综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

新题征展(63)

A　题组新编1 .( 1 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 1 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 2 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 3)动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =2 | xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 4 )动点 M( x,y)满足2 ( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 .2 .( 1 )过点 P( 1 ,2 )的直线与 x、y轴的正半轴分别交于点 A、B,试求 S△ AOB 的最小…     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,本文给出圆锥曲线与等比数列的一个性质.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),双曲线C2:mx22-ny22=1(m>0,n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为线段AB上的一点,则|OA|,|OP|,|OB|成等比数列的充要条件是P点的轨迹为C3:(ax22 yb22)(mx22-ny22)=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ<π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应点的距离.设A,B,P三点的坐标分别为:A(t1cosθ,t1sinθ),B(t2cosθ,t2sinθ),P(tcosθ,tsinθ).因A点在…     

抛物线中的若干最值问题

<正>过抛物线的对称轴上一定点引直线交抛物线于两点,则以这两点为端点的弦被对称轴上的定点截成两部分,本文给出这两部分组合的五个最值问题,并用统一的方法给以解答.问题1给定抛物线E:y2=2px(p>0),M(m,0)(m>0)是x轴(即E的对称轴,下同)上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B,求|AB|的最小值.     

双曲线定义的应用

<正>一、巧用定义,求双曲线的轨迹方程例1在△ABC中,B、C是两个定点且|BC|=12,点A为动点,满足||AC|-|AB||=1/2|BC|,求顶点A的轨迹方程.解析以B、C所在直线作为x轴,线段BC的垂直平分线作为y轴,建立平面直角坐标系.由已知得B(-6,0),C(6,0),     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

运用伸缩变换进行拓广类比——2010年高考数学江苏卷第18题初探

题1 (2010年江苏18)在平面直角坐标系xOy中,如图1,已知椭圆x29+y25=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点Mx1,y1,Nx2,y2,其中m>0,y1>0,y2<0. (1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹; (2)设x1=2,x2=13,求点T的坐标; (3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).     

巧用圆的定义求轨迹

<正>在"直线和圆的方程"这一章中常碰到一些求轨迹方程的题,常见解答过程如下:题1一条线段AB(|AB|=2a)两端点A和B分別在x正轴和y正轴上滑动,求AB中点M的轨迹方程.解设A (m,0),B (0,n),M (x,y),则x=m/2,     

一道习题的多解、引伸与联想

现行重点中学课本《解析几何》第81页15题:“一条县段AB(AB=2a)的两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动。求线段AB的中点M的轨迹方程”。我们以它为例说明如何对习题多解、引伸和联想。一、多解。对习题的条件和结论从不同角度去思考,探求各种不同的解法,是培养学生解题能力的一个重要方法。 1、直接法:设M(x,y),则M点的集合P={M||OM|=a},∴(x~2 y~2)~(1/2)=a,所求轨迹方程为x~2 y~2=a~2。 2、转移法:设M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y),∴((2x)~2 (2y)~2)~(1/2)=(2a)~2,故轨     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得:     

充分认识解析几何的一个图形

<正>在解析几何中有这样的一个图形:椭圆的左右顶点为A(-a,0)、B(a,0),直线MN与椭圆交于M (x_1,y_1)、N (x_2,y_2)两点,与x轴交于D(m,0)(|m|a)相交于点P(t,p),直线BM与直线x=t (|t|>a)相交于点Q (t,q),连接PB、BN,AN (如图1),以m>0,t>0来说明.     

参数几何意义的选择题

1 直线l的参数方程为{x=-1+1/2t,y=2-3(1/2)/2t}。 M_0(-1,2)和M(x,y)分别为l上的定点和动点,则t的意义是 (A)M_0m,(B)MM_0,(C)|M_0M|。 2 设点M(4cosθ,3sinθ)是椭圆x~2/16+y~2/9=1在第一象限的点。∠MOX=a、且a、θ为锐角,则有     

圆中一个值得关注的结论及应用

结论 已知｜AB｜=2t,动点M到线段两端点A、B的距离的平方和为常数m（t≠0,m〉2t2）,则动点M的轨迹为圆.     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

解圆问题常见错误分析

圆是中学数学的重要内容之一.圆的概念较多,综合性较强,且解题有一定的技巧性,学生在解题时经常因审题不严、考虑不周、应用能力差而错解题目.下面就学生在解题中出现的错误,分类辨析如下.一、不理解题意例1已知直线l:x=m(x<-2)与x轴交于点A,动圆M与直线l相切,并且与圆O:x2+y2=4外切.求动圆的圆心M的轨迹C的方程.错解设M(x,y),依题意得x2+y2=2+|x-m|,当x≥m时,得:y2=2(2-m)x+(2-m)2;当x相似文献   

二次曲线定点弦的一个优美性质

文 [1 ]给出了二次曲线定点弦的一个耐人寻味的性质 ,本文将给出二次曲线定点弦的另一个优美性质 .定理 1　椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 )的过定点M (m ,n) (m≠ 0且m≠±a)的动弦AB(不平行于焦点轴 )的两端点的切线交点N的轨迹是直线 :mxa2 + nyb2 =1 .证　设A (x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,N (x ,y) ,则切线AN :x1xa2 + y1yb2 =1 .切线BN :x2 xa2 + y2 yb2 =1 .图 1　定理 1图联立两方程可解得 :x =a2 ( y2 - y1)x1y2 -x2 y1( 1 )y =b2 (x1-x2 )x1y2 -x2 y1( 2 )设kAB=k (k≠ 0 ) ,则直线AB :y -n =k(x -m) ,y2 - y1=k(x2 -x1) ( 3)x1y2 …     

圆锥曲线的一个性质的证明与推广

在研究圆锥曲线与其它知识的综合问题时,我们发现抛物线的准线上任意一点与焦点弦的端点、焦点连线的斜率之间存在着一定关系,这种关系不仅可以类推到椭圆双曲线,而且还能将结论更一般化,下面将此性质加以推广和证明,希望能和读者共勉·命题1设点M(m,0)(m>0)是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的一点,过点M的直线与抛物线相交于A、B点·点N是直线x=-m上任意一点,则直线NA、NM、NB的斜率成等差数列·图1证明如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为:x=hy+m,由y2=2px,x=hy+m,消x得y2-2phy-2pm=0,∴y1·y2=-2pm·设点N(-m,n),则直线NA的斜率为kNA=xy11+-mn,直线NB的斜率为kNB=xy22+-mn·∴kNA+kNB=yy121-n2p+m+y2-ny222p+m=2yp12(y+12-pmn)+2py(22y+22-pmn)=2p(y1-ny12-y1y2+y22y2--y1ny2)=2p·y2(y1y-1yn2)(y-1y-1(y2y)2-n)=2p·y1ny(2(y1y1--y2y)2)=2p·y1ny2=2p·-2npm...     

从一道竞赛题看抛物线的一个优美性质

2010年全国高中数学联赛第10题:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2,且x1+x2=4,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.     

星形线作为直线族与椭圆族的公包络——中学教材中一道解析几何题的引伸

1.引子(圆)平面解析几何中有一个大家都很熟悉的题目,我们把它作为本文的引子: 一条线段AB(AB=r)的两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点P_0的轨迹方程(见六年制重点中学平面解析几何课本第81页第15题)。 解:设P_0点的坐标为P_0(x_0,y_0),以线段AB与x轴的夹角θ为参数,则