等参函数及相关问题研究

著名的Yau 猜想断言单位球面中的紧致嵌入极小超曲面的Laplace 算子的第一特征值等于其维数. 近年来有许多几何学家致力于对Yau 猜想的研究, 但是到目前为止, 已有的结论只是一些关于第一特征值估计的不等式. 作为本文的一个主要结果, 本文证明了对于单位球面中的等参极小超曲面,Yau 猜想是正确的. 进一步地, 对于等参超曲面的焦流形(实际上是球面的极小子流形), 本文还证明了在一定维数条件下, 它的第一特征值也是其维数.
作为本文的第二个主要结果, 以著名的Schoen-Yau-Gromov-Lawson 的关于数量曲率的手术理论为出发点, 本文在一个Riemann 流形的嵌入超曲面处作手术, 构造了一个新的具有丰富几何性质的流形, 称为double 流形. 特别地, 本文在单位球面的极小等参超曲面处实行了这一手术, 发现得到的double 流形不仅有很复杂的拓扑(但其示性类有精确描述), 还存在数量曲率为正的度量, 更重要的是保持了等参叶状结构.
比Willmore 曲面更广泛的定义是Willmore 子流形, 即Willmore 泛函在球面中的的极值子流形.单位球面中的Willmore 子流形的例子在已有文献中是非常罕见的. 作为本文的另外两个主要结果, 通过深入挖掘单位球面上的OT-FKM- 型等参函数的焦流形的性质, 本文发现其极大值对应的焦流形是单位球面的一系列Willmore 子流形; 之后, 本文用几何办法统一证明了单位球面中具有4 个不同主曲率的等参超曲面的焦流形都是单位球面的Willmore 子流形. 这些新的Willmore 子流形是极小的,但一般不是Einstein 的.     

Riemann流形上Laplace算子第一特征值的一点注记

本文研究了黎曼流形上Laplace算子的第一特征值,利用流形的测地球上的Sobolev常数进行讨论并进行Moser迭代,得到闭的黎曼流形上Laplace算子第一特征值的一个下界估计.     

完备黎曼流形上四阶散度型椭圆算子的特征值估计

研究了完备黎曼流形上四阶散度型椭圆算子的特征值问题,得到了特征值的一个基本不等式.由这个基本不等式,得到具有特殊函数的完备黎曼流形上四阶散度型椭圆算子的特征值估计的万有不等式,同时给出具有这些特殊函数的完备黎曼流形的例子.在此基础上,证明了Chen-Zheng-Yang的一个猜想是成立的.     

加权流形上加权p-Laplace特征值问题的第一特征值下界估计（英文）

本文研究了加权流形上加权p-Laplacian特征值问题的第一特征值下界估计的问题.利用余面积公式、Cavalieri原理以及Federer-Fleming定理,获得了由Cheeger常数或等周常数确定的第一特征值的下界估计.     

加权流形上加权p-Laplace特征值问题的第一特征值下界估计

本文研究了加权流形上加权p-Laplacian特征值问题的第一特征值下界估计的问题.利用余面积公式、Cavalieri原理以及Federer-Fleming定理,获得了由Cheeger常数或等周常数确定的第一特征值的下界估计.     

紧Riemann流形的高阶特征值估计

对Ricci曲率具负下界的紧Riemann流形,本文获得了热方程正解优化的梯度估计及Harnack不等式,证明了高阶特征值下界定量估计的猜想．     

非正曲率流形及其子流形上有界区域的特征值

本文研究了完备单连通具有非正曲率黎曼流形及其子流形上有界区域的特征值问题.利用广义Hessian比较定理,获得了局部特征值的下界估计式,将McKean[2]的定理在局部上推广到了非正曲率的情形.     

ICM2006汉密尔顿作“庞加莱猜想”一小时报告（摘要）

庞加莱猜想说的是，每个紧单连通三维流形同胚于三维球面．丘成桐和演讲人提出了用里奇（Riced流来研究这个问题的纲领．里奇流是一组非线性抛物型偏微分方程组．其效果是像热方程那样将Riemarm度量的曲率在流形上均匀地展开．以最终造出一个常曲率度量．此后数学家们得到一系列估计以及一些方法来控制曲率的高阶导数．由此能够处理二维情形．利用拉开（Blowup）技巧来分析奇点的形成，去证明三维奇点模型具有非负曲率．最后除了一个例外（称为雪茄型奇点）．将这些奇点分类．[第一段]     

一类时间周期空间离散问题的主特征值研究

本文研究一类时间周期空间离散的特征值问题,旨在探讨时空异质性对其主特征值的影响.将主特征值视为扩散速率和频率的二元函数,本文研究主特征值的各种渐近行为与单调性,并由此刻画其水平集的拓扑结构,相应结果支持了本文研究二阶时间周期抛物算子时提出的部分猜想.当扩散速率和频率都充分大时,本文的结果为关于抛物算子的一个猜想提供了反例.     

扩散过程依全变差范数的收敛速度

本文使用耦合方法,通过对耦合时间的矩的估计得到紧流形上扩散过程依全变差范数指数式收敛的结果;并利用非零第一特征值与特征函数,给出了另外两个估计.     

Laplacian第一特征值整体曲率Pinching的一个结果

紧致流形上Laplacian的第一特征值的下界估计一直以来是人们非常感兴趣的问题之一.本文在整体曲率Pinching较小的条件之下考虑这个问题,得到了相应几何条件之下的Laplacian第一特征值的一个下界估计.     

Finsler流形上Laplace比较定理及其应用

本文研究了Finsler流形上距离函数的Laplacian.利用Schwarz不等式和[5]中主要方法,获得了具有负曲率的Laplacian比较定理,进而得到了Finsler流形上第一特征值的下界估计.     

第一特征值的显式估计

新近所得到的关于椭圆算子、Riemann流形上的Laplace算子和Markov链第一特征值下界估计的一般公式均依赖于某些函数类,即关于试验函数取变分.这里进一步得到了这些公式的一种显式估计.其优点是无需再使用试验函数.奇妙的是它不仅控制了上述变分公式所包含的全部实质性估计,而且导出了一维情形第一特征值正性的简洁判准.进一步的改进将在后续文章中给出.     

极小曲面Gauss像的值分布

本文概述了欧氏空间中极小子流形Gauss像值分布问题的最新研究进展,包括高维极小超曲面Gauss像分布的丘成桐问题,以及高余维极小子流形的Lawson-Osserman问题;介绍了作者及其合作者近年来在这两方面的研究结果和研究方法,并提出了进一步的相关研究问题.     

一类矩阵特征值最小距离的界限

矩阵特征值最小距离的估计是研究谱理论和数值计算特征值的重要课题.本文对一类三对角线对称矩阵的特征值最小距离给出较精确的上下界估计,并根据数值计算提出一个关于特征值最小距离的位置的猜想.     

半直线上第一Dirichlet特征值的对偶变分公式

目标是建立半直线上二阶椭圆算子的第一Dirichlet特征值的对偶变分公式, 并给出该特征值的仅依赖于算子系数的显式估计. 还可处理相应的离散情形以及连续情形的高阶特征值问题.     

有限时—频平移的线性无关性

本文介绍时—频分析中空间L~2(■)上有限时—频平移的线性无关性猜想.首先说明提出这个猜想的背景.然后综述近二十五年来对这个猜想研究的主要进展.最后简略说明该猜想高维情形和其他情形的部分结果.     

紧致流形的第一特征值下界

对紧致Riemannian流形(无边或带有凸边界)的第一(Neumann)特征值,用流形的直径和Ricci曲率的下界,给出一些新的下界估计.     

紧致流形的第一特征值下界

对紧致Riemannian流形(无边或带有凸边界)的第一(Neumann)特征值,用流形的直径和Ricci曲率的下界,给出一些新的下界估计.     

图的规范拉普拉斯谱与优超（英文）

令G是简单图.记L(G)为图G的规范拉普拉斯矩阵,其特征值称为图的规范拉普拉斯特征值.[Adv.Math.(China),2017,46(6):848-856]给出了关于规范拉普拉斯特征值和的相关结论,并提出相关猜想.我们发现在上述文章中的一些重要结果中存在一些错误.本文修正了所有不正确的结果.此外,我们讨论了￡(G)的特征值优超不等式.利用这些结果,我们证实了[Adv.Math.(China),2017,46(6):848-8561中提出的一个猜想.