三角形等长截分点初探

众所周知,设P是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=φ,则点P称作△ABC的布洛卡点.其中φ称为△ABC的布洛卡角. 用类比的视角,若将上述概念中的∠PAB=∠PBC=∠PCA=φ,置换成线段长,即分别在△ABC的三边AB,BC,CA上取点D,E,F,使得AD=BE=CF=t,则CD,BF,AE是否可能共交于一点S? 笔者经过初步探究,得出了如下结果.     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

三角形等角共轭点的一个性质

定理 设P、Q为△ABC内两点,且∠PAB=∠QAC, ∠PBC=∠QBA,∠PCA=∠QCB,求证:(AP)/(AQ)=(sin∠BQC)/(sin∠BPC), (BP)/(BQ)=(sin∠AQC)/(sin∠APC), (CP)/(CQ)=(sin∠AQB)/(sin∠APB).     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

勃罗卡点的一个计算公式

如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,如果∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点。由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,P     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

余弦定理的证明方法赏析

<正>一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a²=b2=b²+c2+c²-2bccosA.     

一个猜想的部分证明

若P是△ABC内一点,且∠PAB=∠PBC=∠PCA=,α则称α为勃罗卡角,由匡继昌编著的“常用不等式”一书中提出的第85个猜想是:32α>1A 1B 1C(1)对此本文给出了部分证明.引理1[1]对x∈(0,π)则函数y=sin xx是减函数.引理2[2]△ABC的边长为a,b,c,△表示面积,α是勃罗卡角,则sinα=2△a2     

数学问题解答

1999年 12月号问题解答(解答由问题提供人给出 )12 2 6.设△ABC的三边长为 a,b,c.P为形内一点 ,且∠ PAB=∠ PBC=∠ PCA(即 P为布洛卡点 ) ,求证a2 b2 c2 ≤ 3 ( PA2 PB2 PC2 )证明　如图记 PA=R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,据题意知∠BPC=π-C,在△ BPC中用余弦定理可得 :a2 =R2 2 R3 2 -2 R2 R3 cos(π-C ) =R2 2 R3 2 2 R2 R3 cos C,同理 b2 =R3 2 R1 2 2 R3 R1 cos A,c2 =R1 2 R2 2 2 R1 R2 cos B,据熟知的不等式 :2 yzcos A 2 Zxcos B 2 xycos C≤x2 y2 z2 ( x,y,z∈R,A B C=π)得 :a2 b2 c2 =2 ( R1 2…     

一道初中几何题与国内外竞赛题

题1　在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:1a=1b 1c.这是一道常见的平面几何题,证法如下:延长CB到D,使BD=c,∴　∠D=∠BAD,　　∠CBA=2∠D.∵　∠CBA=2∠CAB,　∴　∠CAB=∠D.∵　∠C公共,　∴　△CAB∽△CDA,∴　CACD=CBCA,　即　ba c=ab,则有　　　　　　b2-a2=ac,(1)同理可证　　　c2-b2=ba.(2)(1) (2)得　c2=ac ab a2=a(a b c),∴　1a=a b cc2=a bc2 1c=a bab b2 1c,∴　　　　1a=1b 1c.(3)下面把题1引申,由于(1)式的证明步步可逆,立得　　题2　在△ABC中,若b2-a2=ac,则∠B=2∠A.由(3)式得　　　　bc=ac ab,(4)(…     

绝妙之证

题目已知p为△ABC内一点,BC=a,CA=b,AB=c,点p到△ABC的三边BC、CA和AB的距离分别为d_1、d_2、d_3。求证:a/d_1 b/d_2 c/d_3≥(a b c)~2/2S△ABC。(第22届IMO试题) 本题如用纯几何法论证,颇为繁琐!注意     

两种方法判断角的类型

<正>文[1]给出了一种判断角的类型的方法如下.在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c.(1)若a²+b2+b²=c2=c²,则∠C=90°,即∠C为直角;(2)若a2,则∠C=90°,即∠C为直角;(2)若a²+b2+b²>c2>c²,则∠C<90°,即∠C为锐角;(3)若a2,则∠C<90°,即∠C为锐角;(3)若a²+b2+b²2,则∠C>90°,即∠C为钝角.反之也成立,证明见文[1].本文再介绍两种判断角的类型的方法如下.     

一道IMO试题的拓广

一九九一年举行的第32届国际数学奥林匹克竞赛的第五题为: 设P为△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。下面将它拓广为: 定理设P为凸n边形A_1A_2…A_n(n≥3)     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题　设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明　如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴　△ABP∽△ADC.图1故　　　ABAD=APAC=BPCD.1又　∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知　△ABD∽△APC,于是　　　　ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理…     

四面体的正余弦公式及体积公式

在△ABC中,用a,b,c表示∠A,∠B,∠C的对边,则有以下边角关系成立: 1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC.     

2006中国数学奥林匹克(第2天)

1在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE AP=PD.证设AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n.因为∠ACP ∠PCB=90°=∠PBC ∠PCB,所以∠ACP=∠PBC.图1题1图延长AD至Q,使得∠AQC=∠A     

用边来判断角的类型

<正>在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c,(1)若∠C=90°,则a²+b2+b²=c2=c²;(2)若∠C<90°,则a2;(2)若∠C<90°,则a²+b2+b²>c2>c²;(3)若∠C>90°,则a2;(3)若∠C>90°,则a²+b2+b²2.结论 (1)是我们熟知的勾股定理,现在对(2)、(3)我们来给出证明.证明(2)分三种情况:(1)当∠B=90°时,结论显然成立;(2)当∠B>90°时,如图1,过点A作AD⊥BC交CB延长线于D,     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

解课外练习题两例

<正>例1 (本刊2018年3月(下)课外练习栏目初三年级的第2题)如图1,在正方形ABCD的外接圆上任取一点P.求证:PA+PC/PB和PC-PA/PD值均为定值.(这里点P取在弧AD上)参考答案证明连接AC交PB于M,由∠ABM=∠ABP,∠BAM=∠BPA,则△ABM∽△PBA, PA/PB=AM/AB.同理可证△PBC∽△CBM,PC/PB=CM/BC,而     

一题多解，多解同道——以2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题为例

<正>1 预赛试题2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题如下：若△ABC的三边a,b,c满足a²+b²+3c²=7,则△ABC面积的最大值为______.这是只有一个条件的求三角形面积的最值问题,属于中档题.注意到已知等式中a,b,c均带平方,且a与b是对称的,所以在选择面积的表示方法时,要充分考虑到这些因素,为下一步求最大值做好铺垫.2 解法探究设△ABC面积为S.解法1:因为当且仅当时,上式等号成立.