｐ(ａ ,ｂ)是直线λ1ｘ +λ2 ｙ +λ3 =0(λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ)上一点 ,则ｄ =|λ1ａ +λ2 ｂ +λ3 |λ21+λ22,这是众所周知的 ,由它可得性质　若ａ ,ｂ ,λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ ,且λ1ａ +λ2 ｂ +λ3 =0 ,则λ23 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (λ21+λ22 ) .证　构造直线ｌ:λ1ｘ +λ2 ｙ +λ3 =0 ,显然点Ｐ(ａ ,ｂ)在直线ｌ上 ,原点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ =|λ3 |λ21+λ22,原点Ｏ与点Ｐ之间的距离为 |ＰＯ| =ａ2 +ｂ2∵ｄ≤ |ＰＯ| ,∴ |λ3 |λ21+λ22≤ａ2 +ｂ2 .故　λ23 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (λ21+λ22 ) .推论　若λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ ,且λ1+λ2 +λ3=0…     

两异面直线间距离的简捷公式及应用

受文［１］的启发,我们惊喜地发现两异面直线间距离可用一个对称、简捷公式给出,即有定理　如图１,ｌ１、ｌ２是异面直线,ｌ２平面α,ｌ１∩α＝Ａ,ｌ１在α在内的射影为ｌ,若ｌ２∩ｌ＝Ｂ,且ｌ１、ｌ２与ｌ所成的角分别为θ１、θ２,ＡＢ＝ｍ,则ｌ１、ｌ２间的距离ｄ＝ｍｃｓｃ２θ１＋ｃｓｃ２θ２－１（）图１ＤｌＣ′１ｌＣａ１θｍＡ２θ２ｌＢα证明　在ｌ１上任取一点Ｃ（异于Ａ）,作ＣＣ′⊥α,垂足为Ｃ′,则Ｃ′∈ｌ,在α内作ＡＤ∥ｌ２且使ＡＤ＝ＡＣ＝设ａ,则ｌ２∥平面ＡＣＤ,∴ｌ１与ｌ２的距离ｄ等于ｌ２…     

一个旋转体体积计算公式

定理 1　凸ｎ边形面积为ｓｎ,直线ｌ不与其相交 ,ｎ边形重心Ｇｎ,到ｌ的距离记为ｄｎ,那么该凸ｎ边形绕直线ｌ旋转一周 ,所得几何体的体积为 :Ｖｎ=2πｄｎｓｎ.图 1　定理 1图证　ｎ =3时 ,如图过△Ａ1Ａ2 Ａ3 的顶点Ａ1作直线ｌ的垂线为ｘ轴 ,直线ｌ为ｙ轴 ,建立直角坐标系 .并设Ａ1(ｘ1,0 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3 (ｘ3 ,ｙ3 ) .又过Ａ2 ,Ａ3 分别作ｙ轴的垂线 ,这样△Ａ1Ａ2 Ａ3绕ｌ旋转 ,所成的几何体的体积是两个圆台体之和 ,再减去一个圆台的体积 .根据圆台体积计算公式 :Ｖ3 =π3·(ｙ3 -ｙ2 ) (ｘ23 ｘ22 ｘ3 ｘ2 ) π3·ｙ2 (…     

不可及点的三种作法

我们先来看一个问题 :图 1如图 1,ａ、ｂ是已修好的两条铁路 ,铁路的前方是尚未开辟的小山丘 .现要经过工厂Ｐ增筑一条铁路 .使在山丘开辟后 ,能与ａ、ｂ两铁路相会于一点 .请你确定这条铁路的位置 .这个问题看起来有点玄 .其实是要过Ｐ作一条直线 ,使它经过已知直线ａ、ｂ的交点Ｑ .由于Ｑ点现在不能作出 ,用尺规也接触不到 ,我们称Ｑ点为不可及点 .但我们可用三种方法作出这不可及点Ｑ ,以解决上面的问题 .图 2作法 1　利用三角形三条高相交于一点的性质 ,即过Ｐ作ａ的垂线 ,和ａ、ｂ分别交于Ｄ、Ｂ .同样 ,过Ｐ作直线ｂ的垂线 ,和ａ、ｂ…     

圆的教与学研究

７．１　圆（精讲式）一、精讲点拨填空：（１）圆是平面内到的距离等于的点的集合．决定圆的位置,决定圆的大小．（２）经过的三个点,确定一个圆．（３）三角形的的圆心,叫做三角形的外心,它是三角形的交点,外心到三角形的距离相等．（４）设圆Ｏ的半径Ｒ,点Ｐ到圆心Ｏ的距离为ｄ,若点Ｐ在圆内,则ｄ＜ｒ;若点Ｐ在,则ｄ＝ｒ;若点Ｐ在圆外,则．二、议练活动１．填空（１）如果一个直角三角形的两条直角边分别是３ｃｍ、４ｃｍ,那么它的外心是斜边的,外接圆半径是ｃｍ．（２）直线ＡＢ与⊙Ｏ交于Ａ、Ｂ两点,且ＡＢ长为２２,点…     

双曲线的新性质

双曲线的新性质孔繁秋（福建厦门市禾山中学）１９８５年高考有这样一道试题：已知两点Ｐ（－２，２）、Ｑ（０，２）及直线ｌ：ｙ＝Ｘ．设长为的线段ＡＢ在ｌ上移动（如图），求直线ＰＡ、ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．所隶轨迹是双曲线１．Ｐ、Ｑ...     

求代数式最大（最小）值的基本原理

在高三复习课中 ,学生对以下例 1的解法提出疑问 .　图 1　例 1图例 1　 (1997年全国高考理科第 (2 5)题 )设圆满足 :①截 ｙ轴所得弦长为 2 ,②被ｘ轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为 3∶1,在满足①②的所有圆中 ,求圆心到直线ｌ:ｘ- 2 ｙ =0的距离最小的圆的方程 .解　如图 1,设圆心为Ｃ(ａ ,ｂ) ,半径为Ｒ ,由条件①可得ａ2 12 =Ｒ2 ,由条件②得∠ＡＣＢ =90° ,得Ｒ2 =2ｂ2 ,两式消去Ｒ ,得2ｂ2 -ａ2 =1(1)设圆心Ｃ到直线ｌ:ｘ - 2 ｙ =0的距离为ｄ ,则ｄ=|ａ - 2ｂ|12 2 2 =55|ａ - 2ｂ| (2 )问题变为求ｄ取到最小值时ａ ,ｂ的值 .将 (…     

一个几何极值问题

如图 1 ,在河岸ａ同侧有两个村庄Ａ ,Ｂ ,要在河边Ｃ处建一水泵站 ,并沿ＣＰＡＢ的路线铺设水管 ,怎样选择Ｐ ,Ｃ两点可使所用的水管总长最短 ?因为ＰＣ⊥ａ ,关键是确定Ｐ点的位置 .因而问题可以简述为 :Ａ ,Ｂ是直线ａ同侧两点 ,在平面上求一点Ｐ ,使Ｐ到Ａ ,Ｂ及直线ａ的距离之和最小 .以下称这一问题为问题Ｌ .设Ａ ,Ｂ在ａ上的射影是Ｄ ,Ｅ ,ＡＤ=ｐ ,ＢＥ=ｑ ,ＤＥ =ｓ.恒设ｑ≥ｐ>0 ,ｓ>0 .如图 2 ,取Ｄ为原点 ,直线ａ为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ(0 ,ｐ)Ｂ(ｓ,ｑ) .作ＡＥ′∥ＤＥ .交ＢＥ于Ｅ′ .显然 ,若Ｐ是问题Ｌ的最小值点 ,则…     

二次曲线一类定向问题的统一结论

《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]介绍一类定向问题 ,很有启发 ,但只限于某些标准方程 .笔者通过曲线系的研究可对这类问题给出更为一般的结论和证明 ,方法简捷明快 ,特介绍如下 .命题 1　常态二次曲线　Φ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ =0 ( )过原点作斜率互为相反数的两条直线ｌ1、ｌ2 ,交二次曲线Φ于Ｐ、Ｑ两点 ,则直线ＰＱ有定向 ,且ＫＰＱ=Ｄ/Ｅ(Ｅ≠ 0 ) ,若Ｅ=0时 ,则直线ＰＱ斜率不存在 ,此时ＰＱ的倾斜角为 90°.证　设ｌ1、ｌ2 和ＰＱ的方程分别为 :ｙ=ｋｘ,ｙ =-ｋｘ,ｙ=ｔｘ +ｍ(ｔ∈Ｒ ,ｍ≠ 0 )(若曲线Φ关于ｘ轴对称 ,Ｅ …     

锥线直角弦上点轨迹的统一讨论

欲求圆锥曲线上一点对其所对直角弦上射影的轨迹，有一种统一的解法，且解法简捷明快，思路清晰，今介绍如下．引理直线ｌ：ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０与常态二次曲线Φ：Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０的两个交点为Ｑ和Ｒ，Ｏ为原点，ＯＱ⊥ＯＲ的充要条件为（Ａ＋...     

转换思维,打破定势——析两道抛物线的试题

解析几何问题常可一题多解，尤其是牵涉到抛物线的题目，其处理方式不同，可能繁简大相径庭，因此，我们要充分考虑到问题的特征，在解题时，多收集信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略，我们在解题时，还要学会转换思维打破定势，下面便是两道典型例题．例１　设直线ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０与抛物线ｙ２＝４ａｘ（ａ＞０）相交于点Ｐ，Ｑ，Ｆ为抛物线的焦点．直线ＰＦ，ＱＦ交抛物线于点Ｒ，Ｓ，如图所示，求直线ＲＳ的方程．分析：常规思路是联立方程组ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ｙ２＝４ａｘ从而求出ＰＱ两点坐标，再求ＰＦ，ＱＦ两点的方程，…     

关于等差数列的两个不等式

文 [1]中给出了涉及ｎ的两个新颖不等式 :2ｎ 116ｍ 12 - 2ｎ 116ｍ - 12 ≤ 1ｎ<2ｎ 12 - 2ｎ - 12 ( 1)(其中ｎ ,ｍ为正整数 ,ｍ≤ｎ)2ｎ 23ｎ - 2 (ｎ - 1) 23ｎ - 1≤ｎ <4ｎ 36 ｎ - 4(ｎ - 1) 36 ｎ - 1( 2 )(其中正整数ｎ >1) .本文试把这两个不等式从自然数列推广到正等差数列 {ａｎ},得到涉及 ａｎ的两个不等式 ,并举例说明其应用 .定理 1　设 {ａｎ}为等差数列 ,首项ａ1 >0 ,公差ｄ >0 ,ｎ ,ｍ为正整数 ,ｍ≤ｎ ,则2 ａｎ ｄ216ａｍ ｄ2 -ａｎ ｄ216ａｍ- ｄ2≤ ｄａｎ<2 ａｎ ｄ2 -ａｎ- ｄ2 ( 3)当且仅当ｎ…     

“异面直线上两点间距离公式”教学探微

“异面直线上两点间距离公式”教学探微２０１５００上海市金山县中学戴丽萍现行高中课本《立体几何》（全一册）Ｐ４２上通过例２：已知两条异面直线ａ，ｂ所成的角为θ，它们的公垂线段ＡＡ’的长度为ｄ，在直线ａ，ｂ上分别取点Ｅ，Ｆ，设Ａ’Ｅ＝ｍ，ＡＦ＝ｎ，求ＥＦ...