连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

数列问题的解法与背景探析

<正>题目(2013年广东省高考理科数学第19题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2S_n/n=a_(n+1)-1/3n²-n-2/3,n∈N2-n-2/3,n∈N^*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<7/4.本题考查了递推公式、等差数列的概念、通项公式、裂项相消法求数列的前n项和、放缩法证明不等式等知识.要求a2,需要建立关于a2的方程,考查了方程思想.要求数列的通     

关于立方阶数列及其两个猜想

对任意正整数n,设{cn}表示立方数列,即cn=n3.而立方阶数列{Zn}定义为最小的正整数Zn使得czn/n≡l(mod cn 1).本文的主要目的是利用初等森研究数列{zn}的计算问题,并给出了Zn的具体表示形式,从而证明了Kenichiro Kashihara提出的两个猜想:A.数列{zn}中除了第一项外,其余项都是偶数与B.在数列{zn}中存在无限多个平方数是正确的.     

关于尼科马克猜想的两个推广

尼科马克(Nicomachus,约公元1世纪)是古希腊数学家,在数论研究方面有很深的造诣.他在其代表作<算术入门>中提出了一个猜想:"立方数相继等于奇数数列相应各数之和."这个猜想是说,如果把奇数数列1,3,…,(2n-1),…从第一项起按如下规律重新组成一个新的数列:1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…,那么,新数列的每一项等于它所含的奇数个数的立方.     

关于两个特殊数列的注记

文献［１］、［２］中介绍过下面两个数列：例１数列１２,１１２２,１１１２２２…每一项都是两相邻整数之积．例２数列４９,４４８９,４４４８８９…每一项都是一个完全平方数．上述两个数列结构特殊,结论有趣,电视系列讲座《让我们教猜想吧》也曾引用过．遗憾的是...     

平方数的末两位数的简易求法

43、93、57、7是四个不同的整数,然而它们平方数的末两位数却相同: 43~2=1849,93~2=8649,57~2=3249。7~2=49。这些平方数的末两位数都是49。经研究发现:只要两整数的和或差是50的倍数,则这两整数的平方数的末两位数相同。上述四数的后三数与前一个数的和差关系是: 63-43=50,57+43=2×50,7+43=50。都是50的倍数,它们平方后的末两位数相同。为什么这样凑巧呢?理由如下, 设a~2-b~2=(a+b)(a-b) 故当a+b或a-b是50的倍数时,因为a+b     

数列问题中的特征根方法与拆项方法

本文介绍循环数列、某些分式递推式确定的数列及阶差数列,并利用特征根方法或拆项方法求其通项或前n项的和。 一循环数列 若数列{。}的项满足 a.=A:么_.+凡‘一2+…+儿山_、月>毛川.lJ称{司为k阶循环数列,这里乏是固定的正整数,Al,九,…,儿是与n无关的常数,A,手0.(l)式称为1‘}的循环方程,方程 犷=A,犷一,+九xx一“+…+A.(2)称为1.}的特征方程;(2)的根称为1司的特征根.不难证明,等差数列是二阶循环数列,而等比数列是一阶循环数列。 显然,满足同一个k阶循环方程的数列有无限多个。为了确定一个数列,还需知道数列的某h个项的具体值。常见的…     

变异一例开发智力

现行《全日制十年制学校高中课本》数学第四册第20面例6是:已知无穷数列10~,10~(2/5),10…,10~((n-1)/5),…(n为自湖数),求证: (1)这个数列是等比数列: (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的1/10;     

对一道题的一种错解的剖析

[题〕试求自然数、,使2‘.‘. 2,,9‘ 2’是完全平方数. 有一文利用“一数为完全平方数当且仅当它可以表为相差2的两自然数(其一或为零)之积与1的和”给出了如下的解答: 原式一2‘,,‘[l 2,(2 2一‘.,0)〕 令2‘一‘,90=22,即,=1992时有 2’.8‘ 2‘.9‘ 2‘二2=2‘…又25. 笔者以为这种解法也是不正确的,其一,该解法主观地认为。)1990,这是没有根据的;其二,将8十2’一‘.sB表为相差为2的二数之积时,为什么仅有22·(2 2’一‘9a0)这一种分析方式呢?其他的分析方式为什么不行呢? 原题恰好仅有二题,但若将题条件中2’二‘换成2’990,依原法就…     

大数的立方简法

求多位数的立方,一般先用空盘前乘后用破头后乘计算,不够简捷。现在介绍的立方简法比常法来得简便省力。立方简法根据立方差公式演变而形成的算法,盘上运算也十分容易掌握。 (1)了解11…1平方的特点是立方简法的基础知识之一。这类数的平方,我们细心观察,不难发现对于不多于十位的平方数具有这样特点,底数的位数是几,平方数的中位数也是几,其两旁数字逐一减少到一。     

从求数列的通项公式谈起

现行中学数学教材指出,如果一个数列的第n项a_n与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。由已知数列的前若干项,求数列的通项公式,一般说来,有如下几种情况: ①写不出通项公式的,如3~(1/2)的精确到1/10~n的近似值数列; 1,1.7,1.73,1.732,… 2,1.8,1.74,1.733,…就没有通项公式。②通项公式不是用一个代数式表示的。     

对数列单调性定义的探究

<正>在数列的学习中,我们遇到这样的一个问题:已知数列{an}的通项公式为an=n(910)n,求数列的最大项.在解决这个问题的过程中,老师是这样做的:因为an+1an=(n+1)9()10n+1n9()10n=9(n+1)10n,所以an+1an≥19(n+1)10n9(n+1)≥1≥10nn≤9,又因为an>0,所以当且仅当n≤9时,an+1≥an(其中当且仅当n=9时,an+1=an),由此可知a1a11>…,因此数列的最大项是第9项和第10项,为910/109.     

求解自然数列方幂和的两种方法

<正>高中教材中对于数列和公式1²+22+2²+…+n2+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6及12=(n(n+1)(2n+1))/6及1³+23+2³+…+n3+…+n³=[(n(n+1))/2]2的推导过程只字未提,只是要求学生能用数学归纳法证明上述公式成立,大部分学生会问及此公式的推导方法.下面总结两种学生能接受的求较低次数自然数列方幂和的方法.1.裂项法求自然数列方幂和裂项法是中学数列求和中的一类重要方     

巧用和的立方公式凑2016

<正>友人给我这样一道趣题:"是否存在以‘2016’结尾的立方数?"这是一道深得深思的带有开放性的探索题.问题的结论是:"存在的".本文利用"和的立方公式"与整数的一些性质,从个、十、百、千位上以此地凑数.用分类讨论的方法给予全面探索,从而找出所有的立方数.     

一类二阶递推数列含有平方数的充要条件

设a,b是适合a~2>b,(a,b)=1的非零整数;数列{L_n}_(n-1)~∞满足L_o=1,L=a,L_(n 1)=2aL_n-bL_(n-1)(n>0).本文证明了:当b≡1(mod4)时。{L_n}_(n-1)~∞中含有平方数的充要条件是某-L_m是平方数,这里m∈{1,2,4,8}.     

m元线性递推数列与矩阵的幂

设有m个数列{x_n~(1),x_n~(2),…x_n~(n)}(这里x_n~(k)表示第k个数列的第n项)满足递推式组:■其中a_(ij)为常数(i,j=1,2,…,m),初始条件由x_1~(1),x_1~(2),…,x_1~(m)给定,这样的m个数列叫做m元线性递推数列。本文的工作是给出m元线性递推数列的通项公式的求解方法,同时得到矩阵的幂的一种计算方法。递推式组(1)可以用矩阵的形式表示为:     

一道高一复赛题的启示与猜想

<正>例1(2013年北京市高一数学复赛第三大题第二小题)记a=12+22+…+20132,证明:a可写成2012个不同的正整数的平方和(参见"中等数学"2014·2第19页)分析据题意,只需从12²0132这2013个平方数中,删去两个数,补上一个比20132大的平方数.解因为32+42=52,所以32×5002+42×5002=52×5002,即15002+20002=25002,     

数列、极限、数学归纳法

一、选姆.(有且镬(r}‘·个答案正确) 1.数李l]{u.}的11介,。环1 fll为S二JIS.二,.。:(,:二l,2,3…).‘{‘}‘a.圣J亡(). (A)只足冷绘狄列.(B)只足等比数叫. (C)常数列,(D)既炸等袱数列.也一{卜’勺卜认列. 2一若口,b.,’成’引上数列.则山数.l(x)=。x气bx c的图象‘jx轴的之点数为(). (A)o个.(B)’含r,x个. (C)了丁两个不i,J交点.(D)不能内‘二. 3.一个冲数是鸿数的等兰数列.:饮厂和,二禹I-2ru 朽U数项和分别为:峪{i!30.宁则浪数刊的,犷之数勺( (人)卫0.(B)22 ‘.一个三角形的行。·谈比万).(C)卫0.毛内有l!戊等_之(上少)8.j少戈等…     

神奇的完全平方数

<正>如果一个自然数是某个整数的平方,那么这个自然数就叫做完全平方数.把一个整数平方以后得到的数记作n2,那么n2就是一个完全平方数.完全平方数有着奇妙的数字特征,完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个.除此以外,个位数字的特征还影响着十位数字的变化.下面就一个数平方以后得到的完全平方数的特征进行简单的分类.     

由递推公式求数列通项的通性通法

<正>数列的通项公式直接表述了数列的本质.知道了通项公式,就可以解决数列的一系列的性质问题.所以在高考数列题中往往第一问就是求其通项,掌握求通项的通性通法就至关重要.本文根据近几年高考中出现的对数列求通项公式问题进行归纳并举例其应用.数列求通项公式一般分为三类,第一类为