一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

一个不等式的推广及应用

若ａ∈Ｒ,则ａ２≥２ａ－１①当且仅当ａ＝１时等号成立．将此不等式推广到一般,有定理若ａ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａ２≥ｎａ－（ｎ－１）②当且仅当ａ＝１时等号成立．证由均值不等式,有ａ２＋（ｎ－１）＝ａｎ＋１＋１＋…＋１ｎ－１个≥ｎａ,∴ａｎ≥ｎａ－（...     

基本不等式

基本不等式孙国富（江苏省海安县曲塘中学）基本概念常用的某本不等式有：　ａ、ｂ为任何实数，等号当且仅当ａ＝ｂ时成ａ、ｂ为任何正实数，等号当且仅当ａ＝ｂ时成立．ａ、ｂ、ｃ为正实数，等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．ｎ为大于１的自然数，ａ１，ａ２，…，ａｎ都是...     

不等式a~(p q) b~(p q)≥a~pb~q a~qb~p的应用

不等式ａｐ＋ｑ＋ｂｐ＋ｑ≥ａｐｂｑ＋ａｑｂｐ的应用钟成圣（安徽省合肥市中国科大附中２３００２６）定理若ａ，ｂ，ｐ，ｑ∈Ｒ＋，则ａｐ＋ｑ＋ｂｐ＋ｑ≥ａｐｂｑ＋ａｑｂｐ①当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．证∵ｐ，ｑ∈Ｒ＋，∴幂函数ｙ＝ｘｐ和ｙ＝ｘｑ在（０，＋∞）...     

从等号出发证明不等式

某些含有等号的不等式的证明题，若从等号成立的条件出发，利用基本不等式，则可迅速获证．下面举例说明．例１已知ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１３．分析：考虑到当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１３时，不等式取等号，此时，ａ２＝１９，于是有下面的证法．证ａ２＋１...     

一个不等式及其应用

一个不等式及其应用马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）定理设ａ，ｂ，ｃ为非负实数，ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）－μａｂｃ．则当时，当时，当μ＞９时，其中，对左边不等式，当μ≤３时，等号成立当且仅当ａ＝ｂ＝０；当μ＞３时，等号...     

利用一个简单不等式解三角题

利用一个简单不等式解三角题２７６００５山东省临沂地区劳动技校孙振英定理若ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ，则当且仅当ａｄ＝ｂｅ时取等号．故定理得证．不等式（＊）与二维柯西不等式（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）≥（ａｃ＋ｃｄ）２结构类似，便于记忆，使用灵巧，应用广泛．本...     

不等式a~2 b~2>=2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ的一个推广及应用魏家忠杨华（阜阳教育学院２３６０１６）（江苏省东台市城北中学２２４２００）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２２ａｂ（１）当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本里一个最基本的不等式，（１）的特点是左边两项系数之和恰为各...     

一个高次不等式的推广及应用

一个高次不等式的推广及应用康志山（河北赤城一中０７５５００）许多书刊中都流传着这样一个典型题目：已知：ａ，ｂ∈Ｒ＋，ｍ∈Ｎ．则：ａｍ＋ｂｍ２ａ＋ｂ２ｍ．当ｍ＝１，或当且仅当ａ＝ｂ（ｍ≠１）时取等号．这是一个十分优美的不等式．本文将从变元个数进行推广...     

关于正项式a_（ik）~a的几个不等式

关于正项式ａ_（ｉｋ）~ａ的几个不等式贵州民族学院周如银众所周知，若，则有下面的加权平均值不等式等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．利用这一结论，可导出下面的结果．引理设ａｉ、ｂｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），ａ＋１＞０，ａ＜０，则等号当且仅当ａ...     

从一道习题到两个优美的不等式

许多书上都有这样一道习题：设ｘ,ｙ∈Ｒ＋,且ｘ＋ｙ＝１,ａ,ｂ为正常数,求ａｘ＋ｂｙ的极小值;在此我们不谈它的解法,而是考虑能否把这个题的结论推广,我的想法是：（１）设ｘ,ｙ∈Ｒ＋且ｘ＋ｙ＝１,ａ,ｂ为正常数,ｎ∈Ｎ,如何求ａｘｎ＋ｂｙｎ的极小值呢？（２）（更一般化）设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２…,ｎ,ｎ≥２）且ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝ｐ,ｋ∈Ｎ,ｂｉ为常数,如何求ｂ１ａｋ１＋ｂ２ａｋ２＋…＋ｂｎａｋｎ的极小值呢？经笔者研究,以上问题可以通过构造均值不等式求解;从而可以得到两个优美的不等式;定理…     

一类分式不等式的证明

若ａｉ∈Ｒ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）,由柯西不等式得ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉｎｉ＝１ｂｉ≥ｎｉ＝１ａｉｂｉ·ｂｉ２＝（ｎｉ＝１ａｉ）２．所以ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ≥（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ①当且仅当ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ时...     

不等式（a~2／b）≧2a.b的应用

不等式（ａ~２／ｂ）≧２ａ.ｂ的应用陈晓春（四川三峡学院数学系６３４０００）由基本不等式变形可得不等式其中ａ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ＋，等号当且仪当ａ＝ｂ时成立．不等式（＊）是简单的．但用它来求解某些具有一定难度的题目，却十分简捷、新颖．本文的目的即是通过例题说明...     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

柯西不等式的推广及其应用

柯西不等式的推广及其应用徐幼明（湖北省浠水师范４３６２００）柯西不等式是人们熟知的重要不等式．柯西不等式有如下的推广：当且仅当ａ１１：ａ１２：…：ａ１ｍ＝ａ２１：ａ２２：…：ａ２ｎ＝…＝ａｍ１：ａｍ２：…：ａｍｎ时等号成立．笔者认为，若将此定理作进一...     

算术——几何平均不等式的简捷证明

算术——几何平均不等式是一个有着广泛应用的重要不等式．证明这个不等式有多种方法,但都较繁．本文给出一个比较简捷的证明方法．定理设ａ１,ａ２,…,ａｎ是ｎ个（ｎ∈Ｎ且ｎ≥２）正数,则１ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）≥ｎａ１ａ２…ａｎ,当且仅当ａ１＝ａ２＝…...     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

平均单叶函数的相邻系数

设ｆ（ｚ）＝ｚ＋Σａｎｚ＾ｎ为单位园｜ｚ｜＜１内解析且平均单叶，记其族为Ｍ又设｛ｆ（ｚ）／ｚ｝＾λ＝１＋Σ＾∞ｎ＝１Ｄｎ（λ），λ＞０，本文说明了：定理一 若ｆ∈Ｍ，λ＞０，则：Σ＾∞ｋ＝１｛｜｜Ｄｋ（λ）｜－｜Ｄｋ－１（λ）｜｜／ｄｋ（λ）｝＾２≤Ａｎ，ｎ＝２，３，…其中Ａ为绝对常数。ｄｋ（ｈ）＝ｈ（ｈ＋１）…（ｈ＋ｋ－１）／ｋ！当λ＝１／２，ｆ∈ｓ时为Ｉ．Ｖ．Ｍｉｌｍ所证明。定理二 若ｆ∈Ｍ并     

分式不等式的一种证法

分式不等式的一种证法李康海（浙江永康一中３２１３００）本文介绍一种证法．它不仅适用本刊文［１］、［２］类型的分式不等式，也适用于其它一些类型的分式不等式．由ａ２＋（λｂ）２≥２λａｂ得（ｂ＞０）（＊）当且仅当ａ＝λｂ时．等号成立．特别地，当λ＝１时，...     

对称平均值基本定理应用数例

对称平均值基本定理应用数例石焕南，石敏琪（北京联大职业技术师院１０００１１）（北京市成人教育学院）命题１设。和。１，…，。。是正数，且ＺＸｄ＝１，ｋ＝１人，…，几则ｉ＝１在所有这些情形中当且仅当ｘｌ＝…＝ｘ。＝·时等号成立．ｎ文［ＩＪ指出上述这组形式...