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数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当n取第一个值n0 (例如n0 =1或n0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当n =k(k∈N ;且k≥n0 )时结论正确 ,证明当n=k 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从n0 开始的所有自然数n都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当n=k时结论正确是不能推导出n=k 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当n=n0 ,n0 1…… ,k时结论都正确 ,才能推导出n =k 1时结论也正确 .这就是… 相似文献
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逆向思维是初中数学学习必备的数学思维,不仅能帮助学生提升解题效率,还能以逆向思维带动抽象思维、联想思维、分析思维等高阶思维的提升,帮助学生提升思维品质,从而实现高质量、全方位的发展.本文以初中数学解题教学中逆向思维的应用研究为研究主题,分析了逆向思维在数学解题中的重要性和逆向思维在初中数学解题教学中的具体应用,探索出了激发学生利用逆向思维解题的意识、设计逆向思维解题专题课和为学生提供逆向思维解题练习的教学措施. 相似文献
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分类讨论是一种重要的解题策略 ,它是为了适应数学结论的限制条件而采取的各个击破的解题手段 ,通过它可以把一个较为复杂的问题分解成若干个相对确定的问题来进行处理 .正确地处理好分类 ,是掌握分类讨论的关键 ,本文谈谈分类的几个问题 .1 掌握分类的原则分类的原则是 :不重 相似文献
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折叠问题属于轴对称变换中操作与运算相结合的问题,可以连续操作,剪去一部分,猜想其展开图,也可以边折叠边运算,看能够得到什么样的图形和结论,能否实现折叠的目的.本文以矩形为背景,围绕几种常见的矩形折叠方式,设计巧妙的条件和问题,通过对问题的解决,共同体会解决折叠问题所用到的数学思想方法. 相似文献
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数学教学开放的教学模式是世界数学教学的新趋势.1998年8月,在韩国召开的第一届东亚国际数学教育大会上,有许多专家提到“开放题”(open—endedproblem)和“开放教学方法”(open—endedteachingapproach).本文就这两个问题谈点看法.1 数学开放题对数学开放题的传统认识只有结论开放一类.随着各国数学教育工作者对数学开放题的认识逐步加深,现已发展为结论开放、条件开放、推理开放及问题本身开放几大类.1.1 结论开放题,即指没有唯一确定答案的问题.例如,日本横滨国立大学教授桥本吉彦设计的“水槽问题”是值得我们多加体会的.这个问题是这… 相似文献
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拜读《数学通报》2008年第10期罗志强老师编拟并解答的1751号数学问题和2009年第12期张启成老师《对数学问题“1751”号题的再思考》一文,笔者也产生了一些思考,现整理如下,供研讨原题 如图1,点M是△ABC外接圆优弧AB的中点,点D是M在AC上的射影.求证:AD=DC+ CB.由于AC=AD+CD,所以要证明AD=DC+ CB,可以转化为证明AC=2CD+ CB,于是又可以得到以下几种证明方法. 相似文献
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逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向,从正向思路转向逆向思路。善于逆向思维,是思维灵活的一种表现。当人们习惯于正向思维时,某种逆向思维就会产生新的境界,许多科学理论的发现,就是这样萌芽的。例如本世纪60年代发展起来的模糊数学,就是逆向思维的产物。在数学教学中也是如此,当学生经过努力从正向理解了某个概念、定理、公式或法则后,若适当引导学生逆向思考一下,往往会跨进新的领域。因此,在教学中我们要十分重视这类知识的逆应用。兹举几例说明之。例1、试举出f(x)、g(x)使f〔g(x)〕=g〔f(x)〕。此题按习惯性思维帮不了学生的忙。若教师引导学生逆向思考分析出:只要f(x)与g(x)互为反函数就有f〔g(x)〕=g〔f(x)〕的结论,则学生就不难举出诸如:f(x)=kx b与g(x)= 相似文献
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高等数学中的逆向思维 总被引:2,自引:0,他引:2
逆向思维的基本特点是 :从已有思路的相反方向去思考问题 .如 ,考虑使用间接方法 ,考虑逆推 ,考虑研究逆命题 ,考虑问题的不可能性 ,等 .它有利于克服思维定势的保守性 ,常常可帮助人们寻求新的思路、新的方法 ,开拓新的知识领域 ,在高等数学教学中 ,不少内容都可以用来培养学生的逆向思维能力 ,作者在工科高等数学教学实践中曾对这一问题作过探讨 ,以下我们将从几个主要方面来说明这一问题 .1 利用定义的可逆性(1 )利用定积分的定义求极限例 1 设 f(x)在 [0 ,1 ]上连续 ,且 f(x) >0 ,求极限l=limn→∞ f(1n) f(2n)…f(n -… 相似文献
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在大学数学课程的教学中,传授数学思想和培养数学思维具有十分重要的意义.给出了培养学生数学思维能力的一些参考途径,并通过几则具体的教学案例加以说明.数学课程的教学实践表明,加强不等式思维训练、重视逆向思维训练等方式有益于培养和提升同学们的数学思维能力. 相似文献
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在数学解题过程中,直接举出满足条件的数学对象(或反倒),导致结论的肯定(或否定),或者利用具体问题的特殊性,设计一个框架,通过问题的转化来解决,这种解题方法称为构造法,构造法是一种重要的数学思想方法,应用构造法证明某些整除性问题,常可收到事半功倍的效果。常用的构造法有如下几种: 1 构造函数例1 证明7|sum from k=1 to 1986(2~k)(《数学通报》1986年6月号问题征解第416题) 证明构造函数 f(χ)=2(χ+1)~(662)-2, 显然,f(χ)是χ的整系数多项式。∵f(0)=0, ∴χ|f(χ),故7|f(7)。而f(7)=2·8~(662)-2=2(2~(1986)-1)=sum from k=1 to 1986 (2~k)得证。 相似文献
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浅谈不等式证明的几种特殊方法 总被引:1,自引:0,他引:1
不等式的证明在数学中是比较常见的题型 ,但有些不等式用常见的方法 (如比较法、分析法和综合法等 )很难证出来 ,或者根本证不出来 .这里介绍几种特殊的证法 ,解决一些不等式的证明问题 .1 数学归纳法数学归纳法是数学中解决证明题很重要的一种方法 ,在不等式证明中也不例外 ,对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法 .例 1 证明 :|sinnx|≤n|sinx|对任何自然数都成立 .证 1 )当n =1时 ,不等式显然成立 ;2 )假设n =k时 ,不等式成立 ,即 |sinkx|≤k|sinx|成立 .当n =k +1时 , |sin(k +1 )x|=|si… 相似文献
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纵观近三年全国各地的中考数学试题 ,尤其是2 0 0 3年海南省中考试题 ,都设计了一定数量的开放、探究性问题 ,这符合教育部关于初中毕业、升学考试改革的要求 .这类试题让人目不暇接 ,它对激发学生学习数学的兴趣 ,培养发散思维和探索创新能力 ,促进生动、活泼、主动学习十分有利 ,同时也在一定程度上促进了初中数学教学的改革 .本文采用部分填空题、选择题、作图操作题等题型 ,从以下三个方面分类简析 ,以期对初三数学教学与复习有所帮助和启迪 .一、条件探究开放型这类题是在明确命题结论的前提下 ,条件不唯一的试题 .例 1 ( 2 0 0 3年海南省中考题 )如图1 ,Rt△ABC中 ,a ,b分别是∠A ,∠B的对边 ,c为斜边 .如果已知两个元素a,∠B ,就可以求出其余三个未知元素b,c,∠A .( 1 )求解的方法有多种 ,请你按照下列步骤 ,完成一种求解过程 :第一步 :由条件 :a,∠B 用关系式求出第二步 :由条件 :用关系式求出第三步 :由条件 :用关系式求出( 2 )请你分别给出a ,∠B的一个具体数值 ,然后按照 ( 1 )中的思路 ,求出b,c,∠A的值 .分析 :( 1 )本题主要利用直角... 相似文献
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已知数列的递推公式,求其通项公式是数列中一类常见的题型,这类题型如果单纯地看某一个具体的题目,它的求解方法是灵活多变的,构造的技巧性也很强.很多课外辅导资料均总结归纳了常见的几种递推数列通项公式的求法,题型上一般可以分为:形如an+1=an+f(n)型数列(其中f(n)不是常值函数);an+1=an·f(n)型数列;an+1=pan+q型数列;an+1=pan+f(n)型数列(p为常数);an=Aan/Ban+C型数列(A,B,C为非零常数).在日常的教学过程中,强迫学生死记硬背,或许能够收到一定的成效,但是数学是以培养学生思维能力为首要任务的学科,所以,我们有必要对以上几种题型的实质进行分析讨论,让学生明白所以然.笔者认为,无论哪种题型,最终均需要利用到等差数列(结合累加原理)或者等比数列(结合累乘原理)定义解决问题. 相似文献
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对数学命题的结论或问题关键步骤的结论作合理的猜想 ,然后执果索因 ,作出严格论证 (可以是肯定的 ,也可以是否定的 ) ,这是数学解题的一种重要方法———猜想论证法 .1 归纳猜想归纳猜想是指通过对部分对象的研究 ,归纳出共性特征 ,最后提出猜想的方法 .此法在数学中用得很多 ,特别是在解有关数列问题时常常用到 .例 1 已知x∈N ,3位于 x + 3x 和x + 4x + 1之间 ,求x的所有可能值 .解 分别对x =1 ,2 ,3,4计算 x + 3x 和x + 4x + 1 的值 :当x =1时 ,x + 3x =4 ,x + 4x + 1 =52 ;当x =2时 ,x + 3x =52 ,x + 4x + 1 … 相似文献
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几个主要结论 :数学教学是传授数学知识、技能的教学 .数学教学是以数学思维活动为核心的教学 .数学教学应成为再发现、再创造的教学 .数学教学是数学活动的教学 .“什么是数学教学 ?”半个世纪以来 ,我们在数学教学改革、课程改革的过程中 ,不断地提出并回答着这个问题 .无论在理论上还是在实践中 ,我们对中学数学教学的认识 ,都随着时代的进步 ,科学技术的发展 ,国际间的学术交流 ,不断得到深化 .而对数学教学本质认识的深化 ,又推动着课堂教学方法的不断改进 ,教学质量的不断提高 .1文革前后 ,我们把数学教学看成是传授数学知识、技能的… 相似文献