三等分定理及其应用

将初等几何与其它数学分支联系起来有助于学生对几何的理解力 ,并可促进发现一些新的现代技巧 ,这也是当前世界范围内数学教育革新的一个重要内容 (见文 [1 ]) ,本文试图结合三角学的知识 ,证明一个三等分定理 (用到一个与正弦定理类似的截比公式 ) ,并给出一个有趣的应用 .1　三等分定理如图 1 ,设△ＡＰＢ的顶角为 π3,则此三角形的外心Ｏ ,垂心Ｈ都在一半径等于△ＡＰＢ外接圆⊙Ｏ半径的⊙Ｃ上 ,且⊙Ｃ与⊙Ｏ正好交于Ａ ,Ｂ(两圆相等 ,且其圆心分别在彼此圆上 ) .设ＯＣ与ＡＢ交于Ｍ ,ＰＯ ,ＰＭ ,ＰＨ的延长线分别交⊙Ｃ于Ｘ ,Ｇ ,Ｙ ,…     

三角形中位线定理在证明四边形问题中的应用

应用三角形中位线定理证明四边形的有关问题 ,经常要用“取中点 ,连中位线”的方法 ,但到底在什么地方取中点 ,怎样利用中位线呢 ?这就是我们要研究解决的问题 .例 1　如图 ( 1 ) ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ为ＡＢ上一点 ,△ＡＤＥ和△ＢＣＥ都是等边三角形 ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ的中点分别为Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ .求证 :四边形ＰＱＭＮ是菱形 .分析 :欲证ＰＱＭＮ为菱形 ,即证明ＰＱ =ＱＭ =ＭＮ =ＮＰ .由已知Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ分别是四边形的中点 ,想到它们可能分别是三角形的中位线 .为此 ,先构造三角形 ,因而连结ＡＣ ,ＢＤ ,可推出ＰＱ =ＭＮ…     

向量法解立体几何中点线面的位置关系问题

为适应高中数学教材改革的新情况 ,需要研究用向量方法求解立体几何的各种问题 .本文举例说明如何用向量方法解决立几中点、线、面的位置关系问题 .以此强化“向量”的应用价值 ,激发学生学习向量的兴趣 ,从而达到提高探索和创新能力之目的 .现举例说明如下 .1　根据共线向量定理证点共线欲证点共线 ,通常先构造共始点的向量 ,再根据共线向量定理证明 .图 1　例 1图例 1　已知 ,如图 1,长方体ＡＣ1中 ,Ｍ为ＤＤ1的中点 ,Ｎ在ＡＣ上 ,且ＡＮ :ＮＣ =2 :1,Ｅ为ＢＭ的中点 .求证 :Ａ1,Ｅ ,Ｎ三点共线 .证　ＡＢ =ａ ,ＡＤ =ｂ ,ＡＡ1=ｃ,则Ａ1…     

关于型如a~2=bc的证明—源于课本一例题的启示

初中生在学习几何时 ,面对千变万化的题目 ,总感深不可测 ,不知如何下手解答 .针对这个问题 ,就要求我们学生在学习过程中除理解好各几何概念、公理、定理、性质、推论之外 ,还应注意理解和掌握各类题型的证明途径和方法 .课本中的例题 ,习题为我们提供了很好的参考学习的依据 .所以教师教学时 ,对课本例题 ,习题进行适当的变化或引申帮助学生对例题、习题的理解和对例题作用的认识 ,就非常重要了 .初中几何课本人教版第二册第 2 3 5页例 5:已知△ＡＢＣ ,Ｐ是边ＡＢ上的一点 ,连结ＣＰ .( 1 )∠ＡＣＰ满足什么条件时 ,△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ ;…     

Menelaus定理的推广及应用

Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理的推广及应用胡耀宗，孙斌（湖南益阳师专４１３０４９）众所周知，一直线截△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ或其延长线于Ｐ、Ｅ、Ｆ，则这就是著名的Ｍｅｎｅｌａｕｓ（梅涅劳斯）定理．这定理可以推广。命题一若一直线ｌ截首尾相接的平面折线ＡＢＣＤ...     

二面角计算公式的推广及应用

求二面角大小通常的方法是先作出二面角的平面角 ,把空间问题转化成平面问题加以解决 ,这是立体几何的一个难点 .而当二面角的棱没有事先给出的情形 ,要作出其平面角更显得困难 .为此 ,本文把一些常用的二面角计算公式作了推广 .这样 ,即可依据已知条件 ,无需作出平面角或添加辅助面 (线 ) ,直接确定其二面角的大小 .不难看到 ,采用这些公式对于解决某一类涉及二面角计算的问题相当见效 .设∠ＡＰＢ在平面Ｍ的一侧 ,顶点Ｐ在平面Ｍ上 ,边ＰＡ、ＰＢ与平面Ｍ所成角分别为α ,β(0 ≤α ,β <π2 ) ,在平面Ｍ上的射影分别为ＰＡ1 ,ＰＢ1 .平面…     

认真复习,跨越误区

为了帮助同学们培养良好的思维习惯、思维方法 ,达到提高思维品质的目的 ,老师常设计带有“误区”的练习题 ,让同学们练习 .但由于多方面的原因 ,同学们常常做错或找不到思路 .实践表明 ,在复习时 ,只要自觉养成全面思考、认真挖掘问题的条件的习惯 ,我们就能顺利跨越“误区” ,收到事半功倍的效果 .一、闯入圆幂定理的误区例 1　ＰＡ切△ＡＢＣ的外接圆于Ａ ,交ＣＢ的延长线于Ｐ .求证 :ＰＢＰＣ=ＡＢ2ＡＣ2 .图 1误区　有圆幂定理条件 ,同学们因只考虑用圆幂定理结论解题 ,而步入思维误区 ,从而找不到证明思路 .误区点拨　有圆幂定理条件…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

梯形中位线定理的证法举隅

培养正确迅速的运算能力 ,逻辑思维能力 ,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力是中学数学教学中的一个重要任务 ,要完成这一任务 .必须演算一定数量的题目 .但不少同学在演算习题时只追求数量而忽视有目的的总结、归纳 ,抓不住基本解题规律 ,这样尽管用了不少时间 ,费了很大精力 ,结果收效甚微 .本文以梯形中位线定理的证法来阐述知识的综合运用 .如图 1所示 ,已知 :在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,ＡＭ =ＭＢ ,ＤＮ =ＮＣ ,求证 :ＭＮ∥ＢＣ ,ＭＮ =12 (ＡＤ+ＢＣ) .分析 1 :利用三角形中位线定理来证 .证法 1 :(略 ,参见初二《几何…     

“三线合一”的应用

一 .什么是“三线合一”在等腰三角形中 ,顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ,简称“三线合一” .二 .“三线合一”的应用如右图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,(1 )∵ＡＢ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,ＢＤ =ＤＣ .(2 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＢＤ =ＤＣ ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,∠ 1 =∠ 2 .(3 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,∴ＢＤ =ＤＣ ,∠ 1 =∠ 2 .根据以上三个推理 ,灵活运用它们 ,是解题的关键 .例 1　一个等腰三角形底边上的高为 3ｃｍ ,那么它底求证 :ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ .(2 )当Ｐ不是边ＡＢ的中点时 ,ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ 是否仍然成立 ?请证明你的结论 .(北京市宣武区 2 0 0 1年初中升学统一考试题 )(1 )分析 :由于Ｐ是ＡＢ的中点 ,所以ＰＡ =ＰＢ ,从而 ＰＡＰＢ=1 .欲证 ＰＡＰＢ =ＣＭＣＮ,只需证 ＣＭＣＮ =1 ,即证ＣＭ =ＣＮ .连结ＰＣ ,因为ＡＣ =ＢＣ ,ＰＡ =ＰＢ ,根据“三线合一” ,得ＰＣ⊥ＡＢ ,ＰＣ平分∠ＡＣＢ ,即∠ＡＣＰ =∠ＢＣＰ .依题意得折痕ＭＮ⊥ＰＣ ,所以ＭＮ∥ＡＢ ,从而得∠ＣＭＮ=∠...     

立体几何中有关“角”的几个结论

立体几何中的角包括两条直线的夹角、两条异面直线所成的角、二面角以及直线和平面所成的角 .在立体几何中经常出现有关这些角的计算或论证问题 ,对这些问题 ,本文所给出的几个结论是非常有用的 .定理 1　如果二面角Ａ-ＰＣ-Ｂ为直二面角 ,∠ＡＰＣ =θ1 ,∠ＢＰＣ =θ2 ,∠ＡＰＢ =θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 .证明　(1 )若θ1 、θ2 都是锐角 ,过Ａ在面ＡＰＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ于Ｄ ,则ＡＤ⊥面ＰＢＣ .在面ＰＢＣ内作ＤＥ ⊥ＰＢ于Ｅ ,连结ＡＥ ,由三垂线定理 ,ＡＥ⊥ＰＢ .所以ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 =ＰＤＰＡ· ＰＥＰＤ =Ｐ…     

直线与圆

直线与圆是解析几何中最简单而变化丰富、应用广泛的内容之一 ,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础 .本讲主要突出如下三个问题 :1)直线和圆的方程 .2 )直线与直线、直线与圆的位置关系 .3)直线系与圆系的方程 .例 1　 (第 10届希望杯邀请赛试题 )过点Ｐ(6 ,8)作两条互相垂直的直线ＰＡ、ＰＢ ,分别交ｘ轴正半轴于Ａ ,ｙ轴正半轴于Ｂ .1)求线段ＡＢ中点的轨迹 ;2 )若Ｓ△ＡＯＢ=Ｓ△ＡＰＢ,求ＰＡ与ＰＢ所在直线的方程 .讲解　对于第 1)小题 ,常见的思路有两种 :一是利用ｋＰＡ·ｋＰＢ=- 1建立线段ＡＢ中点的轨迹方程 ;二是引入斜率…     

一道立体几何高考题的九种证法

题目 :( 1991年“三南”高考题 )如图 1,已知在直三棱柱ＡＢＣ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＡＣ =30° ,ＢＣ =1,ＡＡ1 =6 ,Ｍ是ＣＣ1的中点 .求证 :ＡＢ1 ⊥Ａ1 Ｍ .思路 1:利用三垂线定理证之 .易证Ｂ1 Ｃ1 ⊥面ＡＡ1 Ｃ1 ,可知ＡＣ1 是ＡＢ1 在面ＡＡ1 Ｃ1 内的射影 ,若能证Ａ1 Ｍ⊥ＡＣ1 ,由三垂线定理即知ＡＢ1 ⊥Ａ1 Ｍ ,问题转化为在矩形ＡＡ1 Ｃ1 Ｃ中 ,证Ａ1 Ｍ⊥ＡＣ1 .证法 1　 (等面积法 )在图 2中 ,ＡＡ1 =6 ,易求Ａ1 Ｃ1 =3,,ＭＣ1 =62 .在Ｒｔ△Ａ1 ＭＣ1 中 ,Ａ1 Ｍ =322 ,设Ａ1 Ｍ边上的高为ｈ ,由Ａ1 Ｃ1 ·Ｍ…     

平几中的“分点坐标公式”及应用

平几中的“分点坐标公式”及应用１１６６００大连开发区一中邹楼海定理如图１，Ｐ为△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点，一直线分别交ＡＢ、ＡＣ、ＡＰ干Ｍ、Ｎ、＿、＿．Ｂ尸＊Ｍ＊ＮＱ．记人一＿，。；一＿．ｘ，一＿．、、··。－ＰＣ·－ＩＭＡ”－‘ＮＡ”＿Ｑ。，。；．；，...     

定比分点坐标公式引出的另几个结论

文 [1 ]给出了定比分点坐标公式引出的几个结论 ,在各类数学问题中还有许多与此公式相类似的结果 ,笔者进行了一些探索 ,又得到如下几个结论供同行参考 .结论 1　设Ｐ ,Ａ ,Ｂ ,Ｍ是以Ｏ点为圆心 ,Ｒ为半径的圆周上的四个点 ,∠ＰＯＡ =α ,∠ＰＯＢ =β(约定∠ＰＯＡ表示始边ＯＰ绕着Ｏ点旋转到终边ＯＡ所成的角 ,逆时针旋转为正角 ,顺时针旋转为负角 ) .ＡＭ∶ＭＢ =λ ,则　∠ＰＯＭ =α λβ1 λ .图 1　圆证　如图 1 ,设∠ＰＯＡ =α (弧度 )∠ＰＯＢ =β (弧度 ) ,∠ＰＯＭ =ｘ (弧度 ) ,∵λ =ＡＭＭＢ=ＰＭ -ＰＡＰＢ -ＰＭ=ｘＲ …     

空间四边形的一个定理

定理　在空间四边形中 ,如果它的两组对边分别相等 ,那么连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ;反之 ,如果连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ,那么它的两组对边分别相等 .图 1已知 :空间四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ、Ｆ分别是两对角线ＡＣ和ＢＤ的中点 .求证 :(1 )若ＡＢ =ＣＤ ,ＢＣ =ＡＤ ,则ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ;(2 )若ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ,则ＡＢ=ＣＤ ,ＢＣ=ＡＤ .证明　如图 1 ,取ＡＢ的中点Ｐ ,ＢＣ的中点Ｍ ,ＡＤ的中点Ｎ ,连结ＰＥ、ＰＦ、ＰＭ、ＰＮ和ＥＭ、ＥＮ、ＦＭ、ＦＮ ,则ＥＭ =∥ 12 ＡＢ ,　ＦＮ =∥ 12 ＡＢ ,…     

对"三面角的棱面角公式"的另一简证

《数学通报》2 0 0 1年第 1期刊登了黎友源老师的文章《三面角的棱面角的计算公式》(以下简称文 [1 ]) ,该文给出了三面角中棱与面所成的角与三面角间的关系 ,公式应用广泛 ,读后受益非浅 .在阅读过程中发现文 [1 ]中的定理可看作《立体几何》课本Ｐ1 2 2页 第 3题的推广 ,是进行开放、创新教学的良好素材 ,但在证明过程中辅助线多 ,且用到高二才将学到的正、余弦定理、不能在高一学生中讲授 .现给出一种能让高一学生也能掌握的简捷证明 ,供参考 .文 [1 ]公式如下 :定理　在三面角Ｓ-Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,三个面角∠Ｃ1 ＳＢ1 =α ,∠Ａ1 ＳＣ1 …     

关于两条直线平行的证明

两条直线平行的问题”是几何的基本内容 ,在初中几何中占有重要的地位 .有关两条直线平行的证明有许多灵活的方法 .下面就证明两条直线平行的方法作一归纳 ,供大家学习 .一、证明两条直线平行常用的方法1.利用平行线的判定定理来证明 .2 .利用比例式来证明 .3.利用三角形 (或梯形 )的中位线定理来证明 .除以上方法外有时也利用平行四边形的定义来证明 ,或者利用三角形的等积关系等来证明 .二、应用例子例 1　已知 :如图 ,⊙Ｏ是等腰三角形ＡＢＣ的外接圆 ,过顶点Ａ作⊙Ｏ的切线ＡＥ .求证 :ＡＥ∥ＢＣ .证明 :∵ＡＥ是⊙Ｏ的切线 ,∴∠ＥＡＣ =∠Ｂ .又∵△ＡＢＣ是等腰三角形 ,∴∠Ｂ =∠Ｃ .∴∠ＥＡＣ =∠Ｃ .∴ＡＥ∥ＢＣ .例 2　如图 ,Ｃ是线段ＡＢ上一点 ,分别以ＡＣ ,ＣＢ为一边作等边三角形ＡＣＤ和等边三角形ＣＢＥ ,ＡＥ交ＣＤ于Ｍ ,ＢＤ交ＣＥ于Ｎ .求证 :ＭＮ∥ＡＢ .分析 :要证明两直线平行 ,结合已知条件△ＡＣＤ和△ＣＢＥ是等边三角形 ,所以应该用平行线的判定定理来证明 .解 :∵△ＡＣＤ和△ＣＢＥ是等边三角形 ,∴ＡＣ =ＣＤ ,ＣＥ =ＣＢ .又　∠ＡＣＤ =∠ＥＣＢ =6 ...     

Erds-Mordell定理的两个简捷证明

1935年 ,Ｐ·Ｅｒｄ ｓ提出如下猜想 :定理　设Ｐ为△ＡＢＣ内任一点 ,Ｐ到三边ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ的距离分别记为ＰＬ=ｒ1 ,ＰＭ =ｒ2 ,ＰＮ =ｒ3,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ ≥ 2 (ｒ1 ｒ2 ｒ3)①1 937年Ｌ·Ｊ·Ｍｏｒｄｅｌｌ和Ｄ·Ｆ·Ｂａｒｒｏｗ分别给出了证明 ,但并非初等的 .此后便称之为Ｅｒｄ ｓ-Ｍｏｒｄｅｌｌ定理 ,①式称为Ｅｒｄ ｓ -Ｍｏｒｄｅｌｌ不等式 .直到 1 945年 ,由Ｄ·Ｋ·Ｋａｚａｒｉｎｏｆｆ给出第一个初等证明 ,此后若干初等证明才相继出现 .作为对当代国际著名数学大师Ｅｒｄ ｓ的纪念 ,《美国数学月刊》…     

简易逻辑中的几个常见错误及教学建议

高一新教材增加了“简易逻辑”内容 ,从教学实践与一些教学辅导书上看 ,由于是新增内容 ,常犯一些典型错误 ,本文对与“或”、“且”、“非”有关的一些常见错误加以分析 ,并提出一些教学建议 .1　“或”1 .1　教材中典型例子1 )Ｐ2 5引例 :① 1 0可以被 2或 5整除 .②不等式ｘ2 -ｘ - 6 >0的解集是 {ｘ|ｘ <- 2 ,或ｘ >3}.2 )Ｐ2 6例 1 ( 2 ) :李强是篮球运动员或跳高运动员 .3)Ｐ2 6练习 2 ( 4 ) :正数或 0的平方根是实数 .从以上可以看出教材中给出的“或”形式有两种最基本类型 :①Ａ是Ｂ ,其中Ｂ中有联结词“或”(如例 1 ( 2 ) ) ;②Ａ…