圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

椭圆上四点共圆的充要条件的行列式证明

圆锥曲线是高中数学的重要内容,其中圆锥曲线上四点共圆的相应内容也是高考考查的热点.如2005年湖北高考理工第21题以及2002年广东、江苏卷第20题.圆锥曲线上四点共圆均有相应的充要条件,但其证明过程一般都是用参数方程等内容,计算量大且较复杂.本文将应用行列式给出椭圆上四点共圆的一个充要条件的证明.这个证明是非常自然的,也是容易理解接受的.     

共圆点及其应用

共圆点及其应用四川师范大学邓安邦四川民政干校濮青一、基础知识在同一个圆上的一些点，称为共圆点，或者说这些点共圆。要证明一些点共圆，关键在于会证明四点共圆。证明四点共圆，主要根据：１、圆的定义：证明这四点到某一定点的距离都相等。２、角的关系：证明这四点...     

从五点共圆到四点共圆

从五点共圆到四点共圆２４６１４２安徽省怀宁县江镇中学黄全福在通常情况下，判断五点共圆要比判断四点共圆困难得多，这是因为判断四点共圆有章可循，有法可依；而判断五点共圆就谈不上有什么有效方法了。但是，在某些特定的条件下，情形正好相反：判断五点共圆一目了然...     

掌握四点共圆简解中考题

<正>近两年,中考题中的直线型问题中出现了很多四点共圆问题,有些省市在标准答案中直接用了四点共圆证明,在阅卷中,对于学生用四点共圆解题表示赞赏,说明四点共圆在中考的几何解题中是十分重要的.在初中阶段,判定四点共圆的方法有三种,如图1所示:     

“四点共圆”教学实录

课题:四点共圆教学要求:1.使学生牢固掌握几种判定四点共圆的方法,并能运用这些方法解题。 2.培养学生灵活运用知识的数学思维能力。教学重点:四点共圆的判定。教学难点:创设条件来判定四点共圆,并依据四点共圆来研究图形的性质。教学方法:启导法教具:圆规、三角板、几何图片及投影仪。一、引言过不在同一直线上的三点能作且只能作一个圆。如有A、B、C、D四点,过这四点能否     

一道俄罗斯“四点共圆”试题的探究

<正>"四点共圆"问题常出现在中高考问题中,知道"圆内接四边形的对角互补"便可证得这个四边形的四个顶点共圆.本文源自俄罗斯国家统一考试专业水平数学试卷,是一道关于四点共圆问题的平面几何题.俄罗斯考试中的平面几何有什么特殊之处?俄罗斯的"四点共圆"试题有什么特点?我们不妨做些简单地分析.     

巧用待定系数法解决一类四点共圆问题

<正>圆锥曲线综合问题中,有一类是涉及四点共圆的问题.这类问题,如果按照传统的方法去解决,不仅运算量大,而且程序繁琐.不少同学深陷其中不能自拔,往往中途搁浅.最近,笔者和同学们一同在复习圆的相关知识过程中发现,如果巧用待定系数法,先设出曲线系方程,     

二弦定理及应用

<正>笔者发现圆中互不垂直的两弦有如下美妙的结论,该结论对解决一些四点共圆式多点共圆问题提供一种方法.1.二弦定理及逆定理二弦定理圆中互不垂直的两弦端点在彼此上的射影共圆.证明如图1,设AB、CD是⊙O中互不     

判别“四点共圆”的一种新方法

判别“四点共圆”的一种新方法黄全福（福建省怀宁江镇中学２４６１４２）关于四点共圆的判定，通用教材《几何》第二册中曾介绍过两种行之有效的常用方法，这就是：方法１：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．简记为：“对角互补，四点共圆”．方法...     

曲线系方程活用一例

题如图，已知抛物线y2＝2Px（P＞0），过焦点F任作两条亘相垂直的直线与抛物线分别相死于两点A、B和C、D；问这四点能否共圆？若共圆，求出所共圆的方程．解此题的常规思路是，先将两直线方程用点斜式设出，然后为别与抛物线方程联立求得A、B及C、D的坐标，看这四点能否共圆．用这种方法求解是难以方通的．但若用直线的参数历程及韦这定理，或用抛物线的焦半径公式及韦这定理，都能表示出圆的相交弦定理里所需的两积[AF]·[FB]与[CF]·[FD]，从而说明四点能否共圆及共圆的条件，再由共圆的条件即可求得所共圆的方程．这两种方法仍不…     

圆锥曲线上两点关于直线对称相关问题探究

我们经常看到一类问题：已知圆锥曲线和一直线相交，试判断圆锥曲线上是否存在两点关于该直线对称及其相关问题．对于这类问题，学生往往处理得不够得当，为此，本文提出四种方法：向量法、参数法、判别方法及区域法，并针对上述问题进行了例举分析，愿与读者相互切磋，共同探究．     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍圆锥曲线的两个性质.定理1已知圆锥曲线C的焦点为F1,F2,准线为l1,l2.P为曲线C上一点,过点P作平行于曲线C的对称轴的直线交l1,l2于点M,N,直线MF1,NF2交于点Q,则点P,F1,F2,Q四点共圆.证不妨设曲线C为椭圆,其方程为(x~2)/(a_2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),则F1(-c,0),F2(c,0),设P(acosθ,bsinθ),N(a~2/c,bsinθ).     

例谈四点共圆在几何解题中的应用

四点共圆在解题时具有应用广泛、灵活多变等诸多特点,甚至有时是其他方法所无法替代的,所以备受各类竞赛(或考试)命题者的青睐．本文首先给出几个常用的判断四点共圆的依据和方法,然后试举例说明应如何利用四点共圆来解题．     

例谈利用四点共圆简证角度相等

<正>几何直线型问题中常需推证角相等,有些题目要添加辅助线才能得证,解题时若题目中具有四点共圆的条件特征,可以利用四点共圆这个隐藏性的条件推证出两角相等,对于解决直线型问题是一个很好的工具.例1(2016朝阳区八下期末)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C且与AB平行.点D在直线l上(不与点C重合),作射线DA.将射线DA绕     

利用点在圆锥曲线内(外)部解“范围”问题

利用点在圆锥曲线内（外）部解“范围”问题袁兴发（陕西镇巴县中学７２３６００）已知圆锥曲线Ｃ上存在不同的两点关于直线ｌ（含参数）对称，求参数的范围，对这类问题，这里介绍一种解法，即利用点在曲线内部或外部导出不等式，从而确定参数的取值范围．圆锥曲线的含焦...     

立足通性 寻求通法——谈解析几何中一类对称问题的求解

平面解析几何的教学中，我们常常会接触到这样的一类问题：已知某条圆锥曲线和某条直线，探求在圆锥曲线上是否存在两点关于直线对称；或已知在圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求解有关参数的取值范围．     

数学问题解答

2005年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)1536　如图,C为半圆弧的中点,点 P为直径BA延长线上一点,过 P 作半圆的切线PD,D 为切点,∠BPD的平分线分别交AC,BC 于点E,F. 求证∠EDF =90°.(江西省宜丰县二中　龚浩生　简爱平　336300)证明　记半圆的圆心为 O,连结 OC,OD,AD,BD.因为 C是半圆弧的中点,PD是切线.所以 OC⊥AB,PD⊥ OD.所以∠DPB =∠COD.因为 PF平分∠DPB,所以∠DPF =12∠DPB =12∠COD　　　　　=∠CAD =∠CBD所以A,P,D,E四点共圆B,P,D,F四点共圆所以∠CED =∠DPA =∠CFD所以 C,D,E,F四点共圆…     

三角形“三高”的三个事实

<正>在这里,我们将论证与三角形三条高有关的三个事实.在论证的过程中将用到如下四点共圆的判定(人教版教材中没有):判定1对角互补的四边形内接于圆;如图1,若∠A+∠C=180°,则A、B、C、D四点共圆;判定2外角等于内对角的四边形内接于圆;如图2,若∠EAB=∠C,则A、B、C、D四点共圆;     

四点共圆用处大

<正>探究四点共圆,除了学会证明四点共圆以外,更多地应注意到利用它来证明别的命题.比如,对于角的相等,线段之间的位置关系,线段的比例关系等方面的证明,利用四点共圆,往往就有许多优越的地方.例1如图1,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,PCD为割线,过A作AE∥PD,交☉O于E.