顺手牵羊新编

春秋时期，秦将孟明视率领大军准备偷袭郑国，而郑国对此毫无觉察。郑国有个贩卖牛羊的商人，名叫弦高，善于随机应变。他与两个同伴在半途偶然遇到浩浩荡荡的秦军，知道情况不妙，便急中生智，一边派人回国通风报信，一边把自己的几头羊献给秦将孟明视。弦高恭敬地对孟明视说：“今日郑国的国君听说将军前来，特奉上一点儿薄礼以示心意。”孟明视听罢大吃一惊，以为郑国早有防备，想偷袭已经不可能了，便移师攻打滑国。弦高的本来目的是贩卖牛羊，却顺势以羊为礼物，替郑国解了大围。这件事情对弦高来说，是顺手牵羊。此“羊”虽然不小，但终归是顺势而成的事。     

抛物线的内接三角形面积的最大值探求

给定一条抛物线和它的一条定长的动弦,如何探求以动弦为一边,另一个顶点在抛物线的弓形弧上的内接三角形面积的最大值呢？本文就这个问题进行研究．为了叙述的方便,我们给出如下定义．定义［１］过抛物线弦的两端的切线与弦所围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做阿...     

构造正三角形证题的一个契机

当我们看到一条弦长等于圆的半径,我们就知道它所对的圆周角有一个等于30°;当我们看到正三角形和它一边上的中线,我们就知道这条中线分顶角为两个30°.反过来,当题目给出30°的角的时候,我们能否在头脑中“无中生有”地想到它所对的弦或它所在的正三角形呢?这可能就是我们构造     

椭圆中一类三角形面积的最大值

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,探求以动弦为一边,另一个顶点为椭圆中心的三角形面积的最大值是一个有意义的问题,本文给出这类问题的一种浅显的解法.首先给出下面的引理.引理AB是椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的一条弦,c为半焦距,d为椭圆中心到弦AB所在直线的距离,若弦AB的倾斜角为θ,记,f(θ)=a~2-c~2cos~2θ,则     

“弦图”曼妙景 尽在横格中——2012年山东省滨州市中考数学一道压轴题的溯源与改进

我们知道,赵爽的"弦图(或勾股圆方图)"是由四个全等的直角三角形围成的,赵爽利用它巧妙地证明了勾股定理,其证法之优美、精巧,令人叹为观止,它是证明勾股定理最著名的证法之一,特别是"弦图"一图蕴含两种证法更是举世无双".弦图"是证明勾股定理的无字经典     

圓內接五角星的一种作圖法

圓內接五角星的作圖題应用很廣,我們的國旗就是其中的一例,怎样用圓規直尺作已知圓(假定已給圆心O及半徑r)的內接五角星,一般的中学幾何教本裹都講的,而且大都採取如下步驟:將半徑r作中外比分割,証明割下的大段 ((5~(1/2)-1)/2)r (1)是圓內接正十边形的一边長,利用这个長將圓周十等分,再自任一分點開始,順序每隔三个分點作弦,即可得出所求的五角星。有人对这个作法的道理,觉得不易領会,这裹試給出另一种作法,或許对一些同志們有點帮助。这个作法係根据下面的定理: “圓內接正五边形的一边、正十边形的一边和該圓的半徑作成一直角三角形,首者是弦,次者是勾     

椭圆中与定长弦有关的三角形面积最大值探求

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,本文对动弦为一边,椭圆中心为顶点的三角形面积的最大值进行探求,得出如下结论．定理　设ＡＢ为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上一条长为ｌ的弦,椭圆中心为Ｏ．则当２ｂ≤ｌ≤２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为１２ａｂ;当０＜ｌ＜２ｂ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ａｌ４ｂ４ｂ２－ｌ２;当２ａ＜ｌ＜２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ｂｌ４ａ４ａ２－ｌ２．为了证明定理,先给出两个引理．图１引理１　椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的弦ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２的弦Ａ′Ｂ′对应…     

对"完善一道征展题的结论"的联想

文[1]对一道征展题给出了11个结论,较为全面地阐述了与抛物线焦点弦有关的一系列定点,定值等相关问题,也是近年来高考频频涉及到的热点问题.笔者欣赏完全文,联想到将焦点弦"松弛"一下,得到了与之相关联的几组结论,现将研究成果与同仁们共享.     

过圆内点最短的弦

<正>在学习圆的基本知识时,其中一个基本概念就是"弦"——连结圆上任意两点的线段.在圆中最长的弦是直径,没有最短的弦,如果经过圆内固定的一点(不是圆心),必然可以将这个点与圆心相连找到一条直径(最长的弦),那过这个固定的点有没有最短的弦呢?通过实际作图可以发现经过这个点且与直径垂直的弦是最短的弦,下面就来解释一下     

巧解圆锥曲线中的“焦点分弦所成比”问题

我们把圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线)中过焦点的弦称为它的焦点弦,焦点弦AB被焦点F分成两段AF和FB,则把满足(→AF)=λ(→FB)(λ＞0)的λ称为"焦点分焦点弦所成的比",简称"焦点分弦所成比".在近几年的高考中,对圆锥曲线的"焦点分弦所成比"问题(已知(→AF)=λ(→FB)求圆锥曲线的离心率、方程及直线AB的斜率等)的考查成为一个热点问题,对于这类问题,若用纯解析几何知识来解决,则通常需要大量的代数运算才能完成.     

图形王国的公开课

"嗒嗒嗒!"小星星坐在书桌前奋笔疾书。他一边写一边在心里抱怨:爸爸真是的,给我买这么多辅导作业,还这么难,害得我整个寒假连一点儿玩的时间都没有!突然,一道金光闪过,小星星被带入了一个神奇的世界。小星星抬头一看,"图形王国"这几个耀眼的     

椭圆、抛物线垂直弦性质探究

文[1]在完善双曲线平行弦的两个性质的同时,给出了双曲线垂直弦的两个性质.受其启发,笔得探究了椭圆和抛物线的垂直弦性质,得出如下几个结论:……     

圆锥曲线的三类弦问题

<正>解析几何是高考数学的重要考查内容,常作为试卷中选拔高分的试题.而直线与圆锥曲线位置关系问题又是解析几何中常见的重要类型,纵观近年来的高考题,圆锥曲线三类弦问题须引起我们关注.本文例谈这几类问题,并探究其求解策略.在解直线与圆锥曲线的弦长问题时,通常应用韦达定理与弦长公式.若涉及到"三类弦"(焦点弦、中点弦、原点弦)问题,则可根据各自     

圆锥曲线“准点”的几个性质

定义圆锥曲线准线与其对称轴的交点叫做准点,经过准点的直线被圆锥曲线截得的弦叫做准点弦。 准点（准点弦）和焦点（焦点弦）一样，具有许多性质，文[1]介绍了与准点弦有关的几个有趣结论。在它们的启示下，笔者对准点作了深入的研究，又得到了与准点有关的几个性质，现论述如下，供读者参考。     

圆中最长弦与最短弦之间有几条整数弦

题目半径为26的⊙O内有一点P,OP=10,则经过P点,且长度为整数的弦的条数是__条.分析本题可分解为三个小题:(1)求经过点P的最长弦;(2)求经过点P的最短弦;(3)在最短弦与最长弦之间求出符合条件的整数弦.本题许多同学无从下手,因为⊙O中经过点P的弦有无数条,其长度既有整数、分数(有理数)还有无理数.     

关于抛物线平行弦的一个有用性质

本文给出关于抛物线平行弦的一个有用性质,并用其解决几个代数问题,以飨读者． 性质 抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴．     

例谈“中点弦”所在直线方程的解题策略

<正>问题过点M(0,1)的直线l,使其被直线m:x-3y+10=0和直线n:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M平分,求直线l的方程.这类问题在二次曲线中常见,相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程,称之为"中点弦"问题.以下几种解题策略,对于二次曲线"中点弦"问题同样适用.1待定斜率法     

例说椭圆焦点弦问题

文[1]得出了过椭圆焦点的内接三角形的几个结论,文[2]介绍了黄金椭圆的探求方法,本人深受启发.由于解几部分在高考命题中一般有思维量大、计算量大、逻辑推理要求高、综合性强等特点,现结合自己多年的教学实践和对椭圆焦点弦的探求,把椭圆焦点弦的一组有趣结论及其探求方法介绍     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

话说公共弦在证题中的应用

在平面几何中,相交两圆的公共弦,是联络两圆的纽带和桥梁.公共弦既能巧妙地传递两圆中的相关信息,特别是传递两圆中的等角更是配合默契相得益彰,同时它还能有效地沟通题设和结论之间的联系,因此,我们要高度重视公共弦的应用,对于已给定的两个相交圆,添加辅助线公共弦是解决此类问题的关