揭开数e的神秘面纱

我们在学习对数的定义时,出现了一个神秘的数e．教材上写道“在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为自然对数（natural logarithm）．e=2．71828…是一个无理数．正数N的自然对数log.N一般简记为lnN”．对此,善于思索的同学一定会问：为什么在我们熟悉的众多的数中不选,偏偏选一个我们并不熟悉的e作为对数的底数,而且还是一个无理数？     

e到底是什么？

有一次,一个高三的学生突然问我什么是自然对数？我很诧异,说以e为底的对数叫自然对数呀!他接着问,这个我知道,可是e到底是什么呀？当时,不假思索便说e=2．71828…,是一个数,但显然没有满足他的好奇心,突然,我意识到他应该是想知道e有没有什么故事背景或来历吧！     

常数“e”漫谈

我们第一次认识数学常数e=2．71828…是在中学数学教科书上：“在科学技术中常常使用以无理数e=2．71828…为底的对数,以e为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数log_eN简记为lNN”．早在17世纪,苏格兰数学家、业余天文学爱好者纳皮尔(J．Napier)在进行繁重的天文学数据计算时就发明了对数,并实现了将乘除法     

巧证e~π>π~e

关于e和π这两个重要的超越数,有这样一个美妙的不等式成立:eπ>πe．事实上,因为对数函数lnx是单调递增函     

一道“错误”的定积分的解法探究

原题∫-2 -1 x^-1dx=_____. 解∫-2 -1 x^-1dx=lnx｜-2-1=ln（-1）-ln（-2）. 负数没有对数，显然错了，无意义．难道这是一个错题？ 但由定积分的几何意义知，该定积分应该等于如图1所示阴影部分面积的相反数，虽然暂时求不出来，但可是有意义的．那肯定是上述解法有问题，     

无理数e的故事

在讲到对数函数的时候,人教版必修一有这样一句话：“另外,在科学技术中常使用以无理数e=2．71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并且把logeN记为lnN．”很多心细的同学对这句话充满了好奇．对于无理数π,同学们已经非常的熟悉,它的历史可以追溯到古代,而无理数e的历史不过400年左右．数字π起源于一个几何问题：怎样得到圆的周长和面积．数字e的起源就不是那么清晰了,     

自然对数漫谈

自然界的一切事物都有一定的因果关系。数学,正如其它自然科学一样,它的发生、发展归根到底决定于人类生产实践的需要。以10为底的常用对数就是基于人们对数字的乘、除、开方等运算要求快速而发展起来的。而自然对数是由于微积分学的产生可以解决变量之间的函数关系而发展起来的。要知道为什么以e为底的对数叫做自然对数这一问题,首先要简单谈谈(1)e是怎样一个数。(2)为什么要以e为对数     

对数换底不等式的再思考

对数换底不等式的再思考樊友年（湖北公安县一中４３４３００）悉心阅读《对数换底不等式的推广与应用》（《数学通讯》１９９７年１２期），颇受启发，对于解决对数换底不等式有了进一步认识．为便于学生理解和掌握，笔者思考再三，觉得直接用函数单调性和高中《代数》下...     

幂换底公式及其应用

其实，上述结论是正确的!结论的证明很简单，只需在等式（工）的两边，分别取以c为底的对数便可，即logc b·logc a—logc a·logc b．此等式显然成立．故结论正确．     

无理数e的故事

<正>在讲到对数函数的时候,人教版必修一有这样一句话:"另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN记为lnN."很多心细的同学对这句话充满了好奇.对于无理数π,同学们已经非常的熟悉,它的历史可以追溯到古代,而无理数e的历史不过400年左右.数字π起源于一个几何     

有限域上单变量代数函数域中的素数定理

设q是素数的幂次，Fq为一有限域；F为Fq上的单变量代数函数域．在这篇文章中我们证明了下面的素数定理，πF（x）=1/（q-1）.x/logqx＋O（x/log^2qx）.x=q^n→∞其中logqx以q为底的对数，这一结果改进了M．Kruse，H．Stichtenoth的结果．     

幂指函数的求导法则

<正> 形如y=u(x)~(v(x))(u(x)>0)的函数称为幂指函数。幂指函数属于初等函数的一部分,它是微分学中经常迂到的函数类型之一。求幂指函数的导数通常有两种方法,一是利用“对数求导法”,也即先对函数表达式取对数,然后再求导数;二是利用对数恒等式将幂指函数化为以e为底的复合指数函数形式,再求其导数,本质上都是用复合函数求导法则。先看下面的例子:     

对数平均不等式的应用

<正>纵观近些年各类考试中的导数解答题,经常出现与e^x,lnx有关的函数双零点问题,这类问题的主要解法是构造函数将双变量问题转化为单变量进行处理,但往往过程繁琐.而对数平均不等式是破解这类问题的有利工具,下面举例说明.1.对数平均不等式设a,b是两个不相等的正数,我们把     

从数学对称美角度话自然对数的由来

字母e是由大数学家欧拉（Leonhard Euler,1707年4月15日--1783年9月18日）首先使用的,欧拉引人的e是极限的值,它是一个无理数,在高等数学中有着广泛的应用,但是它又是怎样被运用作为对数函数的底而组成了自然对数呢？本文将从数学对称美的角度来阐述自然对数是如何引进的,以及自然对数的广泛发展．     

对数换底不等式的推广与应用

对数换底不等式的推广与应用周华生（江苏常熟市中学２１５５００）文［１］、［２］介绍了一种对数换底不等式，其实，这个不等式还可以作进一步的推广，推广后将更方便于使用．为此，介绍如下．定理若ａ＞０，ｂ＞０，ｘ＞０，ｘ≠１／ａ，则函数ｙ＝ｌｏｇａｘｂｘ．（...     

用积分来定义和研究自然对数

在初等数学中往往把对数和冪指数紧密地結合起来进行研究,由指数函数导出对数的定义和对数函数的一系列性貭,并和指数函数加以对照。这样,在学生充分地理解了指数函数性貭的同时容易接受“对数”这个新的概念和它的一系列性貭。至于自然对数(以e为底的对数)則作为一般对数的特例而提出。实际上,只有在高等数学中,自然对数才显出它的特殊地位。它把一个极为重要的极限和一个特殊的积分联系起来了。最后这个表达式启发我們用来作为自然对数的定义。本文的目的就是要用积     

关于k—消去图的若干新结果

设G是一个图．k是自然数．图G的一个k-正则支撑子图称为G的一个k-因子．若对于G的每条边e．G—e都存在一个k-因子，则称G是一个k-消去图．该文得到了一个图是k-消去图的若干充分条件，推广了文［2—4］中有关结论．     

解读自然对数的底数e

1e的命名人（who）和命名时间（when） 柞为数学符号最先是由瑞士数学家欧拉（Euler,Leonhard1707-1783）在1727年使用的．这正是Euler名字的第一个字母,后来人们确定用e来作为自然对数的底,以此来纪念欧拉．事实上,用e作为自然对数的底的另一个原因是它和指数有着密切的关系,而指数的英文拼写是exponential,首字母也是e．最先猜测e是超越数的法国数学家刘维尔（Liourille,Joseph1809～1882）,而最早证明e是超越数的是法国数学家厄米特（Hemfite,Charles1822～1901）．     

指数方程的非常规解法

指数方程的非常规解法钱军先，耿建培江苏射阳中学２２４３００求解指数方程的常规方法有三种：同底法、换元法和取对数法．但是，对于某些特殊的指数方程，运用上述方法往往难以奏效．本文介绍几种非常规解法，供参考．一、因式分解法从分析所给方程中各项的特征入手，通...     

无理数e

在数学中有两个重要的无理数：π和e．我们知道π是圆的周长与直径之比，那么e又是怎样定义的呢?1nx为什么叫自然对数?在高中学习了指数函数和对数函数后，就初识了无理数e，对e，e^x，1nx，中学生往往有神秘莫测之感，下面我们就来谈谈这个问题．