一道尺规作图的探究

<正>2015年北京中考16题给出了线段垂直平分线的尺规作图的作法,让学生写出作图的依据.作图依据主要有以下三种:(1)到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在PQ的垂直平分线上);两点确定一条直线(AB垂直PQ);(2)判定四边形ADBC为菱形;菱形的对角线互相垂直平分;(3)判定△ACD≌△BCD;根据全等的性质得到对应角相等;根据"三线合一"得出结论.以(1)为例,进行证明:     

我为高考设计题目

<正>题416已知长为4的线段PQ以原点O为中点,圆M经过P、Q两点且与直线x+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹Γ的方程;(2)斜率为正数的直线l与轨迹Γ交于不同的两点A,B,作线段AB的垂直平分线与轨迹Γ交于C、D两点,若A、B、C、D四点共圆,直线l的斜率是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.     

射影定理与立方倍积问题

<正>我们先来介绍和证明直角三角形中的射影定理.射影的定义过线段AB的两个端点分别向直线l作垂线,垂足为M、N,则称线段MN为线段AB在直线l上的射影(如图1).特别地,当线段AB的一个端点A在直线l上时(如图2),则线段AN叫做线段AB在直线l上的射影.射影定理在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.已知:如图3,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

谈谈到两异面直线距离相等的点的集合

在空间到两条平行直线等距离的点的集合是一个平面 ;在空间到两条相交直线等距离的点的集合是两个互相垂直的平面 ,但是在空间到两条异面直线等距离的点的集合是什么呢 ?本文特对此进行一番探究 ,供大家欣赏 .我们先证明以下引理 .引理　设直线l1,l2 平面α ,直线l1∩l2 =O ,则平面α到直线l1,l2 的距离的平方差为定值d(d >0 )的动点的轨迹为等轴双曲线 ,且以直线l1,l2 相交所成角的平分线为渐近线 .证　建立如下直角坐标系 :以l1与l2 交点O为原点 ,以直线l2 到直线l1的角的平分线为x轴 ,以直线l1到直线l2 的角的平分线为 y轴 ,则直线l1,l…     

空间动点轨迹

空间基本轨迹以平面基本轨迹为基础可以对比地逐一得出,一般而言,平面上轨迹若在空间研究,则点变化为相应的直线,直线则变化为相应的平面,而圆则变化为相应的球,如到两定点A、B的距离之比等于常量λ的动点轨迹,当λ=1时,在平面上是线段AB的垂直平分线,而在空间则是线段AB的垂直平分面;当λ≠1时,若分线段AB之比为λ的内外分点分別为P,Q,则在平面上轨迹是以PQ为直径的     

一道平面几何命题的应用及推广

1　命题及其证明命题　如图 1所示 ,若直线 l⊥线段 AB于 H ,则M1 A2 - MA2 =M1 B2 - MB2 (1)反之 ,若式 (1)成立 ,则 M1 M所在的直线 l⊥AB.图 1证明　∵　 l⊥线段AB,∴　由勾股定理得 :AM21 - AH 2 =H M21 ,AM2 - AH 2 =H M2 .两式相减得AM21 - AM2 =H M21 - H M2 . 1同理可得BM21 - BM2 =H M21 - H M2 . 2由 1、2得AM21 - AM2 =BM21 - BM2 .反过来 ,可设∠ AH M1 =θ,则∠ BH M1 =π -θ,∴　 M1 A2 - AM2　 =AH 2 +H M21 - 2 AH . H M1 cosθ- AH 2 - H M2 +2 AH . MH . cosθ　 =H M21 - H M2 - 2 …     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

一道习题与古典名题

题目 如图1,已弧AB if cD?f oF,诛、一 1 . 1 1让:丽十面一面‘ 证明 因为AB∥CD印oF, 所以器=器,所以图l丝 丝:1BD。BD “ 故有志 南一壶· 这是相似三角形内容中的一道常见习题,它的结论用途很广.本文就用它来解决一道古典名题:用直尺任意等分平行于一条已知直线的线段. 首先我们给平行于一条直线的已知线段二等分.已知AB∥￡,求:线段AB的二等分点P. 作法 如图2所示:1.在直线z上方取一点C,连结AC、BC,分别交z于F、E. 2.连结AE、BF‘交于点(),连结C0并延长交AB于P.P点就是AB的二等分点.图2 证明过O点作MJ\『∥AB交.AC于M…     

“平行线分线段成比例定理”的导学设计——和谐提问的技巧

为行文方便 ,本文简称“平行线等分线段定理”为“引理”;简称“平行线分线段成比例定理”为“定理”.1　变更引理的叙述 ,为和谐地扩展开路 .图 1　　“引理”是在平行四边形和梯形的基础上提出的 .如图 1 ,直线 l1∥ l2 ∥l3,若 AB =BC,则DE =EF.T:你能换一种方式 ,重新叙述这个命题么 ?……T:AB =BC,就是 ABBC=1 .S1:可改叙成 :如图 1 ,直线 l1∥ l2 ∥ l3,则ABBC=DEEF=1 .这个定理给出了任意等分一条线段的方法 .因为它告诉我们 ,只要一组平行线在一条直线上能截得相等的线段 ,那么它们在其他的直线上也能截得相等的线段 .定…     

巧用曲线系推广高考题

题目 (2005年高考湖北卷,21)设A、B是椭圆 3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C 、D两点.     

用平面区域的知识巧解一题

已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,那么直线l的斜率的取值范围是______.解由已知,可设直线l的方程为y-2=k(x+1),可化为kx-y+k+2=0,由于直线l与线段AB相交,可知点4(-2,-3)与点B(3,0)在直线l的两侧.     

圆中一个值得关注的结论及应用

<正>结论已知|AB|=2t,动点M到线段两端点A、B的距离的平方和为常数m(t≠0,m>2t2),则动点M的轨迹为圆.证明以AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-t,0)、B(t,0),设点M(x,y),由|MA|2+|MB|2=m得(x+t)2+y2+(x-t)2+y2=m,整理得x2+y2=m2-t2,因m>2t2,则动点M的轨迹为以原点为圆心,半径为r=     

抛物线切线的一个性质

定理　设抛物线Γ的对称轴为l,直线PA、PB分别切Γ于A、B,直线AA1和BB1都平行于l,AA1与PB交于A1,BB1与PA交于B1,则P为线段AB1和线段A1B的公共中点.证明　设Γ的方程为y2=2px(p>0),则直线l为x轴,再设A、B的坐标分别为(y212p,y1)和(y222p,y2)(y1≠y2),则切线AP方程为图1y1y=p(x y     

挖掘教材资源 全方位探究

<正>人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.1.2求曲线的方程例2:设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB垂直平分线的方程.教材解答如图,设点M(x,y)是线段AB垂直平分线上的任意一点,则点M属于集合P={M||MA|=|MB|}.把上述条件坐标化得     

一道高考题的背景、拓广与应用

问题1(2007年重庆卷,文21)倾斜角为α的直线经过抛物线交于A,两点(图略). 　　(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线ι的方程; 　　(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交X轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.……     

过定点且与线段相交的直线斜率问题

求过定点且与定段相交的直线斜率问题 ,是高中数学教学的一个难点 ,本文将就这类问题归纳总结 ,以达到化难为易的目的 .实例 :已知直线l过定点P(x0 ,y0 ) ,且与定线段AB相交 ,其中A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,求直线l的斜率k的取值范围 ?先考虑直线PA、PB斜率均存在的情况 .设PA、PB的斜率分别为k1 ,k2 不妨设k1 相似文献   

第十一章 直线方程

§1 基本公式要点有向线段,两点间的距离公式,线段的定比分点公式,三角形的重心公式。例1 A、C、B、D是直线l上的顺次四点。且|AB|=5,|BC|=3,|CD|=7,E、F分别为线段AC、BD的中点。求|AC|、|BD|、|BE|。解如图11-1。选定直线l的正向。则有向线段AB=5,BC=-3,CD=7。得     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

用翻折法找辅助线位置

在解平面几何问题时,经常要作辅助线,有些问题的辅助线添加在什么位置,往往很难确定.学过了轴对称以后,根据轴对称原理,把图形绕某直线翻折,翻折图形中的某点(或线段)的座落位置,就是添加辅助线的位置,再恰当作出辅助线就容易解题了. (一)用角平分线所在直线为轴翻折找辅助线位置 角是关于它的平分线所在直线为轴的轴对称图形,图中若有角平分线或可证明是角平分线,就可以用角平分线所在直线为轴翻折,从而作出辅助线. 例1 已知如图1,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于