如何用导数判断函数单调性

函数的单调性是函数的重要性质,也是高考的热点问题,若利用函数定义求解,一般较为复杂.但是利用导数求函数的单调就有效地解决了这一难题.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.下面对利用导数判断函数的单调性的几个注意点加以说明.一、f′(x)>0(<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件例1用导数来判断函数f(x)=x3(x∈     

关于“分段点”可导性判定的一个定理

如何判断分段函数在分段点处可导性,并求出导数?通常的作法(1)先判断连续性,若不连续,必不可导.(2)如果连续,再按导数的定义求导,由于在分段点两侧,函数表达式可能不同,则一般要通过计算分段点处左右导数来判断.实际上,在函数连续的基础上,可借助导函数在分段点处的极限,来判定并求出分段点的导数.这是因为有如下的定理:     

关于连续函数导数不存在的定义及分类

一、引言“高等数学”教材中 ,函数导数的不存在性 ,一般仅在给出函数导数存在的定义之后 ,用一两句话带过。如 :同济大学的《高等数学》(第四版 ) ,在第 98页有这样一句话 :“如果极限 (4)不存在 ,就说函数 y=f (x)在点 x0 处不可导 ,如果不可导的原因是由于Δx→ 0时 ,比式 ΔyΔx→∞ ,为了方便起见 ,往往也说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大。”学生在学习时 ,容易产生这样的疑问 :到底函数不可导是如何定义的 ?它会出现哪些不同的情况 ?不连续必不可导这是大家熟知的 ,本文讨论了连续函数导数的不存在的定义及其分类 ,希望能解答…     

关于分段函数在分段点导数的定理

分段函数在分段点的导数,一般要由导数定义:f°(x_0)=(?)f_(x)-f_(x_0)/x-x_0确定;如果形式地用导数公式,求在分段点X_0的导教f°(x_0),要基于以下充分性定理.     

要重视用导数来研究函数性质

中学生数学2003年9(上)期高考数学早班车三角函数部分的问题2.7. 已知:函数f(x)=(a-2cosx)/(3sinx)在区间(0,π/2)内是增函数,求实数a的取值范围. 该题答案用函数的单调性定义来解较为繁琐.新课程增加了导数部分,如果利用导数来研究就非常简单.解答如下:     

导数在解决函数问题中的应用

导数是解决函数的单调性、极值、最值、切线等问题的有力工具,作为高中数学的新增内容之一,运用导数研究函数的恒成立、最值、方程、不等式的证明等问题是近几年高考的热点,也将是命题的新增长点.如果给定函数解析式次数高于二次、形式复杂时,常考虑用导数解决函数问题.     

用Ruscheweyh导数刻画的解析函数新子类

引进并研究用Ruscheweyh导数定义的解析函数类Sk,[λα,β,ρ].结合算子理论导出类中函数的积分表达式、偏差定理,讨论类中函数的半径问题和Hadamard卷积性质.     

广义函数的集值导数

本文应用广义函数的调和表示,引进了一维广义函数的集值导数,并给出了连续函数的集值导数的几种等价定义.局部Lipschitz函数的集值导数同Clarke定义的广义梯度一致;广义函数在一点附近是Lipschitz 函数之充要条件是它在该点的集值导数是有限的.当广义函数在某点的集值导数不同时包含+∞和-∞时,它的广义导函数在该点的某邻域上是Radon测度.利用一阶集值导数,给出了连续函数的逆函数存在定理;应用高阶集值导数,得到了广义函数取极值的两种非常一般的充分条件.广义函数在一个开区间上成为凸函数的充要条件是它在该区间内每点处的二阶集值导数都包含在[0,+∞]之中.于是,本文建立起一元非可微函数的一套令人满意的微分理论.     

有界解析函数的n阶导数估计

本文研究了有界解析函数的n阶导数估计.利用有界解析函数泰勒展开式的系数估计,得到了n阶导数估计的一般式,改进了已有的相关结果.     

聚焦导数定义

导数是高中数学的新增内容,为高中数学 注入了新的活力,利用导数可从更深的角度来 研究函数的性质.本文聚焦导数定义,对平时 遇到的有关导数概念的题目分类分析,以期加 深对导数概念的理解和应用. f(x)在点x0处的导数:     

局部流代数和可微分变换群的表示

本文给出广义函数空间上关于可微分变换群拟不变测度的Radon-Nikodym导数一个基本解析表达式.并且给出用这个表达式来求一类局部流代数表示的方法.     

关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析

求分段函数在分段点处的导数，包括讨论它是否存在，一般都应根据导数的定义，并利用导数存在的充要条件，即“左、右导数均存在且相等”，才能确定函数在分段点处的导数是否存在。如存在，则可得到函数在该分段点处的导数值。笔者发现，经常出现不用导数定义讨论的情况。现举例剖析如下。1．盲目地用上“分段函数的导函数在分段点处连续”的条件。例1设函数问f（0）是否存在？解法一按导数定义，f（X）在X=0处的左、右导数分别为由于／－（0）一／＋（0）一0，所以／（0）存在，且／（0）一见解法二当X＜O时，／（X）一（X勺‘一ZX，所…     

导数连续的一个条件

考虑分段函数在分界点处的可导性时,一个方法是:根据命题“函数f(x)在x=x_0处可导的必要充分条件是其左导数f_-~′(x_0)和右导数f_+~′(x_0)都存在且相等”,利用左、右导数定义考察左、右导数是否存在且相等.但是由定义求导数常使人感到不便.一些同学自然地想到用另一种方便的方法:先分别求x_0左右两段f(x)的导函数f′(x),再考察其左极限     

关于函数分段点处导数的一点注记

函数在分段点的导数是微积分教学中的一个难点.剖析了学生在解涉及分段点的导数这类题目时常常会犯的一个错误,给出了函数在分段点处可导的一个充分条件,利用这一条件判断函数在分段点处的可导性比用定义判断要方便得多.     

关于分段函数在分界点处导数问题的讨论

对分段函数,我们常见的一类问题是讨论它在分界点的可导性．按常规的做法,分段函数在分界点处的导数用定义去计算,但在学生学习中,有不少学生不愿也不易接受这种方法,而是采用对不同区间上函数求导来计算,这种做法在一定条件下是可行的,这里就这类问题通过一些实例分析说明．对分段函数f（X）,讨论在分界点X0X0的可导性,归纳一般步骤如下：1．若f（X）在点X0不连续,则它在点X0不可导;2．若f（X）在点工。连续,且在点X0左、右导数都存在且相等,则f（X）在点X0可导．对如上第二步中,左、右导数一般用定义计算,但在函数满足…     

多元函数可微性的几个充分性定理

<正> 现行《数学分析》和《高等数学》各本教材中,都有二元函数的可微性充分条件的定理:如果函数z=f(x,y)的编导数在点P(x,y)连续,则函数在该点的全微分存在.由于此定理要求两个偏导数在点(x_0,y_0)都连续.这对函数f(x,y)的要求是比较苛刻的,可是我们经常会遇到函数u=f(z,y)在点(x_0,y_0)的某一个偏导数存在而不连续,而另一个偏导数存在且连续.遇到这类函数就无法用可微性充分条件定理去判定函数u=f(x,y)在点(x_0,y_0)是否可微.     

三角函数的推广

利用函数方程定义仿正切函数类,再用仿正切函数定义仿正、余弦函数类,并对这些函数类进行研究.所定义的函数类中的函数具有通常三角函数的性质及运算规律,故而可将其作为三角函数的某种推广.通过实例证实.了通常的正切函数其实是仿正切函数的一种解析延拓.     

n阶导数的求法探讨

求一个函数的任意阶导数往往是十分困难的.但对一些函数,在求高阶导数的过程中,呈现出明显的规律性,我们就可用数学归纳法来求它们的任意n阶导数.如一般高等数学中已求得的几个初等函数的n阶导数     

解析函数在本性奇点的一些研究

用正规族理论,研究解析函数在本性奇点附近性质,得到解析函数及其导数在孤立本性奇点附近的一些结果.     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…