在圆内解释两个三角公式

利用圆的特点 ,不难解释三角函数公式 :tan θ2 =sinθ1+cosθ和cot θ2=1+cosθsinθ .如图 ,△BOC中 ,∠BOC =θ,AB为⊙O的直径 ,CD⊥AB于D .　　则　OC =OA =OB =R ,　∠CAB =θ2 .在△COD中 ,CD =Rsinθ ,　OD =Rcosθ,∴　tan θ2 =CDAD=RsinθR +Rcosθ=sinθ1+cosθ,cot θ2 =ADCD=R +RcosθRsinθ =1+cosθsinθ .在圆内解释两个三角公式$河南省永城第三高中(二)九班!476600@刘冬辉…     

在不定积分计算中不能忽视"区间I"

有这么一道求不定积分的题目 :例 ∫ 1 -sin2θdθ在以往的教学乃至某些考研资料中发现有这样做的 :解 ∫ 1 -sin2θdθ=∫ (sinθ-cosθ) 2 dθ=∫ |sinθ-cosθ|dθ=± (cosθ+sinθ) +C初看似乎没错 ,但仔细推敲就会发现有问题。实际上只有当θ∈ [2kπ -3π4,2kπ + π4]时 (k是整数 ) ,cosθ-sinθ 0 ,才有(cosθ+sinθ)′=cosθ -sinθ=｜sinθ-cosθ｜从而cosθ+sinθ在这些区间上才是 |sinθ-cosθ|的一个的原函数。而当θ∈ [2kπ + π4,2kπ + 5π4]时 ,sinθ-cosθ 0 ,(-cosθ-sinθ)′=sinθ -cosθ=｜sinθ-cosθ｜从而与上面…     

对一道例题的更正

本刊 2 0 0 4年第 6期《利用单位圆解三角函数问题》中例 3如下 :设θ∈ [0 ,2π) ,若cotθ 相似文献   

一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

三角函数

4.1　任意角的三角函数内容概述1.角的概念的推广 ,角的大小的表示法 (角度制和弧度制 ) ,弧长公式 ,扇形面积公式 .2 .任意角的三角函数的概念 ,三角函数线 ,三角函数在各个象限内的符号 .3.同角三角函数的基本关系式 :sin2 α cos2 α =1,　 sinαcosα=tanα,　 tanαcotα =1.4 .诱导公式 :α 2 kπ(k∈ Z) ,-α,π±α,2π -α的三角函数值 ,等于α的同名三角函数值 ,再在前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号 .5 .在三角函数的化简、求值、证明过程中 ,应该注意特殊数“1”的应用 .问题选编1.(2 0 0 4年辽宁省高考题改编 )若 …     

一个快速确定θ/n角的终边位置的简易方法

通常,我们把一个角的终边位置所在的象限,叫做该角的象限.若一个角θ属于第一象限,那我们如何确定θ2 所在的象限呢?很明显,多数人会认为θ2 也属于第一象限.但事实上,第一象限的角范围,可以一般地表示为:2kπ<θ<2kπ+ π2 (k∈Z) ,所以kπ<θ2 相似文献   

要重视角的范围的讨论

三角题常常涉及到角的范围问题,稍不留意,就会失误,因此在三角学习中,要重视对角的范围的讨论。一、挖掘隐含条件,明确角的范围有时已知条件没有直接告诉角的范围,需要认真分析已知条件,进行综合推理,得出角的范围。例1 如果θ是第二象限角,且 cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)~(1/2),那么θ/2是第几象限的角? 解∵2kπ π/2<θ<π 2kπ(k∈Z), ∴kπ π/4<θ/2<π/2 kπ。即2nπ π/4<π/2 2 2nπ(n∈Z) 或2nπ 5π/4<θ/2<3π/2 2nπ (1) 又cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)(1/2)即cos(θ/2)-sin(θ/2)=|cos(θ/2)-sin(θ/2)|,     

错在哪里？

题目 :已知α,β∈ - π2 ,π2 ,tanα =2m ,tanβ=m - 1 ,且α +β<π4 ,求m的取值范围 .这是某参考书上的一个习题 ,解答如下 :由α,β∈ - π2 ,π2 ,且α +β<π4 知-π <α+β<π4 .(1 )当 - π2 <α +β <π4 时 ,tan(α +β)= 3m - 1- 2m2 +2m +1 ,由于 y=tanx在 - π2 ,π4 上是增函数 ,得 3m - 1- 2m2 +2m +1 <1 ,解得 - 1 - 1 74相似文献   

两个不等式的三角证法及其推广

在一些刊物上 ,常讨论下述不等式 :设a >1,b>1,c>1,则a3b2 - 1+ b3c2 - 1+ c3a2 - 1≥ 92 3(1)a5b2 - 1+ b5c2 - 1+ c5a2 - 1≥2 56 15 (2 )本文就这两个不等式给出统一的三角证法 ,并给以推广 .首先给出下面引理 .引理　若θ∈ 0 ,π2 ,k是正整数 ,则sin2 θ·cos2k - 1θ≤ 2 (2k - 1) 2k - 1(2k + 1) 2k +1.当且仅当secθ =2k + 12k - 1时 ,等号成立 .证　由均值不等式得 :(2k - 1) (sin2 θ +cos2 θ) =(2k - 1)sin2 θ2 +(2k - 1)sin2 θ2 +cos2 θ+cos2 θ +… +cos2 θ(2k - 1)项≥ (2k +1)·2k + 1(2k - 1) 24 (sin2 θ·cos2k - 1…     

用函数值的符号判定角所在象限

八六年上海市高考数学试卷中有这样一道选择题: 若sinθ/2=3/5,cosθ/2=-4/5则角θ的终边在(A)第一象限;(B)第二象限;(C)第三象限;(D)第四象限。一般的解法是: 由sinθ/2=3/5>0,知θ/2在第一或第二象限,cosθ/2=-4/5<0知θ/2在第二或第四象限。综合而得,θ/2在第二象限,得2kπ+π/2<θ/2<2kπ+π(k∈z)。进一步,siθ/2=3/5<(2~(1/2))/2,     

勿忘(0)~(1/2)=0

我们知道 0 =0 ,但在解题过程中 ,却常常忽视了 ,这反映了我们考虑问题的片面性 .例 1　当α、β取什么范围内的值时 ,式子sin2αcosβ有意义 ?错解　由 sin2 α≥ 0知　 sin2 αcosβ≥ 0等价于 cosβ≥ 0 .即β∈ [2 kπ - π2 ,2 kπ π2 ](k∈ Z) .分析　因为学生牢记“实数的平方为非负数”,即α∈ R时 ,sin2 α≥ 0 .所以由sin2 αcosβ≥ 0推导出 cosβ≥ 0 .事实上 ,这漏掉了另一种情况 :sinα =0 ,cosβ∈ R时原式也有意义 .即α =kπ,且β∈ R,k∈ Z.正解　原式有意义等价于 cosβ≥ 0或sinα =0 .解得β∈ [2 kπ - π2 ,2 k…     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

会错意、换错义、解错题

在解数学题时 ,常常会出现意想不到的错误 .本文拟通过几个例题来探讨犯错的原因 ,并就怎样避免错解提出建议 .例 1　求函数y =lg(8sin x + 14x - 1π - 6cos x + 14x - 1π)的值域 .错解 :令 x + 14x - 1π =θ ,则y =lg(8sinθ - 6cosθ) =lg10sin(θ - φ)≤lg10 =1(其中 φ =arctan34) ,于是函数值域为 -∞ ,1.辨析 :上述解答没有考虑函数θ =x + 14x - 1π的反函数存在条件 ,故上述解答有误 .正解 :上述解法中 ,因为方程 π4 =x + 14x - 1π关于x无解 ,可知θ≠ π4 ,所以y≠ 12 lg2 .因此函数值域应为-∞ ,12 lg2∪ 12 lg2 ,1.评注 :…     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

例谈用三角代换解题

在数学解题中 ,妙用m2 =m2 ( sin2θ cos2θ)巧作代换 ,可使复杂问题简单化 ,获得简捷优美的解法 ,从而提高学生解题的灵活性 ,培养学生思维的创造性 .下面兹举几例供参考 .1　解不等式例 1　解不等式3- x - x 1 >12 .(第四届 IMO试题 )简解　因为( 3- x) 2 ( x 1 ) 2 =4 ,可令　 3- x =2 sinθ,x 1 =2 cosθ,　θ∈ [0 ,π2 ].则原不等式化为　 2 sinθ - 2 cosθ >12 ,∴　 2 sinθ >2 cosθ 12 ( * )由　θ∈ [0 ,π2 ]可知 2 cosθ 12 >0 ,( * )式两边平方并整理可得32 cos2θ 8cosθ - 1 5<0 ,解得 0≤ cosθ <31 - …     

求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

中学数学中似是而非的几个问题

例1.已知α、β都是第一象限角,并且α>β,试问:sinα>sinβ一定成立吗? 解:因为正弦函数在第一象限内是增函数,并且α>β,所以,sinα>sinβ一定成立。我们知道,正弦函数在每一个闭区间〔-π/2+2kπ,π/2+2kπ〕(k∈Z)上都是增函数,因此,也可以说正弦函数在每一个开区间(2kπ,π/2+2kπ)(k∈Z)内都是增函数;但却不可以说正弦函数在第一象限内是增函数。     

对“细杆水平过拐角问题”的一些思考

1　问题与原解最近 ,在高考复习中碰到如下一道习题 :题 1　宽为a的走廊与另一走廊垂直相连 ,如果长为 8a的细杆能水平地通过拐角 ,问另一走廊的宽度至少是多少 ?图 1　题 1图原解如下 :如图 1 ,设细杆与另一边的夹角为θ( 0 <θ <π2 ) ,又设走廊的宽为y ,由于AB =acosθ,BC=8a - acosθ知y(θ) =BCsinθ =8asinθ - acosθsinθ ( 0 <θ <π2 ) ,依题意必存在一个适当的θ值使y最小 ,由y′(θ) =8acosθ - acos2 θ.令y′=0得cos3θ =18,所以cosθ =12 ,θ =π3,因为y(θ)只有一个极值 ,所以它是最小值 ,即另一走廊得宽度至少是 33a .2…