涉及双中值点存在性的一道习题的另证

有别于一般文献所使用的构造辅助函数方法,针对在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,且满足f （0）＝0,f （1）＝1的函数 f （x）,先用反证法可证,存在 a ,b ∈（0,1）,使得 f′（a）＜1＜ f′（b）,进而利用导函数的介值性可证,存在ξ,η∈（0,1）,使得 f′（ξ） f′（η）＝1（ξ≠η）。     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…     

一个二阶三点边值问题的可解性

本文考虑如下这位问题：x″＝f（t，x，x′）（0＜t＜1），x（0）＝0，x（ξ）＝x（1），其中ξ∈（0，1）是给定的．利用基于度理论的一定不动点定理，得到了以上过值问题有解的某些充分条件     

关于积分中值定理的中间值

我们知道有下面的 Riemann积分中值定理(见 [1 ,P.1 0 6]) :如 f(x)在 [a,b]上连续 ,那么存在ξ∈ [a,b],使∫baf (x) dx =f(ξ) (b - a) (1 )1 982年 ,Jacobson[2 ]研究了中间点ξ的渐近性质 .他证明了定理 A　如 f(t)在 [a,x]上连续 ,在 a点可微且 f′(a)≠ 0 ,ξx 由 (1 )式所确定 ,那么limx→ aξx - ax - a=12 .1 997年 ,Zhang[3]推广了定理 A,他得到定理 B　设 f (t)在 [a,x]上连续 ,且在 a点 k次可微 ,满足 f( i) (a) =0 ,(i =1 ,2 ,...,k - 1 ) ,f( k) (a)≠ 0 .如ξx由 (1 )式所确定 ,那么 limx→ aξx - ax - a= 1k k 1 .本文…     

与自然数有关的几个定理的应用

使用下列几个定理（证明都很简单，在此从路），可简捷地论证几类与自然数有关的题目．定理1若k、n∈N，f（n）与g（n）满足f（1）＝g（1）且f(k 1）-F(k)=g（k＋1）－g（k），则有f（n）=g（n）．定理2若k、n∈N，xn=f（n）－g（n）且{xn}单调速增（或递减），且f(1)－g（1）＞0（或f（1）－g（1）〈0），则f（n）＞g（n）（或f（n）＜g（n））．定理3若k、n∈N，f(n)与g（n）不为零，f(n)与g（n）满足f(1)=g（1）且f（n－1）g（n－1）,则f(n)=g(n)。定理4若k、nEN，有正值函数人n）与＿，＿、＿。j（k）＿g（k），。。。＿。g（n）满足…     

积分中值定理中ξ值的渐近性

本文给出当b→a时积分的第一中值定理integral from a to b f(x)dx=f(ξ)(b—a)的中值ξ的性态。即当f’(a)≠0时有而当f′(a)=f″(a)=…=f~(n-1)(a)=0,F~(n)(a)≠0时有积分第一中值定理推广形式integral from a to b f(x)g(x)dx=f(ξ) integral from a to b g(x)dx的中值ξ也具有类似的性态。     

再谈柯西中值定理

将柯西中值定理改叙并证明之：如果f(x)和F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F（a)≠F(b),则在（a,b)内至少存在一点ξ,使f′（ξ）=f(b)-f(a)/F(b)-F(a) F′（ξ），进一步地，若F′（ξ）≠0,则有f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f′（ξ)/F′（ξ）。     

某些中值命题证明中之辅助函数构造的一种方法

在利用罗尔定理证明某些中值命题时，往往要构造一个辅助函数。对于构造性证明，跨度大，学生不易掌握，是教学活动中的一个难点。本文试图通过解一些简单的微分方程，构造出所需要的辅助函数，这种方法对只用一次罗尔定理的中值命题特别有效。罗尔定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b），则至少有一各ξ∈（a，b），使得：f（ξ）=0。既然罗尔定理是研究某个函数导数的中值特性，很自然我们有必要了解它原来的函数是什么？而这恰好是解微分方程最原始的思想，因此，对这类中值命题，为了构造相应的辅助函数…     

关于一道IMO函数方程试题的再推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f（f（n））＝n＋1987[1]．沈华老师[2]将上述试题推广为下面的定理：定理1设m为自然数，存在函数f:N→N，使得每个n∈N，均有f（f（n））＝n＋m的充要条件是m为偶数．但其证明有一处小的疏漏（见［2］中证明的（2）式）．本文我们首先完善定理1的证明，并给出当m为偶数时满足条件的函数f：N→N的构造与个数．定理1的证明对任何m∈N，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f（f（f（n））））＝f（n）＋m．进而由归纳假设易证：对非负整数k，均…     

中值命题的证明技巧

所谓“中值命题”是指与微分中值定理相关的一些命题。这些命题证明的技巧性强，是学习高等数学的难点之一。但是，如果按所证结论对这些命题进行分类，则中值命题不外乎三种类型，且同一类型的证明技巧基本相同。一、证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0证明这类命题的基本方法是：验证f（x）在[a，b]或其子区间上满足Rolle定理条件，由Rolle定理即可得命题的证明；个别命题用Taylor公式证明。例1至已知f（）在［a，hi区间上连续，在（a，的内卢（x）存在，又连结A（a，f（》，B（b，人的）两点的直线交曲线y一f（）于C（c，…     

RECENT PROGRESS ON SPHERICAL HARMONIC APPROXIMATION MADE BY BNU RESEARCH GROUP ——In memory of Professor Sun Yongsheng

As early as in 1990, Professor Sun Yongsheng, suggested his students at Beijing Normal University to consider research problems on the unit sphere. Under his guidance and encouragement his students started the research on spherical harmonic analysis and approximation. In this paper, we incompletely introduce the main achievements in this area obtained by our group and relative researchers during recent 5 years （2001-2005）. The main topics are： convergence of Cesaro summability, a.e. and strong summability of Fourier-Laplace series; smoothness and K-functionals; Kolmogorov and linear widths.     

Instructions for Authors

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THE 8~(th) INTERNATIONAL CONGRESS ON INDUSTRIAL AND APPLIED MATHEMATICS

正August 10-14,2015Beijin,China The International Congress on Industrial and Applied Mathematics(ICIAM)is the premier international congress in the field of applied mathematics held every four years under the auspices of the International Council for Industrial and Applied Mathematics.From August 10 to 14,2015,mathematicians,scientists     

Boundedness for commutators of multipliers on Hardy type spaces

In this paper, we study the commutators generalized by multipliers and a BMO function. Under some assumptions, we establish its boundedness properties from certain atomic Hardy space Hb^p（R^n） into the Lebesgue space L^p with p 〈 1.     

A unified approach to certain problems of best local approximation

In this paper we study best local quasi-rational approximation and best local approximation from finite dimensional subspaces of vectorial functions of several variables. Our approach extends and unifies several problems concerning best local multi-point approximation in different norms.     

Towards Excellence in Science Chinese Academy of Sciences

<正>May 26,2014,Beijing Science is a human enterprise in the pursuit of knowledge.The scientific revolution that occurred in the 17th Century initiated the advances of modern science.The scientific knowledge system created by     

THE 8~(th) INTERNATIONAL CONGRESS ON INDUSTRIAL AND APPLIED MATHEMATICS

<正>August 10-14,2015Beijing,ChinaThe International Congress on Industrial and Applied Mathematics(ICIAM)is the premier international congress in the field of applied mathematics held every four years under the auspices of the International Council for Industrial and Applied Mathematics.From August 10 to 14,2015,mathematicians,scientists     

Bounds for the zeros of polynomials

Let P(z)=∑↓j=0↑n ajx^j be a polynomial of degree n. In this paper we prove a more general result which interalia improves upon the bounds of a class of polynomials. We also prove a result which includes some extensions and generalizations of Enestrǒm-Kakeya theorem.