拟Hermite-Fejer插值多项式的逼近特性

设f∈C[-1,1],x_(h,n)=ciskπ/n+1,k=1,2…,n为第二类Chebyshev多项式U_n(x)=sin(n+1)θ/sinθ(x=cosθ)的零点。拟Hermite-Fejer插值多项式为O_n(f,x)=((1+x/2)f(1)+(1-x/2)f(-1))(U_n(x)/n+1)~n+     

关于第二类Bernstein型插值过程

设f(x)∈c[-1,1],U_n(x)=sin(n+1)θ/sinθ(x=cosθ)为第二类多项式,x_k=cosθ_k=cos(kπ)/(n+1)(k=1,…,n)为其 n 个零点。又记 x_0=1,x_(n+1)=-1。文考虑了以{X_k}(k=0,1,…,n+1)为节点的第二类 Bernstein 型插值过程:     

关于拟HEMITE-FEJR插值过程的敛速估计

§1设函数 f(x)∈C[-1,1],x=cosθ,0≤θ≤π.记 N=n 1,以第二类 Chebyshev多项式:U_n(x)=(sin Nθ)/(sinθ)的零点     

关于用某些有理插值算子逼近的若干结果

设 F∈C[-1,1],T_n(x)=cos nθ(x=cosθ)是 n 次的 Chebyshev 多项式,用 x_k=cos0_k=cos (2k-1)/(2n)π(k=1,…,n)表示 T_n(x)的零点。设ω(t)是给定的连续模,H_ω={f;ω(f,t)≤ω(t)}.本文,c(a)表示仅与 a 有关的正的常数,但每次未必表示同一值,‖·‖表示通常的上确界范数。考虑下述正线性算子     

关于一种有理插值逼近

设 -1=b_(n+1)相似文献   

关于Bernstein插值过程的新估计

1.设f∈C[-1,1],Tn(x)=cos nθ(x=cos θ)是n阶Chebyshev多项式。Tn(x)在(-1,1)中的所有零点是 我们用     

高阶Hermite-Fejer型插值的渐近估计

1. Introduction Let f∈C[-1,1] and X_k=X_(kn)=COSθ_k=COS(2k-1)π/(2n)(k=1,…,n) be the zeros of the Chebyshev polynomial T_n(x)=cosnθ(x=cosθ). Let ω(t) be a given modulus of continuity and H_ω={f;ω(f,t)≤ω(t),for all.t≥0}. In this paper, c will always denote different constant independent of x, n and f and the sign"A～B" means that there exist two positive constants c_1相似文献   

两个简单结论在解竞赛问题中的应用

结论 1　a ≥ f(x) a ≥ [f(x) ]max.结论 2　a ≤ f(x) a ≤ [f(x) ]min.上述两个结论为我们解决含参数恒成立数学竞赛问题提供了一种简捷的方法———分离参数法 .本文以数学竞赛问题作为实例 ,谈一谈这两个简单结论在求解数学竞赛问题中的重要应用 .例 1　 (1996年全国高中数学联赛题 )求实数a的取值范围 ,使得对任意实数x和任意θ∈ [0 ,π2 ]恒有(x+ 3 + 2sinθcosθ) 2 + (x+asinθ+acosθ) 2≥ 18.分析　设t=sinθ+cosθ,因为θ∈ [0 ,π2 ],则原不等式可化为(x+ 2 +t2 ) 2 + (x+at) 2 ≥ 18,t∈ [1,2 ].因为　 (x+ 2 +t2 ) 2 + (x…     

一道联赛题的两种解法

1999年全国高中数学联赛第三题是一道三角不等式问题 ,难度适中 ,能充分考查学生的基本素质 .题目　已知当x∈ [0 ,1]时 ,不等式x2 cosθ -x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .命题组提供的解答构思巧妙 ,方法独特 ,但技巧性较强 ,学生不易想到 .下面介绍两种学生容易接受和掌握的常规解法 .方法一　 (判别式法 )设　f(x) =x2 cosθ-x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ=( 1+sinθ+cosθ)x2 -( 2sinθ +1)x+sinθ ,易知二次函数 f(x)的对称轴x =2sinθ +1( 2sinθ+1) +( 2cosθ +1) .由x∈ [0 ,1] ,f(x)恒正可知f( 0 ) =sinθ>0 ,　f…     

一种拟Grünwald插值算子的Lp收敛速度

1 引言 设f（x）为[-1,1]上的连续函数，则以第二类Chebyshev多项式Un（x）（Un（cosθ）=sin（n＋1）θ/sinθ的全部零点{xk=cos k/n＋1 π}^n k=1为插值结点组的f的Grunwald插值多项式为     

一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,     

ON SIMULTANEOUS APPROXIMATION TO A DIFFERENTIABLE FUNCTION AND ITS DERIVATIVE BY INVERSE PAL-TYPE INTERPOLATION POLYNOMIALS

Let ξn-1<ξn-2 <ξn-2 <… < ξ1 be the zeros of the the (n -1)-th Legendre polynomial Pn-1(x) and - 1 = xn < xn-1 <… < x1 = 1 the zeros of the polynomial W n(x) =- n(n - 1) Pn-1(t)dt = (1 -x2)P'n-1(x). By the theory of the inverse Pal-Type interpolation, for a function f(x) ∈ C[-1 1], there exists a unique polynomial Rn(x) of degree 2n - 2 (if n is even) satisfying conditions Rn(f,ξk) = f(∈ek)(1≤ k≤ n - 1) ;R'n(f,xk) = f'(xk)(1≤ k≤ n). This paper discusses the simultaneous approximation to a differentiable function f by inverse Pal-Type interpolation polynomial {Rn(f,x)} (n is even) and the main result of this paper is that if f ∈ C'[1,1], r≥2, n≥ + 2> and n is even thenholds uniformly for all x ∈ [- 1,1], where h(x) = 1 +     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

基于第二类Chebyshev多项式零点的Pal-型插值多项式的逼近

设{x_k}_(k-0)~n是n 1次多项式U_n(x)=(1-x~2)U_n(x)的零点,其中U_n(x)是第二类Chebyshev多项式。设是的零点。根据Pal的插值理论,对函数f∈C~1[-1,1],存在唯一的2n 1次多项式满足条件: 本文研究用Pal型插值多项式对函数f∈C~r[-1,1](r≥1)和它的导函数的逼近。     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

新题征展(26)

A　题组新编1 .已知函数 f ( x) =3ax 1 - 2 a,( 1 )若在区间 [- 1 ,1 ]上存在 x0 使得f ( x0 ) =0 ,则 a∈ ;( 2 )若在区间 [- 1 ,1 )上 f( x)的图象在x轴的下方 ,则 a∈ ;( 3)若 f ( x)的图象与椭圆 x29 y24 =1恒有公共点 ,则 a∈ .2 .已知函数 f ( x) =2 sin( 3x 4θ) .( 1 )若 f ( x)的图象关于点 ( 2 ,0 )对称 ,则θ = ;( 2 )若 f ( x)的图象关于直线 x =2对称 ,则θ = ;( 3)若 f ( x)在区间 [π6 ,π4 ]上单调递增 ,则θ的取值范围是 .3.已知△ ABC,给出下列条件 :1 cos2 A cos2 B cos2 C =34;2 tan ( A - B) .cos C =0 …     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

在不定积分计算中不能忽视"区间I"

有这么一道求不定积分的题目 :例 ∫ 1 -sin2θdθ在以往的教学乃至某些考研资料中发现有这样做的 :解 ∫ 1 -sin2θdθ=∫ (sinθ-cosθ) 2 dθ=∫ |sinθ-cosθ|dθ=± (cosθ+sinθ) +C初看似乎没错 ,但仔细推敲就会发现有问题。实际上只有当θ∈ [2kπ -3π4,2kπ + π4]时 (k是整数 ) ,cosθ-sinθ 0 ,才有(cosθ+sinθ)′=cosθ -sinθ=｜sinθ-cosθ｜从而cosθ+sinθ在这些区间上才是 |sinθ-cosθ|的一个的原函数。而当θ∈ [2kπ + π4,2kπ + 5π4]时 ,sinθ-cosθ 0 ,(-cosθ-sinθ)′=sinθ -cosθ=｜sinθ-cosθ｜从而与上面…     

上期课外练习参考解答

1.令cosx=t,t∈[-1,1],则f(t)=t+3+1/(t+3)在[-1,1]内的值域为:f(-1)≤f(e)≤f(1),即5/2≤y≤17/4.2.把已知方程化为x2-4x+4=0(x>1),即x=2.由题意得B/A=2,sinC/sinA=2,于是有B=2A,sinC=2sinA,而A+B+C=π,∴C=π-3A,∴sinC=sin3A=2sinA,即3sinA-4sin3A=2sinA.     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,