巧用圆的一般方程解题

<正>圆的一般方程C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).当点P(x0,y0)在圆外时,x20+y20+Dx0+Ey0+F>0,那么x20+y20+Dx0+Ey0+F的几何意义是什么呢?经过探索,我们发现:结论1已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),当点P(x0,y0)在圆外时,过点P作圆的切线PA,切点为     

错解与剖析

<正>已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0.(1)若M(x,y)为圆C上任一点,求k=(y-3)/(x-6)的取值范围;(2)已知点N(-6,3),直线kx-y-6k+3=0与圆C交于点A、B,当k为何值时,     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

考点22 直线与圆的位置关系

1.(重庆卷,1)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为().(A)(x-2)2+y2=5(B)x2+(y-2)2=5(C)(x+2)2+(y+2)2=5(D)x2+(y+2)2=52.(全国卷,4)已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是().(A)(-22,22)(B)(-2,2)(C)(-42,42)(D)(-18,81)3.(北京卷,4)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为().(A)π(B)2π(C)4π(D)6π4.(全国卷,13)圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为.考点22直线与圆的位置关系1.因为圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),故选(A).2.直线l的方程为…     

一道2011年北京大学保送生试题的简证与注记

题目(2011年北京大学保送生试题)已知圆x2+y2=1上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)满足x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,求证:x21+x22+x23=y21+y22+y23=32.贵刊文[1]中给出了这道代数等式题的一种代数恒等变形的直接证法,笔者发现其过程冗长、重复啰嗦,现给出如下简证与注记,供大家参考.     

圆过某点问题的研究

<正>以圆中的弦为直径的圆过某点问题是近几年的热点,试题常考常新,形成了一道亮丽的风景.为了让同学们对此类问题清晰明了,特将问题的求解策略通过习题的解析和总结形式呈现如下,供大家参考.问题设直线l:y=x+m交圆C:(x+2)2+y2=4于P、Q两点,是否存在以线     

利用三角代换解2014年北京高考理科19题

<正>已知椭圆C:x2+2y2=4,设O为坐标原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.在高考北京卷(理科)的第19题第2问中,标准答案给我们的解法依旧是联立直线方程与圆锥曲线方程求出交点坐标,最后利用点     

例说集合的关系

在判断两个集合之间的关系时 ,紧紧抓住集合中元素的特征 ,理解元素的含义是解决众多集合问题的关键 .一看似相等 ,实则不等例 1已知集合A ={x| y =x2 + 2x +3 },B ={y|y =x2 + 2x + 3 },C ={(x ,y) |y =x2 + 2x + 3 },求A∩B ,A∩C .错解　A∩B =A =B ,　A∩C =A =C .错因　虽然A ,B ,C中的关系式y =x2 +2x + 3完全相同 ,但其集合内元素的本质截然不同 ,A ,B ,C分别表示函数 y =x2 + 2x + 3的x的范围 ,y的范围 ,抛物线上的点组成的集合 .　∵　A =R ,B =[2 ,+∞ ) ,C为点集 ,∴　A∩B =[2 ,+∞ ) ,A∩C = .二看似不等 ,实则相…     

以圆为载体的存在性问题

<正>在高中数学中,直线与圆内容基础,解答方式多样,下面就以圆为载体的存在性问题与大家交流,共享.一、从最值角度处理圆的存在性问题例1在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x²+y2+y²-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是__.分析假设直线y=kx-2上至少存在一     

由一道课本习题引起的思考

高中数学必修2(人教版)第133面B组第3题为:已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时,圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离等于1.分析和解由题设可知圆的半径r=2,要使圆上恰有3个点到直线l的距离为1,则只需圆心O到l的距离为1即可,即d=b2()2=1,解     

一道探究题的拓展

正苏教版数学"必修2"教材中有一道探究题目:已知圆C:x2+y2=r2,直线l:ax+by=r2.(1)当点P(a,b)在圆C上时,直线l与圆C具有怎样的位置关系?(2)当点P(a,b)在圆C外     

圆锥曲线切线的一个有趣的性质

笔者近期研究圆锥曲线切线时 ,发现了一个有趣性质 .定理 1　过圆x2 +y2 =r2 上一点引圆的切线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是 1x2 + 1y2 =1r2 .定理 2　过椭圆 x2a2 + y2b2 =1上一点引椭圆的切线和法线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,法线与x轴 ,y轴分别相交于点M ,N .　 ( 1 )以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是a2x2 + b2y2 =1 ;( 2 )以原点O和M ,N为顶点构成的矩形的另一顶点D的轨迹方程是x2c4a2+ y2c4b2=1 ,其中C2 =a2 -b2 .定理 3　过双曲线…     

用平面向量巧解一题

题目 已知圆C:x2+y2=4和两个定点A(-1,0)、B(1,0),P为圆C上的动点,过点P的圆C的切线为l,点A关于l的对称点为A′,求|A′B|的最大值.     

解圆问题常见错误分析

圆是中学数学的重要内容之一.圆的概念较多,综合性较强,且解题有一定的技巧性,学生在解题时经常因审题不严、考虑不周、应用能力差而错解题目.下面就学生在解题中出现的错误,分类辨析如下.一、不理解题意例1已知直线l:x=m(x<-2)与x轴交于点A,动圆M与直线l相切,并且与圆O:x2+y2=4外切.求动圆的圆心M的轨迹C的方程.错解设M(x,y),依题意得x2+y2=2+|x-m|,当x≥m时,得:y2=2(2-m)x+(2-m)2;当x相似文献   

综合题新编选登

题 1 2 7　过点 (0 ,1)的直线l与曲线C :y =x+1x (x >0 )交于相异两点 ,设曲线C在这两点处的切线分别为l1与l2 ,求l1与l2 交点的轨迹 .解　设直线l与曲线C交于点M (x1,y1) ,N(x2 ,y2 ) ,l1与l2 交于点P(x ,y) ,直线l的斜率为k ,方程为 y =kx +1.对 y =x +1x求导 ,得 :y′ =1- 1x2 .则 y′|x =x1=1- 1x21,y′|x =x2 =1- 1x21.故直线l1的方程为y - (x1+1x1) =(1- 1x12 ) (x -x1) ,即 y =(1- 1x12 )x +2x1(1)同理 ,可求得l2 的方程为y =(1- 1x22 )x +2x2(2 )(1) - (2 )得 (1x22 - 1x12 )x +2x1- 2x2=0 .由于x1≠x2 ,解得x =2x1x2x1+x2(3)由 …     

对一道竞赛试题解法的一点看法

20 0 2年全国高中数学联合竞赛有一道平面解析几何试题 ,试题及参考答案如下 :图 1题　如图 1 ,已知点A( 0 ,2 )和抛物线 y2 =x + 4上两点 B,C,使得 AB⊥ BC,求点 C的纵坐标的取值范围 .解　设 B点坐标为 ( y21- 4,y1) ,C点坐标为 ( y2 -4,y) ,　　显然 y21- 4≠ 0 ,故 k AB =y1- 2y21- 4=1y1+ 2 .由于 AB⊥ BC,所以 k BC =- ( y1+ 2 ) ,从而y - y1=- ( y1+ 2 ) [x - ( y21- 4) ],y2 =x + 4 .消去 x,注意到 y≠ y1得 :( 2 + y1) ( y + y1) + 1 =0 ,y21+ ( 2 + y) y1+ ( 2 y + 1 ) =0 .由Δ≥ 0解得　 y≤ 0或 y≥ 4 .当 y =0时 ,点 …     

探究两圆方程之差的意义

<正>我们都知道:若⊙C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与⊙C2:x2+y2+D′x+E′y+F′=0相交于M、N两点,则直线l:(D-D′)x+(E-E′)y+(FF′)=0(即两圆方程之差)表示⊙C1与⊙C2的公共弦MN的方程.自然而然,我们不禁要问,不同心的⊙C1与⊙C2在外离、内含、内切及外切的情况下,它们的方程之差(D-D′)x+(E-E′)y+(F-     

数形结合巧解一题(二)

问题已知a、b、c∈R,a+b+c=1,a2+b2 +c2=1,求证:-1/3≤c≤1. 证明∵点P(a,b)是直线x+y=1-c 和圆x2+y2=1-c2上的点,即P是直线和圆的公共点,     

利用三角代换解2014年北京高考理科19题

已知椭圆C：x2＋2y2=4,设O为坐标原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.