高考命题设计思路探析——深入研究陈题 寻找新的命题点

1 深入研究陈题 我们先看一道陈题： 问题1 已知实数a，b，c，d满足：a〈b，c〈d，（a—c）（c-d）=1，（b—c）（b—d）=1．贝4a，b，c，d的大小关系是——（用“〈”连接）．     

对一道数学题的分析与反思

题目已知二次函数f（x）对任意x∈R都有f（1-x）=f（1＋z）成立．设向量a=（sin x,2）,b=（2sinx,2^-1）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）．当x∈[0,π]时,求不等式f（a·b）〉f（a·d）的解集．     

关于“一组有趣的数字”的进一步探讨

王世强教授在文[1]中介绍了这样一组有趣的数字：若 a=123789,b=561945,c=642864; d=242868,e=323787,f=761943． 则有 a＋b＋c=d＋e＋f及a^2＋b^2＋c^2=d^2＋e^2＋f^2（＊）把a,b,c,d,e,f的最高1位,2位,3位,4位,5位数字依次去掉后,仍有（＊）式成立．     

一道习题引发对减元策略的探究

问题提出 已知对任意实数r,二次函数f（x）=ax2＋bx＋c恒非负,若a〈b,则M=a＋b＋c/b-a的最小值等于____．     

提炼解法编制新题

笔者在一本竞赛书上看到了如下一道题． 问题1 设a,b,c为正实数,1〈a,b,c〈2,求证：（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）〈81/8. 此题形式新颖,十分有趣,笔者经过思考,得到如下证法。     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

一个不等式的推广

文[1]给出了不等式：设a、b、c为正数,且a＋b＋c=1,则有（1/a＋b-c）（1/a＋c-b）（1/b＋c-a）≥（7/6）^3,当且仅当a=b=c=1/3时等号成立．     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式：设a，b，c为正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3, （1/b＋c-a）（1/c＋a＋b）（1/a＋b＋c）≥（11/6）^3。 为了推广这两个不等式，文[1]提出下面四个命题，要求证明或否定之．     

不等式中的一对姐妹花

若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有（1/b＋c -a）1/c＋a-b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3当且仅当a=b=c=1/3时取等号。     

On the generalization of the D. H. Lehmer problem

Let n ≥ 2 be a fixed positive integer, q ≥ 3 and c be two integers with （n, q） = （c, q） = 1. We denote by rn（51, 52, C; q） （δ 〈 δ1,δ2≤ 1） the number of all pairs of integers a, b satisfying ab ≡ c（mod q）, 1 〈 a ≤δ1q, 1 ≤ b≤δ2q, （a,q） = （b,q） = 1 and nt（a＋b）. The main purpose of this paper is to study the asymptotic properties of rn （δ1, δ2, c; q）, and give a sharp asymptotic formula for it.     

用诗定系数法将分母有理化

在高等代数里，作为对称多项式的应用，研究了根指数不同的分母有理化问题，但其运算过程麻烦，本文给出一个简单的方法．例1把下列各式的分母有理化分析（1）为了达到分母有理化的目的，只要能找到非零常数B（分母不含根式），使得B为一有理数即可．由于、3组成的所有乘积项（包括自乘）只有这样的三项：（其中a、b、c为有理数），于是可设：再由B为有理数，确定出一组有理数a、b、c的值即可．解（1）设B=（a、b、c为有理数），则不妨取a=1，可得b=2，c=1．有理数），则取b=1，可得故用待定系数法分母有理化的关键是抓住分母中的各项，能…     

一道不等式试题的探究

一、问题提出 已知a,b,c∈R^＋且a＋b＋c=2． （1）求证：√a（2-a）≤9^-4√6;     

数学问题解答北大核心

2018年5月号问题解答（解答由问题提供人给出） 2421已知a,b,c,d∈R^＋,且a＋b＋c=3,求证： 2（4√a＋4√b＋4√c）＋3≥3（ab＋bc＋ca）． （安徽省六安第二中学 陶兴红 237005）     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

一个最值问题的探究

问题1已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（b〉a）对于任意实数x都有f（x）≥0,求a＋b＋c/b-a的最小值．     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有： （1/b＋c -a）（1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

分式线性递归数列的通项求法

定义1 由递推公式an＋1=aan＋b/can＋d（c≠0,且ad-ba≠0）及初始值a1=p确定的数列，称为分式线性递归数列．     

一道第31届IMO预选题的推广

设a,b，c，d∈R^＋，且ab＋bc＋cd＋da=1，求证： a^3/b＋c＋d＋b^3/c＋d＋a＋c^3/d＋a＋b＋d^3/a＋b＋c≥1/3① 这是第31届IMO的一道预选题，本文对此不等式进行一些推广．     

妙求“y=A/a＋bx＋ B/c-dx”型最值

我们常遇到下面的问题：求函数y=A/a＋bx＋ B/c-dx（a,b,c,d,A,B∈R^＋,0〈x〈c/d）的最值. 其实这类问题的解法很多,如：换元法、函数、均值不等式、导数、柯西不等式等,但经过更深入的探究发现,下面两种解法解决此题更有独到之处．     

一个不等式的简证

文[1]用高等数学的方法证明了如下不等式： 设a，b，c〉0，a＋b＋c=1，则 （1/a-a）（1/b-b）（1/c-c）≥（8/3）^3 ① 很多文献给出了①的初等证法，但都比较难．下面给出一个简单证明．