数学竞赛之窗

1 设p是一个质数，s是一个整数，0〈s〈P．证明：存在整数m,n,使得0〈m〈n〈p，且{sm/p}〈{sn/p}〈{s/p}成立的充要条件是：s不是p-1的约数．     

一道初一数论题的多种解法

<正>一个大于1的整数,如果它的约数只有两个,即1与它本身,我们称这样的整数为质数;如果它的约数个数超过两个,即它有不同于1与它本身的约数,我们称这样的整数为合数;而1既不是质数也不是合数,2是偶数中唯一的质数.要想说明一个大于1的整数是合数,     

竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

质数的另一判别法

引言、用威尔生(J .wils。的定理来判别自然数”是否是质数是非常困难的,若”是三位自然数:(”一l)!十1就超过了一百位的数,计算量非常大。本文提出了质数的另一判别法(两个定理)。 定理一尸是质数的充要条件为:(异)三“定理二(modP)当p是奇数时,其中1簇K毛p一1。 尸是质数的充要条件为: P、,./.二尸、贬。_.)三0‘modp,其中,(K簇(等J。 ‘J、eel符号〔万〕表示不大于万的最大整数。为此:先证两个引理。引理一设尸为自然数袱)2)的最小质因数。_./”、、n_,_、~,_则又矛)三(一‘)”一,’u(mod”)其中”=八证,因为二项式系数‘二、是整数“…     

麦比乌斯带

麦比乌斯带是一种单侧、不可定向的曲面．将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起，得到的曲面就是麦比乌斯带．是以它的发现者德国数学家、天文学家麦比鸟斯的名字命名的．     

巧用和的立方公式凑2019

<正>今年是公元2019年,而2019=3×673,注意到3与673都是质数,所以2019不是一个整数的平方.那么它是否可能是一个整数平方的末四位数吗?答案是否定的.因为2019若是一个整数平方数的末四位数,那么这个整数的个位数只能是3或7,于是这个整数可设为     

质数判别的几个结论

质数判别的几个结论４１０００２长沙教育学院杨林质数的判别是数论中的一个活跃课题，在计算机数学技术应用日益发展的今天，更是一个引人注目的问题．本文利用初等数论的方法得出几个比较简便的质数判别定理．引理１（威尔逊）［１］正整数ｐ为质数的充分必要条件是（ｐ...     

利用偶质数"2"解赛题

在质数集合中,"2"是惟一的偶数.正是"2"的这种特性,不难发现"2"在下列情况的存在性定理:(1)两个连续的自然数都是质数,则必有2(另一个是3)(2)两个质数的和与差是奇数,则必有2(3)两个质数的积是偶数,则必有2(4)两个质数的和与差仍为质数,则必有2"2"的存在性定理常常是在质数条件下解一些数学竞赛题的根据.     

分解因式、质因数解一类整数问题

一、问题模型 x、y、m、n均为整数,且m、n为质数, 如果xy=mn,则有式子xy=mn左边是两个因式的积,右边是两个质因数的积,通过把整数mn分拆,达到求x、y的值的目的．不     

妙用和的立方公式凑2017

<正>今年是公元2017年,2017这个四位数是质数,当然它绝不会是一个整数的平方,那么它是否可能是一个整数平方的末四位数呢?答案是否定的,因为一个整数平方的末为数,只可能是0,1,4,5,6,9中的一个数,不可能是7.那么2017是否可能是一个整数的立方数的末四位数呢?答案是肯定的,比如:9073³=7468832017就是一个实例,再问:除了9073     

谈谈质数

自然数是指　１,２,３,…之一;整数则是指　…,－２,－１,０,１,２,…之一;自然数即正整数;二整数间可以定义和、差、乘运算,其结果仍为整数,即“整数集合对加、减、乘运算是自封的”;定理１（欧氏除法）：任二整数ａ及ｂ（＞０）,必有整数ｑ及ｒ满足　ａ＝ｂｑ＋ｒ,　　０≤ｒ＜ｂ若在上式中ｒ＝０,即ａ＝ｂｑ,则称ａ为ｂ之倍数,或ｂ为ａ之因数,记为ｂ｜ａ．否则记为ｂｘａ．自然数可以分成三类：１：只有自然数１为其因数;ｐ：恰有１与ｐ为其因数,这种数称之为质数;ｎ：除１与ｎ之外,还有一个因数,这种数称为复…     

一道解几习题的应用

众所周知，弦长公式在处理直线与二次曲线的弦长问题时，有着十分重要的作用．然而，当涉及的长度不是弦长（如线段的一端在曲线上，而另一端在直线上或线段的两端不在同一条曲线上）时，上边的公式就失去了“用武之地”．那么，是否能找到一个类似于弦长公式的公式来解决上述矛盾，同时也能处理有关弦长问题呢？请看高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修本）P27第5题，设A、B两点的坐标分别是A（x_1，y_1）和B（x_2，y_2），直线AB的倾斜角是a，求证：此结论可改写为：而利用这一结论可圆满地解决上述问题，下面略举几例．例1如图…     

质数史话

同学们,质数是一个古老而又深奥的话题.这里,我想就质数无限性的证明与质数表达式的寻求两个话题用通俗的语言和同学们聊一聊,希望大家在了解质数史的同时领悟其中所隐含的数学思想方法. 众所周知,正整数集N={1,2,3,…)可分为三类:第一类是数1(仅一个数);第二类是合数(有无限多     

关于二次剩余的深入探讨

<正>1问题的引入考察小于30的奇质数p,当p为何值时,二次同余方程x²+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x2+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x²除以p得到的余数.当存在某个x,使得x2除以p得到的余数.当存在某个x,使得x²≡a(modp)成立时,     

不定方程x4-y4=n整数解求法探讨

求方程 x4- y4=n　 ( n∈ N)的整数解 ,至今还没见到一般方法 ,本文将给出这类不定方程一种解法 .文中字母 P表示质数集 ,符号 ( a,b)( a、b∈ Z)表示不定方程　　 x4- y4=n　 ( n∈ N) ( 1 )的整数解 .定理 1　若 n∈ P,则方程 ( 1 )没有整数解 .证明　假定方程 ( 1 )有整数解 ( a,b) ,定有　 a2 b2 =n,　 a2 - b2 =1 ,∵　 a、b∈ Z,| a| >| b| ,只有　　　 (± 1 ) 2 - 0 2 =1 ,∴　 a =± 1 ,　 b =0 ,　 a2 b2 =1 ,与 a2 b2 =n是质数相矛盾 ,故方程 ( 1 )没有整数解 .由费马定理知 ,有定理 2　当 n =m4( n∈ N)时 ,则方程 ( 1…     

因子分解的故事

上帝创造了整数，其余都是人的工作．克罗内克（ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ，１８２３－１８９１）每个小学生在算术课上都学过：大于１的整数ｎ都可唯一地分解成有限个素数（或叫质数）的乘积．所谓“唯一”指的是：ｎ的这样两个分解式至多只是素因子有不同的排列次序．如果把相同素因子合并起来，那么ｎ的素因子分解式就可唯一地写成ｎ＝ｐｅ１１ｐｅ２２…ｐｅｇｇ其中ｐ１，…，ｐｇ是不同的素数，ｐ１＜ｐ２＜…＜ｐｇ，而ｅ１，…，ｅｇ均是正整数；例如１２＝２２·３，５０＝２·５２等等；这个结果被称为“算术基本定理”，它是一门历史悠…     

含各阶导数的非线性弹性梁方程的一个存在定理

通过选择适当的Banach空间并利用Leray-Schauder非线性抉择对于含各阶导数的非线性弹性梁方程{u(4)(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t),u′″(t)),0≤t≤1, u(0)=u′(1)=u″(0)=u′″(1)=0.建立了一个解的存在定理．在材料力学中，该方程描述了一端简单支撑，另一端被滑动夹子夹住的弹性梁的形变．这个存在定理说明只要非线性项满足某种线性增长条件该方程至少有一个解．     

高中应增加“整数”一章

我国目前中学生除了在小学课本上见到“约数、倍数和质数”等几个名词外,对整数性质几乎一无所知。对一些很简单的整数问题往往束手无策,这是很不正常的。为此建议在高中一年级代数中增加“整致”     

麦森质数大搜索(GIMPS)

目前,麦森质数家族又多了一个新成员.设在美国奥兰多的麦森质数搜索组织于2005年2月28日正式公布,一名德国数学爱好者于2005年2月18日发现了一个新的质数,这个质数有7816230位,可以写成225964951-1.这个新发现的质数是麦森质数家族的第42位成员,它也是已知最大的质数.据悉,这位     

神奇的梅森素数

在刘老师讲质数时,我想：既然质数除了2以外,都是奇数,那不是说明质数正好是一个偶数减1吗？那这样的偶数有没有规律呢？为了解决疑问,我把3、5、7、11、13、17、19、23、29、31……这些较小的质数都加1,看看得到的偶数分别是哪些。