小球碰杯底问题的研究

<正>最近发现研究小球碰杯底的题目还真有一番情趣,增长不少见识,大多数题目是以下面的方式呈现的.题1在抛物线y=x²内画一个圆,问在什么情况下圆的"底部"能碰到抛物线的"底部"?解设圆的方程为x2内画一个圆,问在什么情况下圆的"底部"能碰到抛物线的"底部"?解设圆的方程为x²+(y-r)2+(y-r)²=r2=r²,r>0.     

抛物线的一个特殊性质

<正>在有关圆锥曲线的题目中,常常涉及到抛物线与圆的位置关系的分析和计算.而在一次对圆与抛物线的研究中发现,我们能够通过圆来展现抛物线的某种特殊性质.引例平面存在一圆(x-2)²+y2+y²=     

一道抛物线质检题的解法探究

<正>题目过点P(a,-2)作抛物线C:x²=4y的两条切线,切点分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).(1)求证:x₁x₂+y₁y₂为定值．(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由．本题是笔者在高三复习中遇到的一道质检题,第一问求解容易;第二问难度较大,求解不易．本文对第(1)问给出一种解法,重点探究第(2)问的求解方法．     

椭圆中心三角形面积最大值问题探究——以一道2021年联考题为例

<正>1题目呈现及解法分析题目(广东省2021届高三四校联考,21)已知离心率为12的椭圆■与抛物线C_2:y²=2px(p>0)有相同的焦点F,且抛物线经过点P(1,2),O是坐标原点.(1)求椭圆和抛物线的标准方程;(2)已知直线l:x=ty+m与抛物线交于A、B两点,与椭圆交于C、D两点,若△ABP的内切圆圆心始终在直线PF上,求△OCD面积的最大值.     

回归函数本质解函数综合题

<正>2019年的北京市丰台区初三期末考试中有一道函数综合题,着实难住了一些同学,下面就是这道题:在平面直角坐标系xO y中,抛物线y=ax²+bx+3a过点A (-1,0).(1)求抛物线的对称轴;(2)直线y=x+4与y轴交于点B,与该抛物线对称轴交于点C,如果该抛物线与线段BC有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.此题的第(1)问比较容易,不再赘述.第(2)问的得分率明显降低.在考试后的访谈中,     

一道高考题的多种解法

题目 (2000年全国高考题 ):过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别是p、q,则1p+1q等于(　　)(A) 2a　　 (B)12a　　 (C) 4a　　 (D)4a思路 1　抓住“过焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点”这一条件,利用特殊位置,可获得简捷解法.　　解法 1　由y=ax2 得x2 =1ay,于是抛物线的焦点为F 0,14a,如图,取过点F且平行于X轴的直线与抛物线交于P、Q两点,显然PF=FQ,即p=q,设Qx,14a,将其代入抛物线方程易求得x=12a. 　∴p=q=12a,即1p+1q=4a,故应选C(　　).思路 2　题目给定的已知条件“线段PF,PQ的…     

一道综合题的多解与反思

<正>一题多解是培养正确理解和灵活运用数学知识及方法的有效途径,也是培养发散思维的途径之一,更是提高复习效率的有效办法,现以一道典型的圆锥曲线综合题为例,谈谈一题多解及解后反思在学习中的作用.题目已知抛物线C:y=x²,直线l:x+y+1=0,设P为直线l上的一动点,过点P作抛物线C的两条切线PA     

一道中考模拟试题的解法探究

题目(十堰市2011年中考模拟试题)已知抛物线与x轴的两交点之间的距离为2,且经过P(0,-16),顶点在直线y=2上,求它的解析式.分析求抛物线的解析式一般根据题中已知条件的顶点坐标、与x轴的交点坐标,经过点的坐标,将抛物线的解析式设为顶点式:y=a(x-h)2+k、交点式:y=a(x-x1)(x-x2)、或一般式:y=ax2+bx+c.但本题已知条件的顶点     

突出课标理念 解读一道精题——2010年遵义市中考试题第27题解读

本文对2010年遵义市中考试题第27题进行解读,以期寻求中考数学试题的价值性,提高中考复习的有效性.题目 (2010年遵义)如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D.     

对一道经典折叠压轴题的探析与建议

一、问题呈现题目平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,8),D是线段AB上的一点,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处(如图1),有一抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)经过O、C、D三点.(1)求线段AD的长及抛物线的解析式     

分离图形抗干扰,模式识别善转化——2014年广东广州卷第24题思路突破与解后反思

以抛物线为载体的综合题是很多地区喜欢采用的命题方式,具体求解时往往要排除抛物线和其他线条带来的干扰,本文以2014年一道考题为例,先给出思路突破,再做出解后回顾反思,与同行研讨. 一、考题及思路突破 题目 (2014年广东广州卷第24题)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2 +bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m,n)(n＜0)为抛物线上一点.     

始料未及的定值

题目 等腰直角ZkAOB内接于抛物线y2=2px（p〉0）,0为抛物线的顶点,则△AOB的面积是（ ）     

探求函数解析式的几种方法

函数解析式是函数中变量问题的对应关系式,当题目的条件给出时,如何正确地分析理解题意,并用最好的方法来写出函数解析式,是一些学生们常遇到的难点.相同的题目,不同的理解,不同的立足点,可能导致解题的难易程度不同,接下来就让我们来看一些例题.例1:已知抛物线y=ax2+bx+c,过点A(0,-4),B(3,-4),C(-1,-2),求这个函数的解析式.分析:这道题目的条件中给出了抛物线上的三点的坐标,那么用三点代入法即可求得a,b,c,有没有更简单的方法呢?经观察A、B两点的纵坐标相同,说明这两点关于这条抛物的对称轴对称,因此可得b2a=0+32=32,即b=-3a,又由A点坐…     

巧用抛物线的轴对称性解题

<正>抛物线y=ax2+bx+c是以直线x=-b/2a为对称轴的轴对称图形,不难得到如下结论:(1)抛物线上对称两点的纵坐标相等;反之,抛物线上纵坐标相同的两点是对称点.(2)如果抛物线交x轴于两点,那么这两点是对称点.(3)若设抛物线上对称两点的横坐标分别为x1、x2,则抛物线的对称轴x=x1+x22.     

抛物线中平行四边形形状的判定

抛物线与平行四边形的融合,是近年来中考命题的新亮点,一方面考查平行四边形的判定,另一方面考查抛物线的知识.这类题目通常和动点问题相联系,综合考查同学们分类讨     

在探究活动中感受数学美

一、背景分析2010年江苏数学高考18题第(3)问:在平面直角坐标系中,已知椭圆9/x~2+5/y~2=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,经过点T(9,m)的直线TA,TB与椭圆交于M,N两点,求证:直线MN必过.x轴上的一定点(其坐标与m无关).看到这道题,不由得联想起教材"选修2-1"第63页"思考与应用"中这样一题.设抛物线y~2=2px(p>0)的右焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//X轴,证明:直线AC经过原点O.两题都是研究直线恒过定点问题,这两题之间有什么本质联系吗?题目的背景是不是有什么相似之处呢?     

你知道弦长公式吗

<正>近年来,二次函数的综合题成了中考题目的亮点,许多题目都要用弦长公式来解,为此,本文就弦长公式及其应用介绍于下,供同学们参考.抛物线y=ax²+bx+c(b2+bx+c(b²-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax2-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax²+bx+c=0的两根,所以     

完善一道征展题的结论

中学数学2010年第5期新题征展栏目中,甘老师给出了这样一道开放题. 题目 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l,与抛物线交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,问你能发现那些结论? 此题是抛物线焦点弦问题,湖北、山东等数学高考题中均出现过以此为背景的解答题,事实上此问题在选择题和填空题上也频繁出现,所以我们很有必要将此问题加以完善,经过笔者研究推证得出另外几组结论,现将其汇总与老师和同学们共同分享.     

抛物线型酒杯中的数学问题

文[1]把“轴截面为抛物线的一部分的酒杯”称之为抛物线型酒杯．其实，抛物线型酒杯问题，从下面题目人手得出结论，更具有普遍意义．     

对称性助你解题

<正>二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象抛物线,是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,在解答某些与抛物线有关的问题时,若能恰当、灵活地利用抛物线对称性特征,可使解题过程简化,轻松助你解题.现举例说明,供参考.1.对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象抛物线,是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,在解答某些与抛物线有关的问题时,若能恰当、灵活地利用抛物线对称性特征,可使解题过程简化,轻松助你解题.现举例说明,供参考.1.对于抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上两个不同点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),如果y_1=y_2,那么这两个点是关于对称轴的对称点,