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1问题的提出已知x∈(0,π),求y=2sinx sinx2的最小值.错解:∵x∈(0,π),∴sinx>0,由均值不等式2sinx sinx2≥22sinx·sinx2=2·故ym in=2·显然这是个错误的结论.因为当且仅当2sinx=sinx2时才能取最小值.而此时sinx=2(矛盾)·那么如何解决这一问题呢?我们还是先回到基本函数的性质分析,利用单调性来求值域.2“双勾”函数的性质引题求作y=x 1x(x≠0)的函数图像并判断其单调区间.利用描点法(或作y=x与y=1x叠加)作图如下:①从图像可见y=x 1x的图像在y=x与y=1x之间.在(0,1)为减函数,在(1, ∞)为增函数.当x=1时,ym in=2·②f(x)为奇函数,图像关于… 相似文献
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题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当 相似文献
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在一堂“三角函数最值问题”的习题课上 ,下面这道例题的解法引起了学生的争议 .例题 求函数 y=3sinx -1sinx + 2 的值域 .学生S1 :给出如下解法 :由已知式得 sinx=2 y + 13 -y,由 |sinx |≤ 1 2 y + 13 -y ≤ 1 2 y + 13 -y2 ≤ 1 3 y2 + 10 y-8≤ 0 ,解得-4≤y≤23 .这种利用三角函数有界性的解法得到了多数同学的赞同 .但学生S2 却发表了新的见解 ,“老师 ,我有更简便的解法 ,把sinx =1代入已知式得 ymax=23 ,把sinx =-1代入得 ymin=-4 .∴y∈ [-4 ,23 ] .”立即有几位同学对学生S2 的解法表示反对 .学生S3:你怎么知道sinx =1时 ,… 相似文献
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本文着重探讨三角函数y=sinx(1+cosx)与y=sinx(1-sinx)的最值问题。并利用它来求一大批三角函数的最值和证明一大批三角形中的不等式。理定1 设三角函数y=sinx(1+cosx),则对任何x∈R,有 相似文献
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本文就学生在三角学习中的常见错误分析如下:一、忽视定义域例1:函数f(x)=sinx(1 tanxtan2x)的最小正周期为A.πB.2πC.2πD.32π误解:f(x)=sinx1 2sin2xcos2xcosx·sin2xcos2x=sinx1 1c-ocsoxsx=tanx,∴T=π,选A.剖析:错误原因是没有注意定义域:x|x≠kπ 2π,且x≠2kπ π,k∈Z.因为f(0)=0≠f(0 π)(无意义),所以选A错误.正确应选B.二、忽视变形过程是否等价例2:已知2sinx=1 cosx,求cot2x误解:∵2sinx=1 cosx,∴1 sincoxsx=21,∴tan2x=21cot2x=2.剖析:错误原因是变形不等价.只有在1 cosx≠0时,才可以从2sinx=1 cosx推到sinx1 cosx=21.… 相似文献
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代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组 相似文献
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题1若03sinx.(B)2x<3sinx.(C)2x=3sinx.(D)与x的取值有关.对于这类题目,一些资料上是用数形结合法解的,若画图稍不准确,则很容易出错.利用下面的定理可非常快捷地解答上 相似文献
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题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).… 相似文献
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题1 若0<x<π/2,则x与sinx的大小关系为
题2 (2005年高考数学湖北卷第9题)若0<x<π/2,则2x与3sinx的大小关系是( )
(A)2x>3sinx.
(B)2x<3sinx.
(C)2x=3sinx
(D)与x的取值有关.
对于这类题目,一些资料上是用数形结合法解的,若画图稍不准确,则很容易出错。利用下面的定理可非常快捷地解答上面的题目。 相似文献
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六年制重点高中《代数》第二册P_155给出了下面的定理:齐次线性方组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。这一定理在初等数学解题中应用比较广泛,本文拟举几例说明如下。例1 已知 siny+sinz/sinx=sinz+sinx/siny =sinx+siny/sinz=k,试求k的值。解:由已知得视sinx、siny、sinz为未知数,依题意知上述方程组有非零解,于是 相似文献
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题设x∈(0,π/2)],求函数y=sinx (4/sinx)的最小值. 文[1]例6认为,求此类函数的最小值不能用基本不等式法.考虑到持此类错误观点者不在少数,笔者认为有必要予以纠正. 相似文献
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正弦和余弦函数的有界性是指|sinx|≤1(A)和|cosa|≤1(B)在中数教学中有时利用正、余弦函数的这个性质来研究问题可化繁为简,化难为易,它不仅在三角中,而且在其他中学数学课程中都有广泛的应用。本文将利用正、余弦函数的有界性解决如下几个方面的问题。一、利用正、余弦函数的有界性求值例1 已知|sinx|-3cosy=4,求x、y。此题已知条件是含有两个变量x、y的等式,利用三角恒等变形来求解是比较困难的;如果考虑性质(A)、(B),可大大减少计算量,从而可迅速准确的获解。解由原等式得3cosy=|sinx|-4≤1-4=-3∴cos≤-1又cosy≥-1,故cosy=-1,于是|sinx|=1 故 相似文献
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有些三角问题,根据题设条件,利用三角公式挖掘数量关系,构造代数方程来处理,使问题获解,往往是解决这类问题的一个有效方法.例1求函数y=sinxcosx sinx cosx的最大值.解设sinx cosx=m,则-2≤m≤2.由题设得sinxcosx=y-m,构造以sinx,cosx为根的一元二次方程t2-mt y-m=0.∵Δ=m2-4( 相似文献