函数轴对称问题初探

复合函数轴对称问题比较复杂 ,现行高中课本并未涉及 ,但复习考试题中经常遇到 ,学生感到困难 ,现就线性复合函数对称问题作初步探讨 .定理 1　若 y =f(x) 以x =b为对称轴 ,f(x) 是定义在R上的函数 ,则f(x) =f( 2b-x) (以下函数均定义在R上 ) .证　略 .定理 2　若 y =f(x) 以x =b为对称轴 ,k≠ 0 ,则 y =f(kx)以x =bk 为对称轴 ,反之亦然 .证　因为 y =f(x) 以x =b为其对称轴 ,f(x) 的图象到 f(kx)的图象纵坐标保持不变 ,则 f(kx)的横坐标缩小到 1k,f(kx)的对称轴的横坐标也缩小到1k,所以 f(kx)的对称轴为x =bk.定理 3　若 y =f(x) 关于直…     

函数的图象与性质

本讲主要讨论函数图象的三种变换:平移、对称、翻折,并介绍如何利用函数的图象解题.1)函数图象的平移变换是指函数y=f(x)与y=f(x a) b的图象间的关系:函数y=f(x a) b的图象是由函数y=f(x)的图象,沿x轴方向向左(a≥0)或向右(a<0)平移|a|个单位,再沿y轴方向向上(b≥0)或向下(b<0)     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

两类创新导数题的思考

创新类型1 隔离直线 已知函数f(x)和g(x),若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的"隔离直线".     

用待定系数法求一次函数的解析式

一次函数是八年级下册数学中的主要内容之一 ,用待定系数法求解一次函数解析式是常用的解题方法 .它的一般步骤如下 :( 1 )设解析式为y=kx +b (k,b为待定常数 ) .( 2 )用已知的两对自变量x与对应函数值y ,代入y =kx +b中 ,得到关于k ,b的二元一次方程组 .( 3 )解这个方程组 ,求出k,b ,进而得到解析式 .例 1　点 ( 3 ,2 )与点 ( -6,-7)都在一次函数的图象上 ,求这个一次函数的解析式 .解 :设所求为y=kx +b.把 ( 3 ,2 ,) ,( -6,-7)分别代入 ,得 2 =3k +b,-7=-6k +b.　解得 k=1 ,b=-1 .从而所求的解析式为y =x-1 .用待定系数法求解实际问题中的…     

函数图象信息题的解法

解关于函数图象信息题 ,必须掌握正比例函数y=kx(k≠ 0 ) ,反比例函数y =kx(k≠ 0 ) ,一次函数y =kx b(k≠ 0 ) ,二次函数y=ax2 bx c(a≠ 0 )的有关性质 ,弄清函数中字母系数k ,a ,b,c在函数图象信息中所起的作用 ,才能快捷、正确地解这类题 .例 1　 (98年南京中考题 )双曲线y     

怎样学习二次函数的图象

函数的图象在函数这部分内容中占有重要的地位 .在初中学习的几种函数中 ,二次函数的图象是相对比较复杂的 ,图象的特征主要是以下几个方面 :开口方向 ,对称轴的位置 ,顶点坐标 ,与x轴的交点情况 ,与y轴的交点情况等等 ,这些特征与二次函数的系数有着密切的关系 .在二次函数y=ax2 +bx+c(a≠ 0 )中 ,系数a ,b ,c与图象的关系分别是 :①a决定图象的开口方向 .当a >0时 ,图象的开口方向向上 ;当a <0时 ,图象的开口方向向下 .②由对称轴为x=- b2a知 :b与a确定对称轴的位置 .③当x =0时 ,y =c,抛物线与y轴必相交 ,交点为( 0 ,c) ,c也称为抛物线在…     

关于函数y=lg(cx+d)/(ax+b)图象的对称问题

函数y=lgx-1x+1是奇函数,它的图象关于原点对称,而象函数y=lgx-1x+3,它没有奇偶性,但其图象会不会关于非原点的某特殊点对称呢?事实上,y=lgx-1x+3=lg(x+2)-1(x+2)+1,显然,它的图象可以由奇函数y=lgx-1x+1的图象向左平移2个单位得到,所以函数y=lgx-1x+3的图象关于点(-2,0)对称.一般地,我们可以得到函数y=lgcx-dax+b(ad≠bc,ac≠0)的对称中心,分两种情形:情形1 ac>0不妨设a,c均大于0.若a,c均小于0,则y=lgcx+dax+b=lg-cx-d-ax-b=lgnx+n′mx+m′,其中m,n均大于0.结论1函数y=lgx-mx+m(m≠0)是奇函数,它的图象有对称中心为原点(0,0).∴f(2)+f(-2)=…     

初三代数第二学期自测题

注 :本卷检测内容为 :代数第十三章函数及其图象与第十四章统计初步A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .已知点M(a+1 ,2 -a)的位置在第一象限 ,则a的取值范围是 .2 .函数y =x+2|x|-1 的自变量x的取值范围是.3 .已知直线y=kx +b经过 ( 2 ,0 )和 ( 0 ,-1 )两点 ,则k= ,b=.4.反比例函数y=kx1-2k,当x=12 ,y =;当x>0时 ,y随x的增大而 .5 .已知一次函数y =kx +2 ,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小 .6.若 8个数据的平方和是 2 0 ,方差是 2 ,则平均数是 .7在数据组 :-1 ,0 ,4,5 ,8中 ,插入一个数据x ,使得该数据组的中位数为 3 ,则x=.8.…     

圆锥曲线的又一性质

有众多文献给出了圆锥曲线(即椭圆、双曲线、抛物线的统称)的美妙性质,本文再给出一条.定理　自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线,则切线斜率的平方等于这条圆锥曲线离心率的平方.证　1)当圆锥曲线是椭圆时,不妨设椭圆的方程是x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,只考虑点A(- a2c,0 )(其中a2 =b2 +c2 ,c >0 )处的切线.可设切线的方程为y =k(x + a2c) ,将其代入x2a2 + y2b2 =1,得(b2 +a2 k2 )x2 + 2a4k2c x + a6k2c2 -a2 b2 =0 .令Δ=2a4k2c2 - 4(b2 +a2 k2 )·a6k2c2 -a2 b2 =0 ,可得k2 =ca2 ,即k2 =e2 .2 )当圆锥曲线是双曲线时,…     

拟Banach空间上含参数的二次-可加混合型函数方程的解和Hyers-Ulam-Rassias稳定性

该文讨论了带有参数s的二次-可加混合型函数方程2k[f(x+ky)+f(kx+y)]=k(1-s+k+ks+2k~2)f(x+y)+k(1-s-3k+ks+2k~2)f(x-y)+2kf(kx)+2k(s+k-ks-2k~2)f(x)+2(1-k-s)f(ky)+2ksf(y)的一般解,同时研究了该函数方程在拟Banach空间上的Hyers-Ulam-Rassias稳定性,这里k1,s≠1-2k.     

一类问题的纠错为什么这么难——关于函数f(x)=log_2g(x)的值域为R的教学

问题已知函数f(x)=log_2(x~2+kx+2) (x∈R)的值域为R,求实数k的取值范围。错解要使函数f(x)的值域为R,只需g(x)= x~2+kx+2>0对一切x∈R恒成立,所以有△=k~2-8<0,解得-2 2~(1/2)相似文献   

到底向何方向平移

1 问题出现 问题 求函数y=f(x)的图象按a=(-m,n)(m>0,n>0)平移后得到的图象的函数解析式. 错解 把y=f(x)的图象向右平移m个单位得y=f(x-m)的图象,再把y=f(x-m)的图象向下平移n个单位得y+n=f(x-m),即y=f(x-m)-n,这就是所求.     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

巧用数形结合解决三个“一次”的问题

一元一次方程,一元一次不等式(组)和一次函数,这三个"一次"有着紧密联系.例如一次函数y=kx+b(k≠0),当y=0时,得一元一次方程kx+b=0,即一元一次方程的解就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标;当y>0时,得一元一次不等式kx+b>0;不等式kx+b>0在直角坐标中就是表示直线y=kx+b在x轴上方部分,kx+b<0就表示直线y=kx+b在x轴下方部分.两个一次函数图像的交点横纵坐标就是对应解析式组成的方程组的解等.上述这些联系的本质其实就是数与     

如何探讨抽象函数的性质

在近几年的高考试卷中出现过不少有关抽象函数的题目,要求研究抽象函数的定义域和值域、反函数、奇偶性、单调性、周期性等,下面逐一加以例析.一、定义域这类问题一般是给出y=f(x)和g(x)的定义域,求解复合函数y=f(g(x))的定义域.解决的关键是将g(x)看成一个整体,来替代y=f(x)中的x,从而转化为求解不等式.例1函数y=f(x)的定义域为[-12,21],求函数y=f(cosx)的定义域.分析与简解:因为函数y=f[g(x)]中的g(x)相当于f(x)中的自变量x.所以?21≤cosx≤12,解三角不等式得kπ 3π≤x≤kπ 2π3(k∈Z).解题的关键是始终要明白定义域是自变量的取值范围…     

基于理解的“函数图象变换”教学的新设想

1问题提出函数图象的平移与伸缩变换在高中数学中占有十分重要的地位,而其中水平方向的平移与伸缩变换是高中数学的一个难点,学生对它的掌握存在很多问题,主要表现在以下两个方面:·基于思维定势,错误套用法则从函数y=f(x)的图象变换到y=f(ωx+φ)的图象,其水平方向的平移法则是"左加右减",而     

“模特函数”的桥梁作用

函数是中学数学的重要内容 ,对于没有给出函数解析式的问题 ,其抽象程度高 ,综合性、灵活性强 .然而 ,这类题目的设计和编拟 ,都有某个基础函数作模特函数 ,如果我们能找出这个模特函数 ,分析它的图象和性质 ,必将有助于问题的解决 .下面是一些中学数学中常见的模特函数 :1 )若一次函数 f(x)满足 f(x + y) =f(x) + f( y) ,则f(x) =kx ;2 )若二次函数 f(x)的图象关于x =a对称 ,即满足f(a +x) =f(a -x) ,则二次函数f(x) =m(x -a) 2 +n(m≠ 0 ) ;3) f (x)满足 :①对任何x ,y∈R ,f(x + y) =f(x)f( y) ,②f(x) 在R上单调递增 (减 ) ,则f(x) 是…     

函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)的性质与应用

<正>函数是高中数学的核心内容,是高考考查的重中之重.我们仅学习了:一次函数y=kx+b、反比例函数y=k/x(k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)、指数函数y=a2+bx+c(a≠0)、指数函数y=a^x(a>0,a≠1)、对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)、正弦曲线y=sinx、余弦曲线y=cosx、正切曲线y=tanx等基本类型的初等函数.事实上,我们碰