三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

一个四边形面积定理及其应用

一个四边形面积定理及其应用刘名禄（浙江省安吉县报福中学３１３３０４）本文介绍一个四边形面积定理及其应用．１定理定理任意凸四边形的面积等于一组对边中点分别与对边两端点连线和对边组成的两个三角形的面积之和（如图１，即ＳＡＢＣＤ—Ｓ。ＡＢＦ＋Ｓ。。。。，Ｅ...     

趣谈蝶形三角形

两个对顶的三角形△ABE和△CDE如同展翅飞翔的蝶(如图1),故称其为蝶形三角形.蝶形三角形有不少有趣的性质: 性质1 蝶形三角形中非对顶的两个角的和相等.图1     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

关于四边形的两个定理

三角形中我们有余弦定理表示边与角的关系,在四边形中也有类似的定理. (1)中线定理 如图凸四边形ABCD中,E、F、G、H是各边中点,EF、GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2     

托勒密定理、三弦定理和四角定理

众所周知,在三角形中,边、角之间存在着许多重要的关系．不难想到,在圆内接四边形中,边、角之间也应该存在着类似的重要关系．如托勒密定理,它表述的是圆内接四边形中边之间存在的重要关系的一种,那么在圆内接四边形中,是否在边、角之间或角之间也存在某种重要的关系呢？答案是肯定的,如文［１］三弦定理．我们探讨了它的来源和证明． 定理 如果Ｐ是一圆上的任意一点,ＰＡ、ＰＢ／Ｃ是该圆上的三条弦,那么： ＰＢｓｉｎ（ＡＰＢ＋ＢＰＣ） ＝ ＰＣｓｉｎ ＡＰＢ＋ＰＡｓｉｎ ＢＰＣ 文［２］指出,这种新的边角之间的积和关系,…     

直线分三角形两部分面积之比问题的研究

三角形被直线所截得到一个小三角形和四边形,图形虽然简单,而它们面积之比与直线的关系如何?却大有学问.笔者通过研究得到如下具体结论.图11两个定理定理1如图1:若直线L与△ABC中边AB、AC分别相交于D、E,D分BA所成的比为λ(0≤λ≤1),四边形BDEC与△ADE的面积之比为k.则E分CA所     

转化——学好四边形的关键

在几何“四边形”这一章中 ,主要内容是有关四边形、多边形的概念和性质 .要学好这些内容 ,关键是抓好两个转化 .一、将四边形 (多边形 )转化为三角形来研究利用对角线往往可以把多边形问题转化为三角形问题来解决 ,如四边形内角和定理的证明就是从四边形的一个顶点引一条对角线 ,将它转化为两个三角形的内角和问题来进行证明的 .图 1例 1　如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ＡＤ =8,∠Ａ =6 0°,∠Ｄ =1 5 0° ,四边形周长为 3 2 ,求ＢＣ和ＣＤ的长 .分析　要设法使ＢＣ、ＣＤ在同一个三角形中 ,再利用此三角形的特性计算 .解　连结ＢＤ …     

四边封闭折线统一的面积公式

我们知道，四边封闭折线分为三种：已四边形，凹四边形和纽四边形（它有一个自支点）．以下约定：①四边封闭折线的行走步问搜顶点的序是A--B--C--D--A．②遍历折线的，沿逆的针方刚亏走的，称为正行走方向，民之称为员行走方向．③0、凹四边形的面积是指所围平面日分的大小，当行走步向为正的面积为正值，后立面积为员值．而红四边形的面积是指由四个顶点和自天来这五个点组成的两个三角形面积的代数和．上述约定图示如下（圈1）：图l定理1设四边到闭折线ABCD的对角线AC，BH所成的角为6，IACI-11，IBDD一l。，记面积为S，则ISI一…     

一个平面几何定理的极坐标证法

定理一个凸四边形如果对进之和相等，那么有内切圆．证明如图以四边形ABCD的顶点C为极点，对角钱AC为极轴建立极坐标系．由于AB－BC＝DA－CD，则B、D为以A、C为焦点的双曲线同一支上两点．设B（ρ_1，θ_1）、D（ρ_2，θ_2），双曲线方程为注意到B点的双曲线的切线即为∠B的角平分线．而切线方程为因为仅需验证直线（*）在双曲线这一支的同一侧且过B点．实际上若得以验证．设tB、ZD的角平分钱交点为M（，6）则由即M在上C的角平分线上，所以四边形ABCD有内切圆．此证法把题设条件中的凸四边形推广到任意四边形，从而是本质的…     

一个猜想的否定──莫莱三角形的两个性质

将任意△ABC各内角三等分，每两个角的相邻三等分相交得△PQR（内莫莱三角形），AX、BY、CZ分别为角A、B、C的平分线，且它们与QR、RP、PQ的交点分别为X、Y、Z（阅图1）．季平龙猜想「”：A、X、尸；BJ、Q；C、Z、R分别荣线．本文否定这一猜想．H结出寞京三角形两个三线并点在质。性质ig凸ABC为非着腰三角形，则在上述记自下，人、X、P；B、Y、Q；C、Z、R＄ffi三点不某城．任回纽图1，在西BPC中，由正孩定理而在西ABP5凸ACP中，用正弦定理可得由①、②可得面ABC为非等腰三角形，＆ZBAPfZCAP．又AX为Z人的平分线…     

二倍角三角形的一个性质及其应用

二倍角三角形的一个性质及其应用喻俊鹏（湖北应城市实验中学４３２４００）定理三角形中，如果有一个角是另一个角的二倍，那么这个角所对边的平方等于另一个角所对边的平方加上另一个角的对边与第三边的积．如图，△ＡＢＣ中ａ，ｂ，ｃ为角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边．设Ａ＝２Ｂ...     

两条异面直线所成角的余弦公式

定理[1]在四面体A－BCD中，对棱AB和CD所成的角为θ，则如图1，E、M、N分队为BC、CA、BD的中点，则MEN为导面直线AB和CD所成的角，推论在四面体A—BCD中，对核AB与CD垂直的充要条件是AC‘＋BD’一BCZ＋ADZ（刀）应用定理的结论，我们可报方便地求出两条异面直线所成的角．因为总可以在两条导面直线上分别适当的选两个点构成四面体．然后应用对棱所成角的余弦公式（I）计算出以一般用反余弦表示）．（I）称为两条导面直线所成角的余弦公式．例1（1995年全国高考题）如图2，ABC一个BC；是喜三梭往，ZBCA三90o，DI、FI…     

用常见的面积关系解竞赛题

本文将一些常见图形中的面积关系进行归纳，将其用来解有关的数学竞赛题．先介绍有关的基本定理：1．三角形的三条中线将该三角形分成面积相等的六个三角形，其中三条中线的交点是该三角形的重心（如图1）．2．平行四边形两条对角线将该平行四边形分成面积相等的四个三角形（如图2）．3．平行四边形的边上任一点和对边两端点的连线将该平行四边形分成面积相等的两部分．Rll图3中的S。一sl＋sZ一会见。·I。·4．平行四边形内任一点与四个顶点的连线将其分成四个三角形，则对顶的两三角形面积之和相等．即图4中SI＋SZ-S3＋S4．5．任意四…     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

关于仑巴菲特引理的证明

１８４０年莱莫斯（ｌｅｍｅｓ）提出命题：“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形．”很难用纯几何方法证明．瑞士几何学家斯坦纳（ｓｔｅｉｎｅｒ）第一个给出了证明,于是该命题就成了著名的“斯坦纳──莱莫斯”定理,但证法比较麻烦．于是人们又寻求定理的简单证法,大约于１９４０年前后,有人基于法国数学家仑巴菲特（Ｒｅｂａｆｆｅｔ）的引理“三角形中大角的平分线小些．”利用反证法,给出了一个较简单的证法,但美中不足的是引理的证法,如同定理的证法一样困难;如朱德祥先生在《初等几何研究》（高等教育出版社,１９８５年…     

四边形面积的一个性质及其应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1,S_2,S_3和S_4,则由三角形面积公式,可知 sin(180°-a)。故得S_1S_2=S_3S_4。在图1中,若AB∥CD,则S_△ACD=S_△BCD,可见S_3=S_4,再据定理,有     

共点三线四角定理及其应用

自二面角棱上一点在两个半平面内各引一条射线，这两条射线间夹角、这两条射线与校的夹角以及二面角间有何关系呢？请看下面一个结论．定理（共点三线四角定理）若PAα平面α与β的交线为。α∩βB，两点证明如图1，过A作AH⊥PC于H，过H在β内作HB交PB于B，连AB．设PH＝a，则Rt△AHP中，AH＝在△AHB和△APB中，由余弦定理则由（1）、（2）两式马上推得．定理得证．为便于记忆，将此定理不妨称之谓“共点三线四角定理”，并默认∠APB为二面角α－lβ的对角，而∠APC与∠BPC为其两个邻角．该定理充分揭示了从二面角棱上一点在…     

关于正方形的勾股剖分

将一个正方形剖分成n个勾股形（即三边长都是整数的直角三角形），n的最小值是多少？这是一个有趣的未解决的问题［fi．1968年，人们找到了将正方形剖分成5个勾股形的一个剖分图，如图1．那么n的最小值是否就是5呢？本文将回答这个问题．定理如果正方形可剖分成n个勾股形，那么n＞5．在证明定理之前，先介绍两个引理．引理1【'」三边长都是整数，底边上的高等于底边的整边三角形不存在．gi理2如图2，E、F分别在正方形儿汉D的边AD、CD上，则剖分三角形bABE、西汉F、凸n双、bEBI；'不可能都是勾股形．证明假设4个剖分三角形都是勾股形，…     

三角形界心的一组性质

文［1」证明了sit设AD、AM、AP分别是bAfN的角平分线、中线和周界中线，则（1）IM／／AP，（2）J．G、I共线且JG＝ZGI．定同1三角形内心即为其中位三角形的界心．江阴设A尸为西川究周界中线，西人MN为中位三角形，J为bABC内心（如图），由引理知，U斤AP，延长LI交NM于L’，WIJ。。。。。＋。＝t。，。。。。bLMN的周界中线；连NI延长交LM于N，同理可证NN是bLMN的周界中线，即I是bLMN的界心．定理1可视为“三角形外心是中位三角形的垂心”的对偶定理．又由于“三角形垂心是它垂足三角形的内心”，于是有定理2设bADC…