竖梯的局部替换图的L(d,1,1)-标号

图的L(d,1,1)-标号定义为顶点集V(G)到非负整数集的映射f,且当d(u,v)=1时,均有|f(u)-f(v)|≥d,当d(u,v)=2,3时,均有|f(u)-f(v)|≥1.不妨设0为最小标号,则称图G的所有L(d,1,1)-标号中的最大跨度max{f(v):v∈V(G)}的最小数为图的L(d,1,1)-标号数,记为λ_d(G).基本给出了竖梯的局部替换图的L(d,1,1)-标号数的确切值或界.     

点接手镯图的L(1,1,1)-标号

图的L(1,1,1)-标号定义为顶点集V(G)到非负整数集的映射f,且当d(u,v)=1,2,3时,均有|f(u)-f(v)|≥1.不妨设0为最小标号,则称图G的所有L(1,1,1)-标号中的最大跨度f(v)的最小数为图的L(1,1,1)-标号数,记为λ(G).基本给出了点接手镯图的L(1,1,1)-标号数的确切值.     

图的L(3,2,1)-标号

无向图G的L(3,2,1)-标号是指从顶点集V(G)到非负整数集Z*的一个映射,满足:对i=1,2,3,只要dG(x,y)=i,则f(x)-f(y)|≥4-i.若一个L(3,2,1)-标号中的所有像元素都不超过整数k,则称之为k-L(3,2,1)-标号.图G的L(3,2,1)-标号数,记作3λ(G),是使得图G存在k-L(3,2,1)-标号的最小整数k.文中给出了路、圈、树等特殊图的L(3,2,1)-标号数,并给出了一般图的L(3,2,1)-标号数的一个上界.     

关于图的L(d,1)-标号问题

图G的L(2,1)-标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x),使得若d(x,y)=1,则|f(x)-f(y)|≥2;若d(x,y)=2,则|f(x)-f(y)|≥1.图G的L(2,1)-标号数λ(G)是使得G有max{f(v)v∈V(G)}=k的L(2,1)-标号中的最小数k.Griggs和Yeh猜想对最大度为△的一般图G,有λ(G)≤△2.此文研究了作为L(2,1)-标号问题的推广的L(d,1)-标号问题,并得出了平面三角剖分图、立体四面体剖分图、平面近四边形剖分图的L(d,1)-标号的上界,作为推论证明了对上述几类图该猜想成立.     

弦图的L(3,2,1)}-标号

图 G 的一个 L(3,2,1)- 标号是指从 V(G) 到非负整数集的一个映射 f, 满足: 当 d_G(u,v)=1 时, |f(u)-f(v)|\geq 3; 当 d_G(u,v)=2 时, |f(u)-f(v)|\geq 2; 当 d_G(u,v)=1 时, |f(u)-f(v)|\geq 1. L(3,2,1)-标号问题就是确定出最小的整数 \lambda_3(G) 使得 G存在最大标号不超过该数的 L(3,2,1)- 标号. 本文研究了弦图的 L(3,2,1)- 标号问题,获得了弦图及其一些子类, 如扇, r- 路,r- 树等的 \lambda_3 数的界.     

关于几类图的L(3,2,1)-标号问题

图G的L(2，1)-标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x)，使得若d(z，y)=1则|f(x)-f(y)|≥2；若d(x，y)=2，则|f(x)-f(y)|≥1。图G的L(2，1)-标号数是λ(G)使得G有的max|f(v)：v∈V(G)|=κ的L(2，1)-标号中的最小数κ。本将L(2，1)-标号问题推广到更一般的情形即L(3，2，1)标号问题，并得到了平面三角剖分图、立体四面体剖分图的λ3(G)的上界。     

毛毛虫树的最优$L(2,1,1)$-标号

图$G$的一个$L(2,1,1)$-标号是指从顶点集$V(G)$到非负整数集上的一个函数$f$,满足: 当$d(u,v)=1$时, $|f(u)-f(v)|\ge 2$, 当$d(u,v)=2$时, $|f(u)-f(v)|\ge 1$, 当$d(u,v)=3$时, $|f(u)-f(v)|\ge 1$. 若一个$L(2,1,1)$-标号中的所有像元素都不超过整数$k$, 则称之为图$G$的$k$-$L(2,1,1)$-标号. 图$G$的$L(2,1,1)$-标号数, 记作$\lambda 2,1,1(G)$,是使得图$G$存在$L(2,1,1)$-标号的最小整数$k$. 本文研究了毛毛虫树的最优$L(2,1,1)$-标号,给出了一些$L(2,1,1)$-标号数达到上界的充分条件,并完全刻画了最大边度为6的毛毛虫树的$L(2,1,1)$-标号数.     

关于两类平面图及相关图的L(d1,d2)-标号问题

图G的L(2,1)标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x),使得若d(x,y)=1,则|f(x)-f(y)|≥(2;若d(x,y)=2,则|f(x)-f(y)|≥1.图G的L(2,1)标号数λ(G)是使得G有max{f(v)V∈V(G)}=k的L(2,1)标号中的最小数k.Griggs和Yeh猜想对最大度为△的一般图G,有λ(G)≤△2.本文将L(2,1)-标号推广到L(d1,d2)-标号,并得出了平面三角剖分图、立体四面体剖分图、平面近四边形剖分图的L(d1,d2)-标号的上界,作为推论,本文证明了对上述几类图,有上述猜想成立.     

关于图的L(3,2,1)-标号问题

图 G的 L (2 ,1) -标号是一个从顶点集 V(G)到非负整数集的函数 f (x) ,使得若 d(x,y) =1,则 | f (x)- f (y) |≥ 2 :若 d(x ,y) =2 ,则 | f (x) - f (y) |≥ 1.图 G的 L (2 ,1) -标号数λ(G)是使得 G有 max{ f (v) :v∈ V(G) } =k的 L(2 ,1) -标号中的最小数 k.本文将 L(2 ,1) -标号问题推广到更一般的情形即 L(3,2 ,1) -标号问题 ,并得出了细分图、Descartes图的 λ3 (G)的上界 .     

树的L(3,2,1)-标号问题

An L(3,2,1)-labeling of a graph G is a function f from the vertex set V(G) to the set of all non-negative integers(labels) such that |f(u)-f(v)|≥3 if d(u,v)=1,|f(u)-f(v)≥2 if d(u,v)=2 and |f(u)-f(v)|≥1 if d(u,v)=3.For a non-negative integer k,a k-L(3,2,1)-labeling is an L(3,2,1)-labeling such that no label is greater than k.The L(3,2,1)-labeling number of G,denoted by λ_(3,2,1)(G), is the smallest number k such that G has a k-L(3,2,1)-labeling.In this article,we characterize the L(3,2,1)-labeling numbers of trees with diameter at most 6.     

关于图的L(3,2,1)-标号问题

图G的L( 2 ,1 )标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x) .使得若d(x ,y) =1 .则｜f(x) -f(y) ｜≥ 2 ;若d(x ,y) =2 ,则｜f(x) -f(y)｜≥ 1 .图G的L( 2 ,1 )标号数λ(G)是使得G有max{f(v) ∶v∈V(G) }=k的L( 2 ,1 )标号中的最小数k .本文将L( 2 ,1 ) 标号问题推广到更一般的情形即L( 3,2 ,1 ) 标号问题 .我们首先定义了图G的顶点 3 着色及图的 3 色数 χ3 (G)等有关概念 ,并推导出 3 色数 χ3 (G)的上界 ;然后根据 χ3 (G)与λ3 (G)的关系 ,得出了对一般图G ,有λ3 (G) ≤ 3maxH Gδ(H) (Δ2 -Δ 1 )这一一般关系式 ;最后证明了对一般平面图G ,有λ3 (G)≤ 1 5(Δ2 -Δ 1 ) ,并得出了其它几类平面图的λ3 (G)的上界 .     

关于图的L(2,1)标号核图

图的L(2,1)标号核图来自频率分配问题而导致的图论问题.在本文中,我们证得(i)对任意简单图G,存在G的一个标号核图Gcore,使得L(G)=L(Gcore)和L(G)≥|V(Gcore)|-1;(ii)设图G有p个顶点且边集|E(G)|≠φ,存在路 Pi G(1≤i≤m)和路Hs G(1≤s≤n),其中在G中V(Pi)∩V(Pj)=φ(i≠j),在G中V(P,)∩V(Pt)=φ(s≠t),则有m∑t=1|V(Pt)|+n∑s=1|V(Hs)|-(m+n)≥p;(iii)G是p(p≥5)个顶点的简单图,则有p+3≤L(G)+L(G)≤3p-4.     

关于几类图的L(2,1)标号问题

图G的L( 2 ,1 )标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x) ,使得若d(x ,y) =1 ,则｜f(x) -f(y) ｜≥ 2 ;若d(x ,y) =2 ,则｜f(x) -f(y) ｜≥ 1 .图G的L( 2 ,1 ) 标号数λ(G)是使得G有max{f(v) ∶v∈V(G) }=k的L( 2 ,1 )标号中的最小数k .Griggs和Yeh猜想对最大度为Δ的一般图G ,有λ(G) ≤Δ2 .本文给出了Kneser图 ,Mycieklski图 ,Descartes图 ,Halin图的λ值的上界 ,并证明了上述猜想对以上几类图成立     

双圈连通图的L(2,1)-labelling

给定图G,G的一个L(2,1)-labelling是指一个映射f:V(G)→{0,1,2,…},满足:当dG(u,v)=1时,f(u)-f(v)≥2;当dG(u,v)=2时,f(u)-f(v)≥1.如果G的一个L(2,1)-labelling的像集合中没有元素超过k,则称之为一个k-L(2,1)-labelling.G的L(2,1)-labelling数记作l(G),是指使得G存在k-L(2,1)-labelling的最小整数k.如果G的一个L(2,1)-labelling中的像元素是连续的,则称之为一个no-holeL(2,1)-labelling.本文证明了对每个双圈连通图G,l(G)=△ 1或△ 2.这个工作推广了[1]中的一个结果.此外,我们还给出了双圈连通图的no-hole L(2,1)-labelling的存在性.     

L(d1, d2,..., dt)-Number λ(Cn; d1, d2,...,dt) of Cycles

An L(d1,d2,...,dt)-labeling of a graph G is a function f from its vertex set V(G) to the set {0, 1,..., k} for some positive integer k such that {f(x) - f(y)| ≥ di, if the distance between vertices x and y in G is equal to i for i = 1,2,...,t. The L(d1,d2,...,dt)-number λ(G;d1,d2,... ,dt) of G is the smallest integer number k such that G has an L(d1,d2,... ,dt)labeling with max{f(x)|x ∈ V(G)} = k. In this paper, we obtain the exact values for λ(Cn; 2, 2,1) and λ(Cn; 3, 2, 1), and present lower and upper bounds for λ(Cn; 2,..., 2,1,..., 1)     

The $L(3, 2, 1)$-Labeling on Bipartite Graphs

An $L(3, 2, 1)$-labeling of a graph $G$ is a function from the vertex set $V(G)$ to the set of all nonnegative integers such that $|f(u)−f(v)|≥3$ if $d_G(u, v)=1$, $|f(u)−f(v)|≥2$ if $d_G(u, v)=2$, and $|f(u)−f(v)|≥1$ if $d_G(u, v)=3$. The $L(3, 2, 1)$-labeling problem is to find the smallest number $λ_3(G)$ such that there exists an $L(3, 2, 1)$-labeling function with no label greater than it. This paper studies the problem for bipartite graphs. We obtain some bounds of $λ_3$ for bipartite graphs and its subclasses. Moreover, we provide a best possible condition for a tree $T$ such that $λ_3(T)$ attains the minimum value.     

最大度至多为6的平面图的L(2,1)-标号

令Δ(G),g(G)和λ(G)分别为图G的最大度,围长,和L(2,1)-标号数.证明了若G是Δ(G)≤6和g(G)≥5的平面图,则λ(G)≤Δ(G)+13.进而关于Δ(G)≤6和g(G)≥5的平面图G,这个界要比先前的结果好.     

一个关于平面图的K-(2,1)-全可选性的结果

设图$G$的一个列表分配为映射$L: V(G)\bigcup E(G)\rightarrow2^{N}$. 如果存在函数$c$使得对任意$x\in V(G)\cup E(G)$有$c(x)\in L(x)$满足当$uv\in E(G)$时, $|c(u)-c(v)|\geq1$, 当边$e_{1}$和$e_{2}$相邻时, $|c(e_{1})-c(e_{2})|\geq1$, 当点$v$和边$e$相关联时, $|c(v)-c(e)|\geq 2$, 则称图$G$为$L$-$(p,1)$-全可标号的. 如果对于任意一个满足$|L(x)|=k,x\in V(G)\cup E(G)$的列表分配$L$来说, $G$都是$L$-$(2,1)$-全可标号的, 则称$G$是 $k$-(2,1)-全可选的. 我们称使得$G$为$k$-$(2,1)$-全可选的最小的$k$为$G$的$(2,1)$-全选择数, 记作$C_{2,1}^{T}(G)$. 本文, 我们证明了若$G$是一个$\Delta(G)\geq 11$的平面图, 则$C_{2,1}^{T}(G)\leq\Delta+4$.     

本刊英文版Vol.29(2013),No.8论文摘要(英文)

<正>L(j,k)-number of Direct Product of Path and Cycle Wai Chee SHIU Qiong WU Abstract For positive numbers j and k,an L(j,k)-labeling f of G is an assignment of numbers to vertices of G such that |f(u)-f(v)|≥j if uv∈E(G),and |f(u)-f(v)|≥k if d(u,v)=2.Then the span of f is the difference between the maximum and the minimum numbers assigned by f.The L(j,k)-number of G,denoted byλ_(j,k)(G),is the minimum span over