函数迭代与函数方程

1　函数的迭代　我们先来看下面的例子 .例 1　某人逛商场 .他先付一元钱进入第一家商场 ,并在商场花了剩余的钱的一半 ,走出商场时 ,又付了一元钱 .之后 ,他又付一元钱进入第二家商场 ,在这里他花了剩余的钱的一半 ,走出商场时又付了一元钱 ,接着他又用同样的方式进出第三和第四家商场 ,当他离开第四家商场后 ,这时他身上只剩下一元钱 .问 :他进入第一家商场之前身上有多少钱 ?解　设该人进入第ｉ个商场之前身上的钱为ｘｉ元 ,ｉ=1,2 ,3,4,且设ｘ5=1.于是ｘｉ 1=12 (ｘｉ- 1) - 1,(ｉ=1,2 ,3,4)令 ｆ(ｘ) =12 (ｘ - 1) - 1=12 (ｘ 3) - 3…     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

在多元式中选定主元

例1 解方程 x~4-10x~3-2(a-11)x~2 2(5a 6)x 2a a~2=0. 分析:这是关于x的四次方程,不易求解;但方程中a的最高次幂是2,看作关于a的二次方程来解就容易了。解把方程按a的降幂改写如下: a~2-2(x~2-5x-1)a (x~4-10x~3 22x~2 12x)=0. 解之得a=x~2-6x.或a=x~2-4x-2. 再反过来解关于x的方程,得: x_(1,2)=3±9 a~(1/2),x_(3,4)=2±6 a~(1/2). 所谓“主无法”:就是在处理含有多个变量的数学问题时,常选择其中一个变量为主元素,其余各量视为常量,使之出现我们所熟悉的结构形式。例2 设a,b,c为绝对值小于1的实数,求证:ab bc ac 1>0.     

巧用根的性质解题

例1 已知a是方程x~3-3x 1=0的一个无理根,试证:不解方程仍可将a/a 1的分母有理化。构思:此题如能使分母不含a,则命题即得到证明,而要使分母不含a,又只能在a是方程x~3-3x 1=0的根上打主意。证明∵ a是方程x~3-3x 1=0的根, ∴ a~3-3a 1=0,即a~3 1=3a。     

中专代数§53近似数平方根的誤差的一个講法

我在讲公式δ′(a~(1/2))=1/2δ′a时采用以下的方法: 問学生:若x为近似数,δ′x~2=? 答:δ′x~2=2δ′x. (*) 又問:若x~2等于已知数a,x=? 答:x=a~(1/2),(取算术根) 再問:若以x~2=a,x=a~(1/2)代入(*)式,結果怎样? 答:δ′a=2δ′(a~(1/2)),δ′(a~(1/2))=1/2δ′a.随着就可以告訴学生。最后的結果就是課本中65頁第10行所说的事实,即:近似数平方根的相对誤差界,等于被开方数的相对誤差界的一半。这样通过几次問答,完全可以使学生下費力气地接受这部分的知識。至于近似数高次方根的誤差問題,也可以很自然地得到結論。如     

试谈根的判别式的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)的根的判别式Δ=b~2-4ac有着极为广泛的应用,应用它解决某些问题,可起到化繁为简、化难为易的作用,本文举例说明根的判别式在解题方面的应用。 1 求值例1 求使A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)为整数的一切实数x。(1983年苏州市中学生数学竞赛题) 解A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)=1+(x+1)/(x~2-3x+3) 令a=(x+1)/(x~2-3x+3),     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

关于ρ-混合序列的完全收敛性

Let l (x) andβ(x) be even positive fun(?)tions. Suppose there is a censtant θ>0 such that β(x)/x~θ, x~2/β(x) and l(x) (x>0) are monotone nondecreasing Denote α(x) is the converse funotion of β(x). Theerem 1 Suppose there is a constant 0<ε_0<1 such that β(x)l(β(x))/x and x~(2-ε_0)/(β(x)l(β(x))) are monotene nondecreasing. Let {X_k} be a ρ-mixing sequence of identically distributed random varibles with EX_1=0 and Eβ(X_1)l(β(|X_1|))     

应用平均值换元巧解方程

本文通过举例说明平均值换元在解一类方程中的妙用。 例1 解方程 (x~2 2x-2)(x_2 4x 6)=3(x 4)~2 解 设t=1/a[(x~2 2x-2) (x~2 4x 6)]=x~2 3x 2,则原方程化为[(t-(x 4)]·[t (x-4)]-3(x 4)=0 t~2-4(x 4)~2=0,即[t 2(x 4)][t-2(x 4)]=0,     

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

等价转化是解题成败的关键

<正>数学问题的解决中总是伴随着不同知识间或不同表述方式间的转化,转化是否等价直接决定了问题解决的成败.那么,如何避免问题解决过程中的非等价转化呢?下面用两个例子加以说明.例1求曲线C_1:y=x~2与曲线C_2:y=x~3的公切线的斜率.错解k_1=2x,k_2=3x~2.由题设,令2x=3x~2.(1)∴x=0或x=2/3.故曲线C_1:y=x~2与曲线C_2:y=x~3的公     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

本文中|A|表示集合A的元素个数.1设P(x)=x~3-3x 1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂.解设a,b,c是P(x)的根.由根与系数的关系,有依题意知,Q(x)=(x-a5)(x-b5)(x-c5)=x3-(a5 b5 c5)x2 (a5b5 a5c5 b5c5)x-a5b5c5=x3-S5x2 T5x 1.这里S5=a5 b5 c5,T5=a5b5 b5c5 c5a5.对于正整数n,令Sn=an bn cn,则有T5=21(S52-S10),所以要求Q(x),只需求出S5与S10.∵S1=a b c=0,S2=(a b c)2-2(ab bc ca)=6.又a,b,c是方程x3=3x-1的根,所以a3=3a-1,b3=3b-1,c3=3c-1,由此易得Sn 3=3Sn 1-Sn(n≥1),∴S3=3(a b c)-3=-3,S4=3×S2-S1=3×6-0=18…     

一元一次方程有两个根

题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。     

二次函数性质用于不等式的证明

众所周知,在二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)中,二次项系数a的符号,判别式△=b~2-4ac的符号及它的值域间有着互相制约的特性,这种特性在解题过程中有着极为广泛的应用。现举两例,供参考。例1 设A十B十C=π,且x,y,z∈r.求证x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2yzcosB 2zxcasA。分析:运用求差法,选定x为自变量可构造一个二次函数,显然a=1>0,再计算并△判定即可。解∵F(x)=x~2 y~2 z~2-2xycosC-2yzcosB-2zxcosA     

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),     

数学诡辩

解方程1/(x-10)+1/(x-6)=1/(x-7)+1/(x-9)。解:两边分别通分,得2x-16/(x~2-16x+60)=2x-16/(x~2-16x+63)因分子相等,则分母相等:x~2-16x+60=x~2-16x+63。60=63.不可能,所以原方程无解。另一方面,当x=8时,方程左边=1/(x-10)+1/(x-6)=-1/2+1/2=0方程右边=1/(x-7)+1/(x-9)=1-1=0可见x=8是原方程的一个根。那么这个根     

一类四次Hamiltonian函数周期环域的环性

证明了三次Hamiltonian系统x=2y(b+cx~2+2y~2),y=-2x(a+2x~2+cy~2)在n次多项式扰动下极限环的个数不超过3[n-1/4]+12[n-3/4]+22(计重数),其中a0,b0c-2.